Optimizaci´on. 52
E: Un ganadero desea cercar un prado rectangular junto a un r´ıo. El prado ha de tener 180 000
m2para proporcionar suficiente pasto.¿Qu´e dimensiones debe tener para que requiera la menor
cantidad de cerca posible, teniendo en cuenta que no hay que cercar en el lado que da al r´ıo?
D: HDibujamos el prado:
x
y
R´ıo
El ´area del prado es:
A=xy = 180 000 m2.
El per´ımetro que queremos minimizar es
P=2x+y.
Despejando yde la expresi´on del ´area:
y=180 000
x
y sustituyendo en la expresi´on del per´ımetro, tenemos una funci´on de una sola variable:
P(x)=2x+180 000
x.
Sus puntos cr´ıticos se hallan cuando P0(x) = 0, es decir,
2−180 000
x2=0 ⇔x2=180 000
2= 90 000 ⇔x±300 m.
Desechamos x=−300
Como
P00(x)=2
180 000
x3=360 000
x3.
vemos que
P00(300) >0.
Luego para x= 300 m & y= 600 m tenemos la menor cantidad de cerca posible.
52canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
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