Ejercicios resueltos de cálculo y propuestos de cálculo, Apuntes de Matemáticas

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APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

CÁTEDRAS: CÁLCULO, CÁLCULO I, MATEMÁTICAS II

PROFESOR: CLAUDIO GAETE PERALTA

APUNTE: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

CÁTEDRAS: CÁLCULO, CÁLCULO I, MATEMÁTICAS II

PROFESOR: CLAUDIO GAETE PERALTA

Licenciado en Matemáticas, Magíster en Matemáticas, Postítulo en Didáctica de la Matemática. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.

Actualmente atiende las cátedras de "Cálculo", "Cálculo I", "Cálculo II", "Cálculo III", "Matemáticas II", "Matemáticas III" de la Universidad Bernardo O´Higgins. Además, se desempeña como Coordinador de Cálculo dentro del Departamento de Matemáticas y Física.

• PRESENTACIÓN ÍNDICE
• I. ECUACIONES
• EJERCICIOS PROPUESTOS
• II. FUNCIONES
• A. EVALUAR FUNCIONES
• B. MODELAR FUNCIONES
• C. DOMINIO Y RECORRIDO DE FUNCIONES
• D. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
• III. FUNCIÓN LINEAL
• A. ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE
• B. FÓRMULA DE PENDIENTE
• C. FUNCIÓN CUADRÁTICA
• IV. LOGARITMOS
• A. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
• EJERCICIOS PROPUESTOS
• V. LÍMITES
• EJERCICIOS PROPUESTOS
• VI. CONTINUIDAD
• EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO
• VII. DERIVADAS
• A. RAZÓN DE CAMBIO
• B. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
• C. OPTIMIZACIÓN
• EJERCICIOS PROPUESTOS
• VIII. CONCLUSIONES
• IX. BIBLIOGRAFÍA DE APOYO

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

PRESENTACIÓN

En mi experiencia docente, he escuchado decir muchísimas veces a diferentes estudiantes que "son malos para Matemáticas". Si usted se siente identificado con eso, yo le comento que no existe la persona que sea mala para las matemáticas, y que sólo hay una manera de aprender en este terreno: practicando permanentemente y a diario. Alguna vez leí por ahí, una entrevista a Ricardo Baeza, Premio Nacional de Ciencias Exactas 2009, quien mencionó que hay que ver a las Matemáticas (¿o la Matemática?) como un desafío y que esta disciplina es útil para cualquier ámbito de la vida. Por lo mismo, para él la clave está en “hacer ejercicios, más ejercicios y más ejercicios”.

Este material es inédito, ya que recopila diversos problemas de Matemáticas que han surgido dentro de mi labor docente. Dentro de estos problemas, algunos aparecen como propuestos (pero no resueltos), en diferentes libros de Matemáticas que usted podrá encontrar dentro de la Bibliografía ubicada al final de estos apuntes.

El propósito de este apunte es reforzar las diferentes temáticas que se estudian en los cursos de Cálculo, Cálculo I y Matemáticas II, dentro de la Facultad de Ingeniería y Administración de la Universidad Bernardo O´Higgins (UBO), presentando no sólo ejercicios resueltos, sino también propuestos. Cabe señalar que estos apuntes tiene un carácter de apoyo al estudiante y que por sí solo podría resultar insuficiente si no es complementado con otros textos de estudio y/o con lo enseñado en clases.

Estos apuntes constan de siete capítulos. El capítulo I, cuya temática es Ecuaciones, es un capítulo que si bien no forma parte de los programas antes mencionados, es un tema que resulta fundamental para el desarrollo de estos. Desde el capítulo II hasta el capítulo VII, los contenidos son presentados en el orden en los que aparecen en los programas de estudio de las diferentes carreras de Ingeniería de la UBO.

Claudio Gaete Peralta

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

Resuelva la ecuación

 3 4 ^

6 ^

Solución

Tenemos que ..  4,6,9  36. Por lo tanto,

4 ^

6 ^

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

Resuelva la ecuación  #    #  # $ , donde #, $ son números reales y #  0

Solución:

 #    #  # $

Resuelva la ecuación

2 3 

Solución: En primer lugar, como restricción, tenemos que  0. La idea principal es poder quitar los

denominadores de esta ecuación. Fijándonos en los coeficientes de cada denominador, tenemos que

..  3,2,10  30

De esta forma, si multiplicamos a ambos lados por 30 , seremos capaces de eliminar los denominadores y

trabajar con una ecuación que será más sencilla

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

La edad de Fernando es la mitad de la de Pedro. Hace tres años Fernando tenía un tercio de la edad que

tendrá Pedro en nueve años más. ¿Cuánto será la suma de las edades en dos años más?

Solución: Denotemos por ), * las edades actuales de Fernando y Pedro, respectivamente. Tenemos que

)  +

3 *^ 9

Reemplazando la primera ecuación en la segunda, tenemos que

Reemplazando este valor en la primera ecuación, tenemos que )  18. De esta forma, las edades actuales

de Fernando y Pedro son 18 y 36 años respectivamente. Por lo tanto, en dos años más, sus edades serán de

20 y 38 años y así, sumarán 58 años.

Resuelva la ecuación

1 2  1

  1 ^

Solución: En primer lugar, como restricciones, tenemos que  1,  3.

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

La idea es poder sacar los denominadores, para poder trabajar con una ecuación más sencilla. Si

multiplicamos a ambos lados por ^  1^ ^ 3^ habremos quedado libres de incógnitas en los

denominadores y de esta forma podríamos empezar a resolver la ecuación. Si el lector(a) no queda

conforme y desea además sacar los coeficientes de los denominadores, será necesario multiplicar a ambos

lados por el mínimo común múltiplo entre 2 y 4

De esta forma, si multiplicamos a ambos lados de la ecuación por 4^  1^ ^ 3^ podremos trabajar

solamente con numeradores y no con denominadores:

  1 ^

2^  1^ 3^ 8^ 3  ^  1

2^2  3^8 24  ^  2 1

Las raíces de esta ecuación son (^)   ,-√ /^ y  ,-,√ /^ , lo que resuelve el problema

EJERCICIOS PROPUESTOS

Resuelva las siguientes ecuaciones

1.  1^0   1^0  6   3

3. 3 
^  1 
0  7 

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

Considere la función :   0
;
,0. Determine <=:, :1, :0, : >? , : > ?

Solución:

:1 

2 ∙ 0  3 ^

2 A 

3 ∙^12

2 ∙^12  3

A 

3 ∙ ^12

2 ∙ ^12  3

^32

Considere la función :   2  1. Determine :1 , :1  

Solución: Tenemos que

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

Mientras que

:1    21    1   1  21  2   1 1  2  4 2  1 1  2  3 2 ∎

Considere las funciones 5   3  1 y :   2 35 . Encuentre el valor de :1

Solución: Tenemos que

:1  2 ∙ 1 351  2 33 ∙ 1  1  2 3 ∙ 2  2 6  8 ∎

(Función de costo) Una compañía ha determinado que el costo (en miles de dólares) de producir unidades

de su producto por semana está dado por:

B   5000 6 0.

Evalúe el costo de producir:

a. 1000 unidades por semana. b. 2500 unidades por semana. c. Ninguna unidad.

Solución:

a. B2500  5000 6 ∙ 2500 0.0022500^ 32500 (32 millones 500 mil dólares)

b. B1000  5000 6 ∙ 1000 0.0021000^ 13000 (13 millones de dólares)

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

B. MODELAR FUNCIONES

Una línea telefónica debe tenderse entre dos pueblos situados en orillas opuestas de un río en puntos A y B.

El ancho del río es de 1 kilómetro y B está situado 2 kilómetros río abajo de A. Tiene un costo de 5 dólares

por kilómetro tender la línea por tierra y 10 dólares por kilómetro bajo el agua. La línea telefónica deberá

seguir la orilla del río empezando en A una distancia (en kilómetros), y luego cruzar el río diagonalmente

en línea recta hacia B. Determine el costo total de la línea como función de.

Solución: La figura ilustra este problema. La línea telefónica se extiende de A a C, una distancia a lo largo

de la orilla y luego diagonalmente de C a B. El costo del segmento AC es c mientras que el costo de BDEEEE^ es

10(BDEEEE). El costo total (llamémosleF) está dado por

F  5 10 BDEEEE

Por medio del teorema de Pitágoras, llegamos a que EBDEEE^  √  4 5

Por lo que el costo será de

F  5 10 G^  4 5

Pregunta: ¿Cuál es el dominio de esta función en el contexto del problema?

∎

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

Un rectángulo tiene un lado de pulgadas. El perímetro del rectángulo es de 20 pulgadas. Exprese el área A

como una función de y establezca el dominio de esta función.

Solución: Sean , F los lados del rectángulo. Como el perímetro del rectángulo es de 20 pulgadas, tenemos

que

2 2F  20 2 F  20 F  10 (*)

Ahora bien, el área de un rectángulo, corresponde a

H  F

Pero de (*), tenemos que

H  F  10     10

Esto expresa el área H como una función de. El lector(a) se dará cuenta que “matemáticamente”, el

dominio de esta función es , pero para el contexto del problema, este no puede ser el dominio, debido a

que si, por ejemplo,  11, entonces H  11, lo cual no puede ser, ya que el área no es negativa. Para

determinar el dominio de esta función (en el contexto del problema), necesitamos que H 0 , es decir,

Por lo que <= H  30,

∎

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

a. 3 0 , por lo que <=5  33, ∞

b. 2  4 0 , por lo que <=:  32, ∞

c. Notemos que

Por lo que  3 y  4. De esta forma, <=C  L  13, 

Considere la función 5   M
NO
P , donde #, $, y Q son números reales y  0. Determine el Dominio y

Recorrido de esta función.

Solución: En primer lugar, debemos notar que 5 es una función racional, luego su denominador debe ser

distinto de cero. Así, tenemos que

Q  0

Q

Con esto, tenemos que <=5  L  R PO S. Para determinar el recorrido, hagamos F  5  y despejemos

en función de F

F 

Q / 

Q

F Q  # $

F FQ  # $

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE CÁLCULO

F  #  $  FQ

F  #  $  FQ

$  FQ

F 

Donde la división puede ser realizada siempre que F  #  0, es decir F  MO,  0

Así, TU 5  L  RMOS ∎

Dada la función 5   # $ , con #, $ y números reales, con #  0. Determine dominio y

recorrido de dicha función.

Solución: En primer lugar, debemos notar que el dominio de esta función es siempre. Para determinar el

dominio de esta función, debemos analizar dos casos:

Caso 1: # 0_._ En este caso, el recorrido de la función será 1

TU 5  V5 @

A , ∞ V  W 

, ∞ W

Caso 2: # 8 0_._ En este caso, el recorrido de la función será

TU 5  X∞, 5

2#X  Y∞,^ 

4#Y

(^1) Realice la gráfica de la función para entender geométricamente lo que se está haciendo.