EJERCICIOS PRIMER CORTE INTEGRALES, Ejercicios de Cálculo diferencial y integral

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TALLER 1 – METODOS DE INTEGRACIÓN

María Alejandra nieto cotes

Valentina fragozo Mendoza

MARKETING Y NEGOCIOS INTERNACIONALES

SEGUNDO SEMESTRE

CÁLCULO INTEGRAL

Henry Mendoza

Integrales básicas

a) (^) ∫ √𝒙 − 𝟐 dx

∫ √𝑥𝑑𝑥 − ∫ 2𝑑𝑥

1 (^2) 𝑑𝑥 − 2𝑥 + 𝑐

3 2 3 2

3 2 3 − 2𝑥 + 𝑐

b) (^) ∫ 𝒆𝟐𝒙+𝟏𝒅𝒙 𝑒^2 𝑥+^1 2 +^ 𝑐

∫ 16𝑥^2 + 24𝑥 + 9𝑑𝑥

∫ 16𝑥^2 𝑑𝑥 + ∫ 24𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 9 𝑑𝑥

∫ 16𝑥^2 𝑑𝑥 + ∫ 24𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 9 𝑑𝑥

16𝑥^3

𝒙𝟑^ − 𝟐𝒙𝟐^ + 𝟒𝒙

𝑥^3 − 2𝑥^2 + 4𝑥

3 2 3 2

4 3 4 −

𝑥^5

3 2 3 −

4 3 4 −

𝑥^5

3 2 3 −

4 3 4 −

𝑥^5

𝑥^2 + 2𝑥 + 1

1 2

𝑥^2

1 2

1 2

1 2

3 (^2) 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑥 𝑥

1 2

1 (^2) 𝑑𝑥

5 2 5 2

1 (^2) 𝑑𝑥 + 𝑥

1 2 1 2

5 2 5 + 2

3 2 3 2

1 (^2) + 𝑐

5 2 5 + 2

3 2 3 + 2𝑥

1 (^2) + 𝑐

5 2 5 +

3 2 3 + 2𝑥

1 (^2) + 𝑐

5 2 5 +

3 2 3 + 2√𝑥 + 𝑐

Integrales método por sustitución

𝒂) ∫ 𝒙(𝟐𝒙 + 𝟓)𝟏𝟎𝒅𝒙

u= 2x+ Du= 2dx 𝑑𝑢 2 = 𝑑𝑥

𝑈 =

(𝑢 − 5)(𝑢)^10

(𝑢 − 5)(𝑢)^10

𝑢^12

5𝑢^11

𝑢^12

5𝑢^11

Reemplazamos u (2𝑥 + 5)^12 48 −

5(2𝑥 + 5)^11

5 2 5 ) + 𝑐

5 2 25 + 𝑐 Reemplazamos u

2(1 + 3𝑥^5 )

5 2 25 + 𝑐

d) ∫ √𝟏 − 𝟐𝒙𝒅𝒙

𝑢 = 1 − 2𝑥 𝑑𝑢 = −2𝑑𝑥 𝑑𝑢 −2 = 𝑑𝑥

∫ √𝑢

1 (^2) 𝑑𝑢

3 2 3 2

3 2 3 ) + 𝑐

3 2 6 + 𝑐

3 2 3 + 𝑐

Reemplazamos u

3 2 3 + 𝑐

e) (^) ∫ 𝒙

𝟐 𝟑 √𝟐𝒙 (^) 𝟑+𝟗𝒅𝒙

𝑢 = 2𝑥^3 + 9 𝑑𝑢 = 6𝑥^2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 6 = 𝑥

𝑥^2 𝑑𝑥

1 3

1 3

6 ∫^

1 3

−^13 𝑑𝑢

2 3 2 3

2 3 2 ) + 𝑐

2 3 12 + 𝑐

𝑢

2 3 4 + 𝑐

7 2 7 2

5 2 5 2

3 2 3 2

7 2 7 + 2 (

5 2 5 ) +

3 2 3 + 𝑐

7 2 7 +

5 2 5 +

3 2 3 + 𝑐 Remplazamos u

2(𝑥 − 1)

7 2 7 +

5 2 5 +

3 2 3 + 𝑐

Integrales por parte (en algunos casos es posible combinar métodos)

𝑎) ∫ 𝑥^2 𝑒−5𝑥𝑑𝑥

𝑢 = −5𝑥 𝑑𝑢 5 = 𝑑𝑥 𝑢 −5 = 𝑥

∫ (

2 𝑒𝑢^

2 25 𝑒

𝑢^2 𝑒𝑢

𝑢^2 𝑒𝑢

Resolvemos integral por parte

∫ 𝑢^2 𝑒𝑢𝑑𝑢

𝑧 = 𝑢^2 𝑑𝑣 = 𝑒𝑢𝑑𝑢

∫ 𝑢^2 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑢^2 𝑒𝑢^ − ∫ 𝑒𝑢^ 2𝑢𝑑𝑢

Sustituimos valor de la integral

−

𝑢^2 𝑒𝑢^ − ∫ 𝑒𝑢^ 2𝑢𝑑𝑢

𝑢^2 𝑒𝑢^ − 2 ∫ 𝑢𝑒𝑢^ 𝑑𝑢

Resolvemos la integral por parte

∫ 𝑢𝑒𝑢^ 𝑑𝑢

𝑦 = 𝑢 𝑑𝑧 = 𝑒𝑢𝑑𝑢 𝑑𝑦 = 𝑑𝑢 𝑧 = 𝑒𝑢

∫ 𝑦𝑑𝑧 = 𝑦𝑧 − ∫ 𝑧𝑑𝑦

∫ 𝑢𝑒𝑢^ 𝑑𝑢 = 𝑢𝑒𝑢^ − ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢

∫ 𝑢𝑒𝑢^ 𝑑𝑢 = 𝑢𝑒𝑢^ − 𝑒𝑢^ + 𝑐

Reemplazamos el valor de la integral

−

𝑢^2 𝑒𝑢^ − 2 ∫ 𝑢𝑒𝑢^ 𝑑𝑢

𝑢^2 𝑒𝑢^ − 2(𝑢𝑒𝑢^ − 𝑒𝑢)

𝑧 = ln(𝑢)^ 𝑑𝑣 = 𝑢𝑑𝑢

𝑑𝑧 =

𝑢 𝑑𝑢^ 𝑣 =

𝑢^2

𝑢^2

2 ) ln(𝑢) − ∫

𝑢^2

(^2) ln(𝑢) 2 − ∫

𝑢^2

𝑢^2 ln(𝑢) 2 −

𝑢^2

𝑢^2 ln(𝑢) 2 −

𝑢^2 ln(𝑢) 2 −

𝑢^2

𝑢^2 ln(𝑢) 2 −

𝑢^2

Reemplazamos valor de la primera integral

∫ 𝑢𝑙𝑛(𝑢)𝑑𝑢 − ∫ ln(𝑢) 𝑑𝑢

𝑢^2 ln(𝑢) 2 −

𝑢^2

4 − ∫ ln(𝑢) 𝑑𝑢 Resolvemos segunda integral por parte

∫ ln(𝑢) 𝑑𝑢

𝑦 = ln(𝑢) 𝑑𝑚 = 𝑑𝑢

𝑑𝑦 =

𝑢 𝑑𝑢^ 𝑚 = 𝑢

∫ ln(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑢 ln(𝑢) − ∫ 𝑢 (

∫ ln(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑢 ln(𝑢) − ∫ 𝑑𝑢

∫ ln(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑢 ln(𝑢) − 𝑢 + 𝑐

Reemplazamos valor de la segunda integral 𝑢^2 ln(𝑢) 2 −

𝑢^2

4 − ∫ ln(𝑢) 𝑑𝑢 𝑢^2 ln(𝑢) 2 −

𝑢^2

4 − (𝑢 ln(𝑢) − 𝑢) 𝑢^2 ln(𝑢) 2 −

𝑢^2

4 − 𝑢 ln(𝑢) + 𝑢

Sustituimos u 𝑢^2 ln(𝑢) 2 −

𝑢^2

4 − 𝑢 ln(𝑢) + 𝑢 (1 + 𝑥)^2 ln(1 + 𝑥) 2 −

(1 + 𝑥)^2

4 − (1 + 𝑥) ln(1 + 𝑥) + (1 + 𝑥) (1 + 𝑥)^2 ln(1 + 𝑥) 2 −

(1 + 𝑥)^2

4 + (1 + 𝑥) − (1 + 𝑥) ln(1 + 𝑥) (1 + 𝑥)^2 ln(1 + 𝑥) 2 −

(1 + 𝑥)^2 + 4(1 + 𝑥)

4 − (1 + 𝑥) ln(1 + 𝑥) (1 + 𝑥)^2 ln(1 + 𝑥) 2 −

(1 + 𝑥)^2 + 4 + 4𝑥

4 − (1 + 𝑥) ln(1 + 𝑥)

(1 + 2𝑥 + 𝑥^2 ) ln(1 + 𝑥) 2 +

−(1 + 2𝑥 + 𝑥^2 ) + 4 + 4𝑥

4 − (1 + 𝑥) ln(1 + 𝑥) (1 + 2𝑥 + 𝑥^2 ) ln(1 + 𝑥) 2 −

−1 − 2𝑥 − 𝑥^2 + 4 + 4𝑥

4 − (1 + 𝑥) ln(1 + 𝑥) (1 + 2𝑥 + 𝑥^2 ) ln(1 + 𝑥) 2 −

−1 + 2𝑥 − 𝑥^2 + 4

4 − (1 + 𝑥) ln(1 + 𝑥) (1 + 2𝑥 + 𝑥^2 ) ln(1 + 𝑥) 2 −

2𝑥 − 𝑥^2 + 3

4 − (1 + 𝑥) ln(1 + 𝑥) (1 + 2𝑥 + 𝑥^2 ) ln(1 + 𝑥) 2 −

−𝑥^2 + 2𝑥 + 3

4 − (1 + 𝑥) ln(1 + 𝑥) + 𝑐

d) ∫ 𝒍𝒏𝒙𝒙 𝒅𝒙

𝑢 = ln(𝑥) 𝑑𝑣 =

𝑥 𝑑𝑥^ 𝑣 = ln(𝑥)

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

ln(𝑥) 𝑥 𝑑𝑥 = ln(𝑥) ∗ ln(𝑥) − ∫

ln(𝑥) 𝑥 𝑑𝑥 Integramos por sustitución

∫ ln(𝑥) 𝑥 𝑑𝑥 𝑧 = ln(𝑥) dz=^1 𝑥 𝑑𝑥

∫ ln(𝑥)^1 𝑥 𝑑𝑥

∫ z 𝑑𝑧

𝑧^2 2

ln(𝑥)^2 2 + 𝑐 Reemplazamos valor de la integral

∫

ln(𝑥) 𝑥 𝑑𝑥 = ln(𝑥) ∗ ln(𝑥) − ∫

ln(𝑥) 𝑥 𝑑𝑥

∫

ln(𝑥) 𝑥 𝑑𝑥 = ln(𝑥) ∗ ln(𝑥) −

ln(𝑥)^2 2 + 𝑐

∫

ln(𝑥) 𝑥 𝑑𝑥 = [ln(𝑥)]

(^2) − [ln(𝑥)]

2 2 + 𝑐 ln(𝑥)^2 2 + 𝑐

e) (^) ∫ 𝒍𝒏𝒙𝒙𝟑 𝒅𝒙

𝑢 = ln(𝑥) 𝑑𝑣 =

𝑥^3 𝑑𝑥

𝑥 𝑑𝑥^ 𝑣 = −^

2𝑥^2

ln(𝑥) 𝑥^3 𝑑𝑥 = [ln(𝑥)] [−^

2𝑥^2 ] +

𝑥^2 (

∫ ln(𝑥) 𝑥^3 𝑑𝑥 = −

ln(𝑥) 2𝑥^2 +

∫^1

𝑥^3 𝑑𝑥

ln(𝑥) 𝑥^3 𝑑𝑥 = −

ln(𝑥) 2𝑥^2 +

2 (−^

2𝑥^2 ) + 𝑐

ln(𝑥) 𝑥^3 𝑑𝑥 = −

ln(𝑥) 2𝑥^2 −^

4𝑥^2 + 𝑐

Ejercicios por fracciones parciales

𝒂) ∫^ 𝒙𝟐 (^) + 𝟖𝒙 − 𝟐𝟎𝒅𝒙

𝑥^2 + 8𝑥 − 20 𝑑𝑥

(𝑥 + 10)(𝑥 − 2) =^

(𝑥 + 10) +^

Hallamos A 𝑥 = − 1 = 𝐴(−10 − 2) + 𝐵(−10 + 10) 1 = −12𝐴

−

Hallamos B 1 = 𝐴(𝑥 − 4) + 𝐵(𝑥 + 3) 𝑥 = 4 1 = 𝐴(4 − 4) + 𝐵(4 + 3) 1 = 7𝐵 1 7 = 𝐵

(𝑥 + 3)(𝑥 − 4) =^

−^17

(𝑥 + 3)(𝑥 − 4) = −^

7(𝑥 + 3) +^

𝑥^2 − 1𝑥 − 12 𝑑𝑥 = ∫ −^

7(𝑥 + 3) +^

𝑥^2 − 1𝑥 − 12 𝑑𝑥 = ∫ −^

7(𝑥 + 3) 𝑑𝑥 + ∫^

𝑥^2 − 1𝑥 − 12 𝑑𝑥 = −

∫ (𝑥 + 3)^1 𝑑𝑥 +^1

∫ (𝑥 − 4)^1 𝑑𝑥

𝑥^2 − 1𝑥 − 12 𝑑𝑥 = −

7 ln(𝑥 + 3) +

7 ln(𝑥 − 4)

∫

𝑥^2 − 1𝑥 − 12 𝑑𝑥 = −

ln(𝑥 + 3) 7 +

ln(𝑥 − 4) 7

c) (^) ∫ (^) 𝒙𝟐+𝟐𝟎𝒙+𝟕𝟓𝒅𝒙

∫

𝑥^2 + 20𝑥 + 75 𝑑𝑥

(𝑥 + 15)(𝑥 + 5) =^

(𝑥 + 15) +^

(𝑥 + 15) +^

Hallamos A 𝑥 = − 1 = 𝐴(−15 + 5) + 𝐵(−15 + 15) 1 = −10𝐴

−

Hallamos B 1 = 𝐴(𝑥 + 5) + 𝐵(𝑥 + 15) 𝑥 = − 1 = 𝐴(−5 + 5) + 𝐵(𝑥 − 5 + 15) 1 = 10𝐵 1 10 = 𝐵 Reemplazamos los valores de A y B 1 (𝑥 + 15)(𝑥 + 5) =^

(𝑥 + 15) +^

(𝑥 + 15)(𝑥 + 5) =^

(𝑥 + 15)(𝑥 + 5) = −^

10(𝑥 + 15) +^

𝑥^2 + 20𝑥 + 75 𝑑𝑥 = ∫ −^

10(𝑥 + 15) 𝑑𝑥 + ∫^

𝑥^2 + 20𝑥 + 75 𝑑𝑥 = −

10 ∫^

10 ∫^