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1. Dada la función f: [0,2] > RR por 1 si0 Gaoxio máx Uco) ax =101/2)+ 1(l/2) + 5/2 (l/2) +5 Cle) =17/4 2 S=12/4 Ahora para las sumas de Riemman , tomamos los puntos medios de cada subintervalo d- =0+2 1 Pars [OrT), mo0tE <<. L=f(19)€ 0,1) £01/4) =1 +2 6) 610,1) => fc30)=1 y ZE AC) EL 1,2) 4 (5/0) = 5/41 = 9/4 Para [E21, mas 0% 2 = 72 ZA 2 L£OMEIyD7LOA) me l= 1/9 Finalmente: a uma de Riemman = E Fimidari = 1(1/2) +101/2) 4 9/4.cU2)+ 0/42) = 1/2+12 +9/4+/ : E : él *, Suma de Riemman =%* = 8/8 r20/8 = 28/83 ss] =3/2 e a 1 |] Mes Y fuade =0 edo io] j 4 bl | Fl |] po] | ' 1 | ¡ | ! T > Ñ e 7 Ll! | — e A +++ UPA | or sl LE Ha) » e. o qn — PE e L L_ 1 ATT Y TÍ TARA AHKR MM ++ A ... - E ¡A | EN] OOO DO — SO O A CA A AE bs 4 MA A al E | o AO AS | TY Ml ye CO DERCCENA ENEE E Ha 32 APOR*i AUT ANAND AN o $3 ba = ¡INMUNE CUNA Co. an 44 4- q OEA ess a o O IC AE EL o. Edad las | El TTTTA SU TT . Per 333 0% 3 EE ¿id la — EE | 3 ITETTTTRSIRE AA bale 13d sa a 634 dd di ad sn LOA CON HTA | Í 1 O O O O O —— MEN Luego DIO IES IIA DON O : cd (SAN dom ax =5 aia Y: Y Sa Peas entotes 5 (4,0) 239, Taso Coaluryumplo: $007 * £(0,1] Sea e “ho... Uy Lon + AX + tritio entonces Mira no A E 1 31 y Y Luego az SU mr trdences | S (5,0) >5t,P) s. da adimación totali A CIN 3. Demostrar que b pe 3 —- f da=q 0 considerando particiones que generen n subintervalos de la misma longitud. Sea F Cama acotada ent Pes integrable en Cay 6) YE?0 ta Pepitas) ta SURS (fr) 00 nú ¿1 N- (345 5 +t -=4 na (5) =Yim Linf4cn+n? > (241 ape Hr Te = lim 6% cnn? A00 ala zi? 4n? TON = 1% lim cnn? y no. n* bl him n++2n+1 N EMO o, e Zn? =4% (1) Entonces = Y ENANA bi sy? 7 na =4 2 “-U-P) | AS dx =bn340 M- dada quy 400 Y? eieroñdo yaa prada homagnea Averno, Y ¿iguendo LUYw ponlo, wtermed os t oy port de ku Vea ti PARA UR en ¿Suto, dios puntos eshán enfos Maleryados es 8) Sima de Bremann donde : p EA GÓ purlo imiermedro un E S $ (84) Me srtieleniado Lx; Y t11 11 LEN | [EY Ata Ag Aki is Va Mongu AA side vio Puntos de portuwn | Ha E do ] Condones E 6 Leyla EE e Juan - dadas es di Po E dol Ju Harto E Di E mn CNN E o de heraman. qeda E CH p AT El MENE (oda E Arda ml | Ly +40 1] | Pl vol lo putos de PA | Goo y bazar G-na, - 1) qua +) (nO 7 ¡Ni y i E: GEO IA azi am — A A E A A 1 nal A | PP. | l O O O A | | i— Nui mM 2. TA 1 q | 2 e A | 4 1 i | —— 1 .. me | lyl um 4 LA] mn ul A A OS JO E A ue iii | 141 MD A! ll | | 1 A A A t | ORO 4 | ! E ' Ll 1] Tialmxdlim | nai) ¡_ 2 E O A DE pe | JT lA A MS O O A E 1] A IO IE SO ( Lh-a)y> dial Ls + 1 4 O PP O E A Lilfi1i1ti1d) ES iN ay A A O A DI E A De ce a HAN A) ¿ar | La mw (n¿ Dn > UN MA pe e PA | a [ S A A A j _—! (mo A MES e O A a a O CO ] a e A Va] ' i | | ! AAA q , a po A | o ec rc + Pe A O O A A A | a ' a 4 1] -0Y) + allbr ] pl ] Y 0 (a ¡ |] j | O O 0 A O A O A A HA hal ales E ! J hilos | ME O O O O PS PE DU AA O O O PO OP O O A 0 | aL 00 0 | A 0 Ad — dell —H24+24+4- E A E PA PA 1 LL +— rl PL 5. Demuestra: si ACSBCR ysif:B > Res acotada en B, entonces inff 0) > inffG) sup f(x) < sup f(x) (A) (B) Por definición inf £exy = inf Uf cx) :xe A La) ing fex) = inf Ufcx)¿xeBY Como ASB,tendremos entonces que Ufoo:xenyS [£cx, :xeB) Entonces el conjunto Lfcx)' xeB) contiene. todos los nómeras de Uf cx) : xe A) Y posiblemente otros más pequenos de modo que como ¡nf fex) es el número más grande Menor o igual atodos los valores que toma f en B. bid . ot tex) Zin€ ee ta) DALE Analogamerte Por definición SUP Lex) = Sup Efcx) -X€ AY Ca) sur tex) =sup Ufcx) :xeB% Como AEB, tendremos .entónces que ULex : xep) < U£fcx, xen) Entonces el conjunto [fexr : xeB) contiene todos los nómerós de Uf cx): x.€ A) y posiblemente otros más pequeños , de modo que como sup fext es el número más pequeño mayor o igual a todos los valores que toma * en B “e? 1] e. SUP fax) £ sue few) CA) (u >) 7. Usando la definición de derivada según Caratheodory demuestren que: f es derivable en x, con f(x0) +0 entonces + es derivable en x. y () (o) = EN . La definición de derivada de Corat heódory es. Lo) = Flo) + Poo xo) donde PExo) =$ 'cxo) 8) Considerando ge = 1 F Sustibuyendo E) en 9cx) 90) = : Fox) HP cx) Cx=ko) Ahora cuando x Xo, LOL Lo) = E cxo) => IR 00 Cx-xo) HO (Cx-Xo)%) donde O (exo) representa (£ (xo) errores de-orden—mayor, La definición de Coratheodory aplicada a 9cx) implica que debe existir Una función continua (PEX tq: 90x) =3CxX0) + WC) C4-Ko) Comparada con el desarrllo anterior: YO) = - La) (E(x0))? Dado que Y cx) —» Elkxo] cuando Xx Xo (Y 0%) = —£ 0x0. EF Ccx0)) UB 07Su sed e ua fundo que ce 611 Ds Ned ga pe vit Ye ud dd wuro, dende Yro>O. Demuelet Yue 31 denvolle A LerOo. Deo. AE 4 Wecordemos la denvuida Lo LexO - — DO PO O | - 400-S10) _ TES) i—| nm o UN Ñ $' (oy = EL” Ao | Lu lú A T AAA 1 me TE e A o fono Mond ES A entonces — CI O 1 LJ pl | | , y A A EE a e o | ix 1 | | ¡DN PL) AL : O DP Sid AL Pri —- Pri Lomo 120 SO olintes | eV” 2 0 EL Lidl Cigplti it ando X=>0 , ontonies A —Y 44 | , | l ] | | ] 1 ) | / / —| A ñ a | Op iitiit O VA E HE Adol tii o y — _A ! ¡EN a | | | | [1] | Li o INN LL] ALS o Decordemos LA dde vna une 5 ¡_Acododo oda ae Serde Ñ AS AM A A A Entonces Como Pl Eds RES demuride ea 0 | = Y AL e | y ¡A O PEO O FP O E E A A A A ME | dal AAA mi — |] LL] lalo O O OS O A BA O PO A IS A 5 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 A =P IS "(0 SS O SS O OS O A AI 00 0 SS 00 0 SD 0 0 O O o ANAND 0 O O O O O O A PEF 41 0 0 0 MEME 000 0 0 0 0 0 O | Ph] | ME NA | Í +! c) Sean f, g:[a,b] + R acotadas, f integrable en [a, b], f = y excepto en un número finito de puntos, entonces y es integrable y Sup f=9 excepto en las puntos bi/tz,.tneCa/67 definimos alas funciones * 9,/:Ca,6] 2 4tq fuaz9100, VxeCa/,67 ATEN y gi tén=gCtd da la bg fexo= 92 tx), Vr E Ca/67 Ut 1, da) y Q¿léi=g(tdl, 92(t2)=39(t2) dorde 9: (x)=92Cx) excepto en el punto tz Hasta gn:Ca, AIR da fam on 00, Vx eCa/67 1 tr tz,....tmd y gnCtn=9gcer), gnCta) =gltz),.-, gn(ttn) = gCtn) donde gn=9 ras ibas Melo e d) Si f(x) es no decreciente en [a,b], entonces es integrable en [a, b]. Si fon es decreciente. Sea nElIV y consideramas ura partición regular del intervalo a,b] Pa= Uxo,x1,-0-,Xn03 donde cuda subimierualo gererado por Pn es de la forma LXx-1 Xx]= ao ar seal] entonces Xk-Xka1 24 + 0-8)_ (q 4 Us-lrlical) = 6-94. Como f es no decreciente tq bae y además para cada k=1,..)n: A Mi n fe tc) Mg ziof Eto) : x€ Ox x) € (0) Mx = sup Í4ex) : XE C Xt) =4 (x= 1) a La) 35 (£,Pm)-S (€, Pn) = E Mu (X= xX01) -Z Ms (Ak —Xk-1) Kal q n (Me me) lx -Xn-1) K- S Lfan-f 6x1] 553 Ka! n = 42 2 [4-0] Kal n = 63 [£(x0)-£(%a)) = 531 01-061] € Eq [ft] = € Dado E70O existe una partición P=Pn tq S(€, tn) - 5 (€, Pa] 0 , 3 intervalos. li, l2,..., In + AcUlt; y +q E lil £ €, notemos que pedemas enumerar Einitamente Ti, 12,-.-, In í=1 Lal y por lo tanto €5a colección finita también es numerable n 00 > AcU li =U 3n donde Jk=Ik* pora ccaley AE y para cada KN Entonces la s uma de lus lonsitudes: 21541 =éhlc Como existe una cubierta nuwerable de intervalos abiertas que cubren PA Y cuya Suma Je longitudes es meror que £. . BENZ Elene medida cero t) Un intervalo (a, b) tiene contenido cero. Por contraejemplo : Sea (4/6)=(0,1) pora cubrir el intervalo completo, la unién de estos debe contener todas todos los puntas endre Oy 1 + n . q E pril1 b) Inx<2Vx—1.99 Vx> 1. a) £ur= € *-(7x+0.38) fu) = e —(2+0.38) = c*-738 20.0090961 >0 Ahora : fm=20*-7 Para Xx1 fix de-72%7.77811>0 Entonces, fcx) es aeciente y positiva desde x=I 2 fu >0 Yxzl bl ga) =26x-1.99-Un x 390 =2-1-1494-Ana) = 2-1.49-0 =0.01 >0 Pihora l 22.1, 1 21 -L= Yx 1 e x= Para Xx2l: q-179 => 90%) =0 x>0 Entonces 9 lx) es creciente para X21 Como 9170 y g'tx)Z 0 para X2l 2 9(x)>0 Yxzl 4. Suponemos que f es dos veces derivable en (a,b) y que existen puntos x, f(x,) y (x3) > f (2). Demuestren que existe un punto c € (a, b) tal que f”*(c) > 0. Dado que €es dos veces derivable , entonces f' es derivable . Considerando los valores de la derivada f' en X1,Xz y X3. La funcién f Fene un miñimo relativo en X2 y pora eso es necssorlo que F'cx2d0 y Elx 70. Corsideramos el interuclo CY, x3].for el teorema del valor medio, existe un punto c1ECX1,x2) tq £'c=£cx2)-£al XUL También existe un punto Cae (Xz, x3) tq Facd= fexsi=terz) X3=Xz2 Como (Xx >fcx2), entontes fimo 0 pues x2>7X¡ y €(X2) ÉCX2), entonces £(x31-€cx2) 50 X3—Xz 24 a <0 £ (0 >0 Como £f' es continua y derivable , existe un punto celCiyc2le (X1,x2) +9 £'c=0 pero para que f! pose de negativo a positive, fcc) debe Ser positivo en dlyún puma embre Cl y Cz. , 
