GestiónAeronáutica:EstadísticaTeórica
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DepartamentodeEconomíaAplicada
Profesor:SantiagodelaFuenteFernández
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Ejercicios resueltos distribuciones de probabilidad, Apuntes de Probabilidad
Tipo: Apuntes
2018/2019
1 / 45
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Gestión Aeronáutica: Estadística Teórica
Facultad Ciencias Económicas y Empresariales
Departamento de Economía Aplicada
Profesor: Santiago de la Fuente Fernández
EJERCICIOS RESUELTOS
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Gestión Aeronáutica: Estadística Teórica
Facultad Ciencias Económicas y Empresariales
Departamento de Economía Aplicada
Profesor: Santiago de la Fuente Fernández
EJERCICIOS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Ejercicio 1.- El 30% de un determinado pueblo ve un concurso que hay en televisión.
Desde el concurso se llama por teléfono a 10 personas del pueblo elegidas al azar.
Calcular la probabilidad de que, entre las 10 personas, estuvieran viendo el programa:
a) Más de ocho personas
b) Algunas de las diez personas
c) Calcular la media y desviación típica
Solución:
Se trata de una distribución binomial con n 10 y p 0,3, es decir,
b (10, 0,3) b (10, k , 0,3)con k éxitos:
n k n k P(X k). p. q k
Llamando X = "número de personas que están viendo el programa"
a) (^)
9 10 0
P X 8 P X 9 P X 10 0,3. 0,7 0,3. 0,
^ ^ ^
9 10 10.0,3 .0,7 0,3 0,
n (^) n!
k k! (n k)! (^10) 10! 1 1 1 10 10! (10 10)! 0! 1
^ ^ ^
^ ^
b) (^)
0 10 10
P X 0 1 P X 0 1 0,3. 0,7 1 0,7 0,
c) Media: n. p 10. 0,3 3
Desviación típica: n. p.q 10.0,3.0,7 2,1 1, 45
Ejercicio 3.- Una compañía de seguros garantiza pólizas de seguros individuales contra
retrasos aéreos de más de doce horas. Una encuesta ha permitido estimar a lo largo de
un año que cada persona tiene una probabilidad de cada de mil de ser víctima de un
retraso aéreo que esté cubierto por este tipo de póliza y que la compañía aseguradora
podrá vender una media de cuatro mil pólizas al año.
Se pide hallar las siguientes probabilidades:
a) Que el número de retrasos cubiertos por la póliza no pase de cuatro por año
b) Número de retrasos esperados por año
c) Que el número de retrasos sea superior a dos por año
d) Que ocurran doce retrasos por año
Solución:
Sea X = "número de retrasos por año", la variable sigue una distribución binomial
n 4000 , p 0,001 , b(4000, 0,001) 1000
con lo que,
k 4000 k
P(X k) .0,001 .0,999 k 0,1, , k
Es necesario buscar una distribución que sea una buena aproximación de ésta. La
distribución de Poisson es una buena aproximación de la binomial b(4000, 0,001) , ya
que p 0,001es muy pequeña y n.p 4000.0,001 4 5.
Por tanto, X b(4000, 0,001) X P( n.p 4)
k (^44) P(X 4) .e k!
a) P(X 4) P(X 0) P(X 1) P(X 2) P(X 3) P(X 4)
0 1 2 3 4 (^4 4 4 4 4 4 ) .e 1 4 8 10,667 10,667 .e 0, 0! 1! 2! 3! 4!
b) El número de retrasos esperado por año es la media x 4
c) P(X 2) 1 P(X 2) 1 (^) P(X 0) P(X 1) P(X 2)
0 1 2 (^4 4 44 ) 1 .e 1 1 4 8 .e 1 0,381 0, 0! 1! 2!
d)
12 (^44 ) P(X 12) .e 0,035.e 0, 12!
Ejercicio 4.- Para El tiempo empleado, en horas, en hacer un determinado producto
sigue una distribución N(10, 2). Se pide la probabilidad de que ese producto se tarde en
hacer:
a) Menos de 7 horas
b) Entre 8 y 13 horas
Solución:
a) (^) tipificando
x 10 7 10 P x 7 P P z 1 ,5 P z 1,5 0, 2 2
^
a) (^)
tipificando
8 10 x 10 13 10 P 8 x 13 P P 1 z 1, 2 2 2
P (^) 1 z 1,5 (^) P z (^1) P z 1,5
P (^) 1 z 1,5 P z (^1) P z 1,5 P z (^1) P z 1,5
P z (^1) 1 P z (^1)
P (^) 1 z 1,5 P z 1 P z 1,5 P z 1 P z 1,5 (^) 1 P z 1 P z 1,5
Ejercicio 5.- El 7% de los pantalones de una determinada marca salen con algún
defecto. Se empaquetan en caja de 80 pantalones para diferentes tiendas. ¿Cuál es la
probabilidad de que en una caja haya entre 8 y 10 pantalones defectuosos?
Solución:
Sea X = "número de pantalones defectuosos en una caja"
Se trata de una distribución binomial (los pantalones son o no son defectuosos), es decir,
una binomial con n 80 y p 0,07: b (80, 0,07) , donde:
n. p 80. 0,07 5,6 n. p. q 80 .0,07. 0,93 2,
Adviértase que se dan las condiciones para aproximar la distribución discreta binomial a
una distribución continua normal:
p 0,07 0,5 y n.p 80. 0,07 5,6 5
n. 400 10 : P n. N 400,^400 N 400, 20
P 400 600 P P 0 z 10 20 20 20
^ ^
P z (^0) P z (^10) 0,
Ejercicio 8.- Una compañía aérea observa que el número de componentes que fallan
antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el
número promedio de fallos es ocho. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen menos de dos componente en 50 horas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos tres componentes en 125 horas?
Solución:
Sea la variable aleatoria discreta X = "nº componentes que fallan antes de 100 horas"
El parámetro E X 8
a) Considerando ciertas condiciones de regularidad, se puede asumir que la variable:
U = "nº componentes que fallan antes de 25 horas" sigue una distribución de Poisson de
parámetro (^) u
E U 2
k u u^2 2
P U k. e P U 1. e 0, k! 1! e
b) Análogamente, la v.a. V = "nº componentes que fallan antes de 50 horas" sigue una
distribución de Poisson de parámetro (^) v
E V 4
0 1 (^4 4 44 4 ) P V 2 P V 0 P V 1. e. e 1 4. e 5. e 0, 0! 1!
c) La v.a. Z = "nº componentes que fallan antes de 125 horas" sigue una distribución de
Poisson de parámetro 10
P Z (^3) 1 P Z (^3) 1 (^) P Z (^0) P Z (^1) P Z (^2)
0 1 2 (^10 10 10 10 1010 )
- e. e. e 1 1 10 50. e 0, 0! 1! 2!
^ ^ ^ ^ ^
Ejercicio 9.- Un técnico realiza un test de cien ítems a unos doscientos opositores.
Suponiendo que las puntuaciones X obtenidas por los opositores siguen una distribución
normal de media 60 puntos y desviación típica 10 puntos. Se pide obtener:
a) P(X 70) b) P(X 80) c) P(X 30)
d) P(X 46) e) P(39 X 80) f) P(80 X 82,5)
g) P(30 X 40) h) P( X 60 20) i) P( X 60 20)
j) Número de opositores que obtuvieron 70 puntos
Solución:
La variable aleatoria X = 'puntuación obtenida en el test' sigue una distribución N(60, 10) ,
luego su variable tipificada será
X 60
z 10
con distribución normal N(0, 1)
a) (^)
X 60 70 60
P(X 70) P P z 1 0, 10 10
b) (^)
X 60 80 60
P(X 80) P P z 2 1 P z 2 1 0,0288 0, 10 10
^
f) (^)
80 60 X 60 82,5 60
P(80 X 82,5) P P 2 z 2, 10 10 10
^ ^
P z (^2) P z 2,25 0,0228 0,0122 0,
g) (^)
30 60 X 60 40 60
P(30 X 40) P P 3 z 2 P 2 z 3 10 10 10
^ ^
P z (^2) P z (^3) 0,0228 0,00135 0,
h) P( X 60 20) P (^) 20 X 60 (^20) P 40 X (^80)
40 60 X 60 80 60
P P 2 z 2 P z 2 P z 2 10 10 10
^ ^
P z (^2) P z (^2) 1 P z (^2) P z (^2) 1 2.P z (^2) 1 2.0,0228 0,
i)
X 60 20 X 80
X 60 20
X 60 20 X 40
^ ^
X 60 80 60 X 60 40 60
P X 60 20 P X 80 P X 40 P P
^ ^ ^
P z (^2) P z (^2) 2.P z (^2) 2.0,0228 0,
j) P X (^70) 0,
En consecuencia el 15,87% de los opositores obtuvieron una puntuación superior a 70,
esto es, aproximadamente 32 opositores.
El resultado indica que si se asociaran los distribuidores A y B prácticamente todos los
días obtendrían premio.
Ejercicio 11.- La utilización de la tarjeta VISA en operaciones comerciales, en la
población de una gran ciudad, sigue en porcentajes una distribución normal de media
4,5 y desviación típica 0,5. Se pide calcular las siguientes probabilidades:
a) Que un ciudadano tomado al azar utilice la tarjeta más del 5% en sus operaciones
b) Tanto por ciento de la ciudad que utiliza la tarjeta menos del 3,75%
c) Porcentaje de operaciones con tarjeta que utiliza el 20% más alto de la población
d) Porcentaje de operaciones con tarjeta que utiliza el 10% más bajo de la población
e) Porcentaje de operaciones del 80% más próximo a la media
Solución
a) La variable X = "porcentaje del número de operaciones con VISA" sigue una
distribución N(4,5, 0,5)
X 4,5 5 4,
P(X 5) P P(z 1) 0, 0,5 0,
b) Para hallar el tanto por ciento hay que calcular primero la probabilidad:
X 4,5 3,75 4,
P(X 3,75) P P(z 1,5) P(z 1,5) 0, 0,5 0,
En consecuencia, existe aproximadamente un 6.68% de la población que utiliza la tarjeta
Visa menos del 4,5% de las veces en sus transacciones comerciales.
c) Sea x = "número de operaciones con tarjeta del 20% más alto de la población"
0,
X 4,5 x 4, P(X x) P 0,20 P(z z ) 0, 0,5 0,
^
con (^) 0,
x 4, z 0,
La probabilidad de 0,20 no se encuentra en las tablas, por lo que no puede encontrarse
directamente el 0,
z correspondiente. Para calcularlo es necesario interpolar entre los
dos valores en que se encuentra.
Abscisas Áreas
z0,2005 z0,1977 0,2005 0,
z (^) 0,20 z0,1977 0,20 0,
z (^) 0,20 0,85 0,
0, 0,
z 0,85 0,85 0,008 0, z 0,85 0,0023 0,
^ ^ ^ ^ ^
^
Así, 0,
x 4, z 0,842 x 4,5 0,5.0,842 4, 0,
Es decir, el 20% de la población que más utiliza la tarjeta lo hace en el 4,921% de las
operaciones comerciales.
Cuando los cálculos que se pretenden obtener no se muestran muy rigurosos, se puede
tomar el área más próxima sin necesidad de interpolar.
tipificando, (^) 0.90 0,
a 4,5 X 4,5 b 4, P P z z z 0, 0,5 0,5 0,
^ ^
siendo z0,90 z0.
0,
0.10 0,
0,
a 4, z 1,28 a 4,5 1,28.0,5 3, 0, P z z z 0, b 4, z 1 ,28 b 4,5 1,28.0,5 5, 0,
^
El 80% más próximo a la media de la población utiliza la tarjeta más de 3,86% y menos
de 5,14% en las operaciones comerciales.
Ejercicio 12.- En una población de mujeres, las puntuaciones de un test de ansiedad-
riesgo siguen una distribución normal N(25,10). Al clasificar la población en cuatro
grupos de igual tamaño, ¿cuales serán las puntuaciones que delimiten estos grupos?.
Solución:
Siendo la variable aleatoria X = "puntuaciones en un test de ansiedad-riesgo"
Las puntuaciones que delimitan estos cuatro grupos serán el primer Q , segundo 1 Q 2 y
tercer cuartil Q de la distribución. 3
1 1 1
X 25 Q 25 Q 25
P(X Q ) 0,25 P P z 0, 10 10 10
^ ^
P z 0,67 (^) 0,
P z 0,67 0,
1 1 X
Q 25
0,67 Q 25 0,67 10 18,
En la distribución normal la media y la mediana son iguales: e 2
M Q 25
3 3 3 3
X 25 Q 25 Q 25 Q 25
P(X Q ) 0,75 P P z 0,75 P z 0, 10 10 10 10
^ ^ ^
3 3
X
Q 25
0,67 Q 25 0,67 10 31 ,
Por consiguiente, el primer grupo serían las mujeres con puntuaciones inferiores o
iguales a 18,3. El segundo grupos son aquellas mujeres con puntuaciones entre 18,3 y
- El tercer grupo son las mujeres con puntuaciones entre 25 y 31,7. El cuarto grupo
son mujeres que tengan puntuaciones superiores a 31,7.
Ejercicio 13.- El peso de un determinado tipo de manzanas fluctúa normalmente con
media 150 gramos y desviación típica 30 gramos. Una bolsa de llena con 15 manzanas
seleccionadas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de la bolsa sea
inferior a 2 kilos?
Solución:
Sea la variable aleatoria Y = "peso de la bolsa de manzanas"
15
2 2 i x x
i 1
Y x N 15. , 15. N 15.150, 15.30 N 2250 gr , 13500 gr
Y 2250 2000 2250
P Y 2000 P P z 2,15 P z 2,15 0, 13500 13500
P (^) 0,1 n z 0,1 n (^) 1 2P z 0,1 n (^) 0,8 P z 0,1 n (^) 0,
0,1 n 1,282 n 165
Para una probabilidad como mínimo de 0,8 harían falta 165 pruebas.
16.- Las puntuaciones en la Escala de Inteligencia para Adultos de Wechsler (WAIS)
siguen en una población una distribución normal de media 100 y desviación típica 16. Al
extraer una muestra aleatoria simple de 25 individuos, calcular:
a) Probabilidad de que la media de esos 25 individuos sea inferior a 95
b) Probabilidad de que la media esté comprendida entre 98 y 102.
Solución:
Según el teorema de Fisher x N ,
n
, es decir,
x N 100, N(100, 3,2) 25
a)
x 100 95 100 P(x 95) P P(z 1,56) P(z 1 ,56) 0, 3,2 3,
^
b)
98 100 x 100 102 100 P(98 x 102) P P( 0,62 z 0,62) 3,2 3,2 3,
P(z 0,625) P(z 0,62) P(z 0,62) P(z 0,62) 1 P(z 0,62) P(z 0,62)
1 2P(z 0,62) 0,
17.- Las puntuaciones obtenidas en la escala de Locus de Control de James por los
sujetos depresivos, siguen una distribución normal de media 90 y desviación típica 12. Si
se extraen muestras aleatorias simples de 30 sujetos depresivos. ¿Por debajo de que
cantidad se encontrará el 90% de las veces el valor de la varianza de la muestra?.
Solución:
En virtud del teorema de Fisher: En el muestreo, si se toman muestras aleatorias de
media x y desviación típica x
de una población N( , ), la variable
2 2 n 1 2
(n 1)s
donde
2 s es la cuasivarianza muestral
2 2 x
n (n 1)s
Las puntuaciones obtenidas siguen una distribución N(90,12)
2 2 (^2) x n 1 (^2 )
(n 1)s n
con lo que
2 (^2) x 29
De las tablas de la Chi-cuadrado
2 2 P( 29 k) 0,9 P( 29 k) 0,1 k 39,
con lo cual, (^)
2 x^2 x x
30 39,087 x 144 P 39,087 0,9 P P 187,62 0, 144 30
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
El valor pedido será 187,
18.- Para analizar el peso promedio de niños y niñas, siguiendo ambos pesos una
distribución normal, se utiliza una muestra aleatoria de 20 niños y 25 niñas. El promedio
de los pesos de los niños es 45 kg. con una desviación típica de 6,4 kg., mientras que el
promedio del peso de las niñas es 38 kg. y una desviación típica de 5,6 kg. ¿Cuál es la
probabilidad de que en la muestra el peso promedio de los niños sea al menos 10 kg.
mayor que el de las niñas?.
Solución:
Sean las variables aleatorias X = "peso de los niños" e Y="peso de las niñas",
X N (^) (^) x , (^) xe Y N (^) y ,y (^) , independientes entre sí.
En las muestras respectivas:
x x
x N ,
n
e
y y
y N ,
m
La variable
x y x Y
x y N , N 45 38, N(7, 2,55) n m 20 25
^
P( 10) P P(z 1 ,18) 0, 2,55 2,
^
19. - Un candidato contrata los servicios de una compañía para fijar la contienda
establecida en las elecciones. La compañía contratada selecciona una muestra aleatoria
de 384 electores registrados, sabiendo por experiencias realizadas que obtienen una
intención del 40% del voto. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra pueda producir
una intención del voto de al menos el 45%?
Solución:
La variable aleatoria X = "intención del voto" sigue una distribución binomial, que se
aproxima a una distribución normal N(np, np q).
La proporción muestral
p q 0,4 x0, pˆ N p, N 0,4, N(0,4, 0,025) n 384
p^ ˆ 0,4 0,45 0, P(pˆ 0,45) P P(z 2) 0, 0,025 0,