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Unidad 2. TMAR, VPN Y TIR-caue
EJEMPLO 3. 2 Una persona tiene dos alternativas de inversión, ambas de $15000. Sin embargo, la primera ofrece un pago de $5500 al final a cada uno de los próximos cuatro años; por otra parte, la segunda alternativa ofrece un pago único de $2 7 500 al final de los cuatro años. Si la TMAR = 15%, decida cuál alternativa debe seleccionarse (véase la tabla 3.3).
EJEMPLO 3.3 Para invertir en una empresa de productos plásticos se necesitan $ 1 250 millones. Los
socios sólo cuentan con $700 millones. El resto se pedirá a dos instituciones financieras. La
Financiera A aportará $300 millones por los que cobrará un interés de 25% anual. Por su parte, la
Financiera B aportará $250 millones a un interés de 27.5% anual. Si la TMAR de los accionistas es
de 30%, ¿cuál es el costo de capital o TMAR mixta para esta empresa?
SOLUCiÓN La TMAR mixta se calcula como un promedio ponderado de todos los que aportan
capital a la empresa. La tabla 3.4 es de cálculo. La TMAR mixta de esta empresa es 28.3%. Debe
enfatizarse que en la práctica financiera el rendimiento exigido por los préstamos aumenta con el
nivel de endeudamiento de la empresa. Por ejemplo, a partir de cierto nivel, digamos 20% del
capital total de la empresa, la tasa exigida será constante, pero un endeudamiento por arriba de 20%
hará que las tasas de interés se eleven de forma continua
1. Se invierten $500 con la expectativa de recibir $80 al final de cada uno de los siguientes ocho años.
¿Cuál es la tasa interna de rendimiento de la inversión?
SOLUCiÓN lA Se tienen los siguientes datos del problema: P = 500, A = 80, n = 8. Como la incógnita es
i, se puede hacer la siguiente determinación, mediante las fórmulas: resultado: TIR = 5.8%.
- En un pozo petrolero se invirtieron $500 millones durante el año cero en las pruebas de exploración y perforación. A lo largo del primer año, para dejar al pozo en condiciones de extracción normal, se invirtieron adicionalmente $300 millones. Después de haber medido la presión del pozo, se espera que éste produzca beneficios anuales de $2 50 millones durante los siguientes 10 años. Determínese la tasa interna de rendimiento del pozo petrolero.resultado: -$500.
3. Se han invertido $32000 en un negocio que, según los cálculos, proporcionará ingresos de $7500 el
primer año, con incrementos anuales de $500 durante cinco años. Al final de este tiempo, los activos que
queden de la inversión podrían venderse en $5000. Si la TMAR del inversionista es 15% anual,
determínese el VPN de los flujos de efectivo.
- Calcúlese la TIR del diagrama de flujo de efectivo mostrado en la gráfica 3.9.
- Encuéntrense las i del diagrama de flujo mostrado en la gráfica 3.14.
- Encuentre la i del diagrama de flujo mostrado en la gráfica 3.16.
Las dos raíces encontradas son i = 23.09%, i = 174.75%.
9. Una persona ganó $3000 en su primera apuesta en la lotería. Quince días más tarde volvió a jugar y
ganó otros $2 500. Entusiasmada por su buena suerte decidió apostar $100 cada 15 días en forma
constante durante cierto tiempo. Luego de 21 apuestas consecutivas quincenales sin obtener premio
alguno, decidió no apostar más. Determine la tasa de rendimiento que obtuvo esta persona al incursionar
en el mundo del juego.
10. Un estudio de factibilidad arrojó las siguientes cifras: inversión inicial $940000; beneficio neto el primer año, $105000 con incremento de $25000 en cada uno de los años siguientes; valor de salvamento $150000 al final del año 5. La inversión se plantea para un periodo de cinco años. Si la TMAR considerada es de 6% anual, determínese la conveniencia económica de hacer la inversión por medio de la TIR.
Respuesta--- i=17%
20 ( 1 + i )
30 ( 1 + i ) 2 +^ 40 ( 1 + i ) 3 +^ 60 ( 1 + i ) 4 +^ 60 ( 1 + i )
5 por lo tanto i=17.1%
2-Encuentre la tasa de interés de la gráfica 3. 21.
Respuesta--- tiene una sola TIR=13%
80 ( 1 + i ) 1 +^ 80 ( 1 + i ) 2 +^ 100 ( 1 + i ) 4 +^ 100 ( 1 + i ) 5
por lo tanto i=13%
3-Por medio del método gráfico calcule las i de la gráfica 3. 22.
Respuesta—tiene una sola TIR=191.11%
200 ( 1 + i ) 1 +^ 250 ( 1 + i ) 2 −^ 100 ( 1 + i ) 3 +^ 300 ( 1 + i ) 4 +^ 350 ( 1 + i )
5 por lo tanto TIR=191.
4-Una persona invierte $8464 a cambio de recibir $3 000 al final del año 1, $3 500 al final del año 3, $ 4 000 al
final del año 4 y $5 000 al final del año 5. ¿Cuál es la tasa de interés que recibirá por su inversión?
Respuesta= i = 20%.
3000 ( 1 + I ) 1 +^ 3500 ( 1 + I ) 3 +^ 4000 ( 1 + I ) 4 +^ 5000 ( 1 + I )
5 POR TANTEO 1= 20%
5-Una persona invirtió $3 150 en un negocio que le produjo ganancias de $500 cada fin de año, de los años 1
a 6. Al final del año 7 su ganancia fue de $400, al final del año 8 la ganancia fue de $300 y al final del año 9 la ganancia fue de $200, momento en que decidió retirarse del negocio. Al final del año 9 también vendió todo lo que quedaba del negocio en $80. Determine la tasa de ganancia anual que obtuvo esta persona por la inversión que realizó durante nueve años.
Respuesta= 5.43%.
3150= 500 ⌊^ ( 1 + i ) 6 − 1 i ( 1 + i ) 6 ⌋^ +^ 400 ( 1 + i ) 7 +^ 300 ( 1 + i ) 8 +^ 280 ( 1 + i )
9 por prueba y error se encuentra que i=
9- Una constructora decidió edificar unos condominios para venderlos una vez terminados.
El programa de desembolsos e ingresos se muestra en la tabla 3.8.
Los ingresos pueden obtenerse de dos formas: vender de contado los condominios a una
inmobiliaria por $2 500000 o hacerse cargo de la venta de cada departamento a particulares a un
plazo de 10 años. Si la decisión es venderlo a plazos a particulares, ¿cuál es el ingreso anual
uniforme que deberá recibirse cada fin de año, durante los próximos diez años, a partir de la
terminación de la construcción, para que resulte indiferente esta opción o vender todo de contado?
Considérese que en el periodo de construcción el interés se capitaliza semestralmente.
RESPUESTA Deberán recibirse $616,663.
1000 ( 1 + i ) 4
- 100 ( 1 + i ) 3
- 250 ( 1 + i ) 2
- 160 ( 1 + i ) 1
- 432 = 2500
I= 10% semestral iefectivo anual= 21% anual
A= 2500.6( 0.2100( 1 +0.2100) 10 ( 1 +0.2100) 10 − 1 )^ = $616.
10- Una institución de crédito prestó a una empresa 20 millones de pesos (mdp) con la facilidad de
que la empresa pagaría la deuda como pudiera y que la institución de crédito le avisaría cuando la
deuda estuviera saldada. La empresa realizó ocho pagos mensuales por 1.37 mdp cada mes, de los
meses 1 al 8. Luego, por problemas económicos, suspendió los pagos de los meses 9 al 15. A partir
del mes 16 y hasta el mes 30, la empresa pagó 1.2 mdp mensuales. Al momento en que la empresa
hizo el pago al final del mes 30, la institución de crédito le comunicó que si pagaba 3 mdp al final
del mes 31, consideraría que la deuda estaba saldada. Determine el interés efectivo anual que está
cobrando la institución de crédito por este tipo de préstamos.
RESPUESTA 3% mensual e interés efectivo anual de 42.57%.
20 =1. ( ( 1 + i ) 8 − 1 ( 1 + i ) (^8) )+1.2( ( 1 + i ) 15 − 1 ( 1 + i ) (^15) ) 1 ( 1 + i ) 15 +^ 1 ( 1 + i ) 31
por prueba y error se encuentra que i = 0.03 o 3% mensual iefectivo anua1 = (^1 +0.03) 12 − (^1) =0.4257 o
aprox. 43%
11-El Departamento de Alumbrado Público de una ciudad tiene tres propuestas mutuamente exclusivas
para instalar el servicio, cada una con diferente tecnología. Los datos de muestran en la tabla 3.9.
Si la TMAR que se aplica es de 10% anual, seleccione una alternativa por el
Método del VPN.
RESPUESTA Selecciónese A VPN = $31.36.
VPNA = -2500 + 520(PIA, 10%, 7) = $31.
VPNB = -3100 + 300(PIA, 10%, 5) + 100(PIG, 10%, 5) + 700(PIA, 10%, 2) (PIF, 10%,5) = $-
VPNc = -2850 + 600(PIA, 10%, 3) -300(PIF, 10%, 4) + 700(PIA, 10%, 3) (PIF, 10%,4) = $-
Selecciónese A VPN = $31.
12. Calcule el VPN del problema 1, si la TMAR es de 15%.
RESPUESTA VPN = $7.51.
VPN =− 123 + 20 ( 1 +0.15 ) 1 +^ 30 ( 1 +0.15 ) 2 +^ 40 ( 1 +0.15) 3 +^ 60 ( 1 +0.15) 4 +^ 60 ( 1 +0.15)
13. Encuentre el VPN del problema 3, si la TMAR es de 8%.
RESPUESTA VPN = $679.
VPN =− 100 + 200 ( 1 +0.08 ) 1 +^ 250 ( 1 +0.08 ) 2 −^ 100 ( 1 +0.08) 3 +^ 300 ( 1 +0.08 ) 4 +^ 350 ( 1 +0.08)
14. El parque de diversiones infantiles Boredkingdom está considerando cinco propuestas para nuevas
instalaciones con qué divertir a los niños. Los datos que ha logrado recabar la empresa se muestran en la tabla 3.10. Si el periodo de planeación es de cinco años y la TMAR de Boredkingdomes de 10%, determine la mejor propuesta con base en el cálculo del VPN. RESPUESTA B, VPN = $0.86 es la mejor opción.
a) 829.5 = 1 00(PIA, 18%, n) = 50(PIG, 18%, n) n = 7 b) Con la misma ecuación pero con un i = 25%; n = 10 , suponiendo que el interés se capitaliza anualmente.
- De las dos siguientes propuestas mutuamente exclusivas, con una TMAR de 12% y para un periodo de seis años determínese a) el VPN, b) la TIR de cada una (véase la tabla 3.12). RESPUESTA a) VPNF = $93.88, VPNG = $42.17; b) TIRF = 15%, TI~ = 15%. a) VPNF = - 675. 5 + 4 50(PIA, 12%, 3)(PIF, 12%,4) = $93. De la misma ecuación con VPN = O
- 5 = 450(PIA, i, 3)(P 1 F, i, 3)TIRF= 15% b) VPNG = - 788.3 + 400(pIA, 12%,4) - 100(PIG, 12%,4) + 50(PIF, 12 %,5) Para el cálculo de la TIR: 7 88.3 = 400(PIA, i%,~) - 100(PIF, i%, 4) + 50(PIF, i%, 5) = 42. 17 TIRG= 15%
- Una constructora desea adquirir una revolvedora móvil de mezcla para utilizarla en sus construcciones. El periodo de planeación es de cinco años y la TMAR de la constructora es de 8% anual. ¿Cuál revolvedora debe seleccionarse si se calcula el VPN? (véase la tabla 3.13).
RESPUESTA VPNR1 = - $278; VPNR2 = $16.7; R2 es una buena selección
VPNRJ = - 2600 + (460 - lOO)(PIA, 8%, 5) + 1300(PIF, 8%, 5) = $- 278 VPNR 2 = - 3400 + ( 740 - 140)(PIA, 8%, 5 ) + 100(PIF, 8%, 5) = $+16. 7
20. El propietario del Café Internet Free Chating invirtió $160000 en la compra y acondicionamiento de
un pequeño local. Al final del primer año invirtió $120000 en la compra de 10 PC. El negocio funcionó
muy bien, pues al final del año 2 las ganancias fueron de $70000, al final del año 3 ganó $85000 y al
final del año 4 ganó $100000. Ante tal situación, el propietario realizó una inversión adicional por
$130000 al final del año 5 para una ampliación de las instalaciones. Sin embargo, las ganancias ya no
fueron las esperadas y los ingresos netos fueron de sólo $40000 en cada uno de los años 6 alll, momento
en que cerró el negocio y vendió todas las PC como chatarra en $20000. Con una TMAR = 7% anual
a) determine por medio del VPN si fue conveniente el negocio durante los 11 años,
b) determine la tasa de rendimiento anual que ganó durante cada uno de los 11años.
RESPUESTA a) VPN = - $12581.2; b) TIR = 6% anual.
vpn =− 160 − 120 ( 1.07) 1 +^ 70 ( 1.07) 2 +^ 85 ( 1.07 ) 3 +^ 100 (1.07 ) 4 +^ 130 ( 1.07 )
5 +^40 [
( 1.07 ) 6 − 1 0.07 ( 1.07)
6 ][
1 ( 1.07)
5 ]+^
20 ( 1.07) 11 a) Con las cifras expresadas en miles en la ecuación anterior se encuentra que VPN = - 12581 .2. No aceptar b) Con la misma ecuación igualando el VPN a cero y teniendo como única incógnita a i, se tiene que, por prueba y error: TIR = 6% <TMAR = 7%. No aceptar inversión.
21. La compañía de TV por cable Multialienation pretende instalarse en la zona oriente del país con los
siguientes datos monetarios: inversión inicial en la primera etapa del proyecto $10 000 millones;
inversión en la segunda etapa del proyecto al final de cuatro años $10 000 millones. Ingresos anuales por
venta de membresías, $2000 millones el primer año y aumento de $500 millones en los años restantes
hasta el año 8, después del cual los ingresos permanecerán constantes. Si se planea para un periodo de 12
años, determine el VPN de la inversión con una TMAR de 15% anual.
RESPUESTA VPN = $4629 millones. VPN = - 10 - 10(PIF, 15 %, 4 ) + 2(PIA, 15 %, 8 ) + 0 .5(PIG, 15 %,8) + 5 .5(PIA, 15 %, 4)(PIF, 15 %,8) = $ 4629
22. Una institución educativa ha invertido $328 130 en equipos de impresión. Su proyecto consiste en
reproducir textos que se impartirían en la escuela y venderlos a bajo costo a sus estudiantes. Se quiere
hacer un tiraje anual de 25000 ejemplares al principio de cada ciclo escolar. Se calcula que al término
del primer semestre se haya vendido 70% de los ejemplares y al final del segundo se hayan agotado los
inventarios de textos, un ciclo que se repetiría año con año. Cada texto tiene un precio de $8 y los costos
de producción son de $3.5 por ejemplar. Calcule la TIR de la inversión de la escuela para un periodo de
cinco años, si los equipos de impresión tienen un valor de salvamento de $20000 al final de los cinco
años.
RESPUESTA TIR = 20.49% anual.
Se considera que la inversión inicial es de $328 130 + 25000(3.5) = $415630 porque se produce al
principio del año escolar y se vende hasta agotarla durante los próximos dos semestres.
El ingreso al término del primer semestre es 25000(0.7) (8)= $140000; este ingreso se repite cada
semestre non, es decir, se tendrá en los semestres 1, 3,5, 7 Y 9.
En el semestre par, 2 , 4 , 6, 8 Y 10, los ingresos netos son 25 000(0.7) (8) = $140000 menos los
costos de hacer nuevos apuntes 25000(3.5) = $87500, por lo que el ingreso es 100000 - 87500 =
26. Una empresa de productos metálicos necesita una bodega para distribuir productos a una zona
muy alejada de la fábrica y tiene dos opciones para disponer de la bodega. La primera opción es
rentar una bodega por $700 al año, los cuales se pagan por adelantado cada año. La segunda opción
es comprar la bodega en $2500, pero en este caso la empresa tendría que aportar el costo de los
pagos de impuesto predi al y mantenimiento de las instalaciones, lo cual asciende a $100 por año y
estos pagos se efectúan cada fin de año. Para un periodo de seis años, determine cuál es la tasa de
interés que haga indiferentes a ambas alternativas, es decir, determine un interés que haga que el
VPN de ambas alternativas sea igual.
RESPUESTA 19%.
28. Un hombre que planeó probar suerte en el hipódromo de su ciudad natal, apostó $200 cada fin
de mes durante tres años. Los únicos premios que obtuvo fuero de $5000 en el mes 35 y de $
en el 36. Si este hombre considera que su incursión en el mundo de las apuestas es una inversión, a)
¿cuál fue la tasa de rendimiento anual que obtuvo durante los tres años? b) Si hubiera obtenido los
premios en los meses 17 y 18, ¿cuál sería su tasa de rendimiento mensual?
RESPUESTA a) 35.67% anual; b) 2.58% mensual.
29. Evil Designer Co., empresa fabricante de armamento, invirtió $1 500 millones en la compra de
equipo para producir un cañón láser de largo alcance. El primer año las ganancias netas por la venta
del novedoso producto fueron de $800 millones, pero estas ganancias disminuyeron en $
millones anuales hasta hacerse cero en el noveno año. Ante la nula demanda del cañón por el
advenimiento de la paz, se decidió vender el equipo que lo fabricaba en $300 millones al final del
décimo año. Si la TMAR de la empresa es de 12% de interés anual, ¿de cuánto es el VPN de la
inversión? RESPUESTA VPN = $1123.55.
30. El conocido gourmet D. A. Davis Senna planea invertir en un restaurante de lujo. Su aportación
inicial sería de $350000 y el local tendría una capacidad para atender a 250 personas diarias. Se
calcula que la ganancia neta promedio, que proporcionará cada cliente es de $10. Las instalaciones
del restaurante durarán siete años en buen estado y al final de ese tiempo podrían venderse en $55000.
Si el señor Senna hace una planeación para siete años, ¿cuál es la asistencia promedio diaria que debe
tener el restaurante para que pueda ganar su TMAR de 10% anual? Considérese que el negocio abre todo
el año. RESPUESTA Deberá atender a 18.1 personas/día en promedio
33. Un laboratorio de investigación desarrolló un dispositivo de ultrasonido para detectar cáncer de
páncreas en su primera etapa, con una precisión de 96%. Ahora está considerando rentar el dispositivo al
hospital Sure Slay por $400000 durante el primer año, con incrementos en la renta de $40000 cada año.
Es decir, al final del segundo año cobraría $440000, al final del tercer año cobraría $480.000, etc.,y haría
un contrato de renta por nueve años. El laboratorio de investigación ha calculado que invirtió un total
de 2 millones de pesos en el desarrollo del dispositivo. a) Con una TMAR de 20% anual determine
si es conveniente para el laboratorio rentar el dispositivo en las cantidades señaladas durante nueve
años. b) Sin embargo, el gerente de ventas de la empresa dice que, como es la primera vez que se va
a utilizar el dispositivo, hay incertidumbre sobre la demanda en su uso, por 10 que sugiere que la
cantidad inicial demandada debe disminuir, pero que se debe mantener el aumento anual constante
de $40000. Determine la mínima cantidad que se debe cobrar el primer año para que aún sea
conveniente para el laboratorio la renta del dispositivo durante los próximos nueve años.
RESPUESTA a) VPN = $69720; b) A = $382702.26.
34. Una compañía minera ha hecho exploraciones durante cierto tiempo, en la búsqueda de alguna
veta aurífera. Finalmente, al cabo de 27 meses de iniciadas las actividades encontró un yacimiento.
Los datos de sus costos se muestran en la tabla 3.15.
Las estimaciones hechas por expertos señalan que es posible obtener una cantidad mensual de metal
con un valor de $32 millones, por un periodo de ocho años a partir del mes 30; al cabo de los ocho
años la veta se agotaría. El valor de salvamento de todas las instalaciones y equipo se estima en 250
millones. Determínese la TIR anual de la inversión a 10 largo de los 10 años y cinco meses del
negocio minero. RESPUESTA TIR anual = 45.9%, 3.2% mensual.
35. El equipo de futbol de tercera fuerza Ballenatos de Me1aque ha tenido tres desastrosas
temporadas y los propietarios aseguran que en vez de ganar perdieron, debido a 10 cual desean
vender el equipo. Durante el balance surgieron los datos consignados en la tabla 3.16.
Si la TMAR de los propietarios del Ballenatos es de 8% mensual, determínese si fue
económicamente rentable tener al equipo durante 1988-1990.RESPUESTA No lo fue, pues se ganó una
TIR de 7.825% menor a la TMAR de 8%.
36. Calcúlese la(s) TIR del siguiente diagrama de flujo en la gráfica 3.23.
RESPUESTA TIR = 161.5.
