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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CURSO: MATEMÁTICA I TEMAS: RELACIONES Y FUNCIONES
I.- Graficar:
A x / x 3 7 , B y / 2 y 3 graficar A x B y B x A.
- Que parte del producto cartesiano se obtiene si se representa gráficamente los siguientes productos cartesianos.
a) 0, x 0,
b) ,0 x 0,
c) ,0 x ,0
d) 0, x ,0
- Dados los conjuntos
A x /1 x 3 y B y / 2 y 4
hallar AxB y graficar
II. Determine el dominio, rango y grafica de las siguientes relaciones:
2 x 3 y 5 1 x 3
3 x 2 y 5
4 x 3 y 6 0
y 2 x 5 y 8 0
4. y x 2 x 1
2 2 2
x y 4 x y
2 2 2 2
x y 4 x y 4
2 2
9
2 3 0
4
x y x y
2
x y 2 x 3 y 2 0
2
x y 3 y 2 0
2
3 x y 3 y 2 0
2 2
x 3 y y 4 x 1 0
- x y 4 xy 4
II.
a) Represente gráficamente el conjunto de puntos que determinan las siguientes restricciones:
4
6
2 3
0, 0
x y
x y
x
x y
Hallar el valor máximo y mínimo de la función f x y ( , ) z x 2 y
b) Utiliza el método geométrico para maximizar la función Máx (z) = 3x – 2y sujeto a las siguientes restricciones:
6
12
9
0, 0
x y
x y
x
x y
II. Discutir y graficar:
a)
2
1
R ( , x y ) / xy y 3 2 x 0
b)
2 2 2
2
R ( , x y ) / y xy 4 x 0
c)
2 2 2
3
R ( , x y ) / x x y 4 y 0
d)
2 2
4
R ( , x y ) / yx y x 2 x 2 0
PRÁCTICA
Tema: Funciones
I. Hallar dominio y rango de las siguientes funciones:
y 3 x 2
y 4 x 1
y 4 x 5 2
x
y
x
II. 1. En los siguientes ejercicios, hallar " f g "y graficarlo
III.
2
2
3
2
2
2 2
Hallar también "g f", si existe
x x
a f x x x g x
x x
x x x x
b f x g x
x x x x
x x x
x c f x g x
x x
x x
x x x x
d f x
2
2
2
x
x g x
x x x
x x
x x x
x x
x e g x
x x
f x x x x R
PRÀCTICA DE RELACIONES Y FUNCIONES
I. Determine el dominio, rango y gráfica de las siguientes relaciones:
a)
2
y 4 x 2 x y 4
b)
2 2 2
x y 25 x 2 y 1
c) x y 4 x 6
d)
2
y 9 x x y x 2
e) x 2 y 3 4 x 2 6 y 3 6
II. Discutir y graficar:
a)
2 2 2
1
R ( , x y ) / xy y 3 x 9 0
b)
2 3 2 2
2
R ( , x y ) / y x y x 0
c)
2
3
R ( , x y ) / yx 2 y x 2 0
2
x si x
f x
x si x
2
3
1
( )
1
x si x
f x
x si x
2
x si x
f x
x si x
f ( ) x x 1 x 1
2
f ( ) x 2 x 8 x 5
III. Graficar
a) f ( ) x x 2 3
b) f ( ) x 3 x 2 1
c)
2
f ( ) x x
d) f ( ) x x
e) f ( ) x x
f)
y x x
g)
( )
x
f x
x
h)
2
2
1 1
3
( ) 2 1 2
2
2 1
1
x
si x
x
f x x x si x
si x
x
IV. Calcular f+g, f-g, f.g, f/g
2
2 1 1
( )
2 0
x si x
f x
x si x
3
3 1 8
( )
3 10
x si x
g x
x x si x
2
1
( )
1 1
x si x
f x
x si x
2
1 1
( )
1 1
x si x
g x
x si x
2
2
x six
f x x si x
x si x
2
2
x x si x
g x x si x
x si x
V. Determinar fog:
2
f ( ) x 2 x 1, x 2,
x x
g x
x x
x x
f x
x x
, ,0
x x
g x
x x
VI. Si
2
H x ( ) x 2 x 3 y
3
x
Hof x
. Calcular f(x).
PRÁCTICA
Funciones
IV. Probar si la siguientes funciones son inyectivas:
y 3 x 2
y 4 x 1
y 4 x 5 2
2
x
f x
x
- Sea f : A 1, dada por
a) Determinar A
b) Mostrar si f es inyectiva
x
f x
x
- Sea f : A 9, 1 dada por
x
f x
x
a) Determinar A
b) Mostrar si f es inyectiva
c) Mostrar si f es suryectiva
7. f ( ) x 3 x 2, x 0
2
f ( ) x x h k , x h
- Sea la función definida por
2
( ) , 0,2 2,
4
x
f x x
x
Determinar si f es una función biyectiva
- Determinar si la función
2
f ( ) x 6 x x 5 es inyectiva, si no lo es, restringir su dominio para que sea inyectiva.
V. Hallar la inversa de las siguientes funciones:
f ( ) x 3 x 1
2
f ( ) x x x 2
y 2 x 3
2
f ( ) x x 4 x 1, x 4, 3
2
3
x x x
f x
x x
- Si f ( ) x 3 x 2 a
. Determinar los valores de a de
modo que
2
f a ( ) f *( a 2)
VI. Funciones pares, impares y periódicas
- Determinar si f ( ) x sen x ( ) es par, impar , periódica.
- Determinar si f ( ) x x x es periódica.
f ( ) x x 1
es periódica
f ( ) x 2 x 2 x
es periódica
3 2
f ( ) x x 2 x 5 x 6
1
x
y sen
V. Dadas las funciones:
2
x x
f x
x x
x x
g x
x x x
Hallar:
a) f + g b) f.g
VI.
- Muestre la función
2
f x
x
es una función par y trace su gráfico.
- Muestre que la función
2
x
f x
x
, es una función impar y trace su gráfico.
VII.
- Sea la función 2 1 3 1
( ) , 3
4 2 4
g x x x x
¿ g (x) es inyectiva? ¿Hallar la inversa de g (x)?
- Dada la función
2
2
x x
f x
x x
probar que es univalente.
VIII.
- Si
3 2
( g f )( ) x x 2, f x ( ) x 6 x 12 x 8 Hallar g (x)
- Si
2 2
( g f )( ) x sen ( x 1), f ( ) x x 1 Hallar g x ( )
3. Si f x ( ) cot x g x , ( ) sec x. Hallar h x ( )si f x ( ) ( h g )( ) x
4. Si f x ( ) (1 cos 2 )sec , x x g x ( ) sec x. Hallar f ( ) x tal que
f ( ) x f g x ( )
IX. Problemas:
- Hallar posibles fórmulas para las funciones dadas en los gráficos adjuntos:
- El número de bacterias en un cultivo crece de 100 a 300 en 16 horas.
a) Halle una función de crecimiento que describa esta situación.
b) ¿Cuántas bacterias estarán presentes en 30 horas?
c) ¿Cuánto tardará la población de bacterias en duplicarse?
- Un día en una universidad cuando había una asistencia de 5 000 personas, un estudiante escucho que un cierto orador
de controversia iba a hacer una aparición no programada. Esta información fue transmitida a algunos amigos quienes a
su vez la transmitieron a otros. Después de transcurrir t minutos, f(t) personas habían escuchado el rumor, donde
0,
5000
( )
1 4999
t
f t
e
,¿cuántas personas habían escuchado el rumor (a) después de 10 minutos y (b) después de 20
minutos?.
El radio tiene una vida media de 1 620 años, ¿Cuánto tardará 80% de una muestra de radio en decaer?.
Calcular el capital acumulado por S/ 1000 durante 20 años a una tasa anual del 65% a interés compuesto: a) anual b)
semestral c) trimestral d) mensual e) continuo.
- Si la longitud de un lado de un paralelogramo es 2/3 de la del lado correspondiente de un paralelogramo semejante,
determinar la razón del área de primero al área del segundo.
Si el radio de una esfera es 4/3 del radio de la otra, encontrar la razón del volumen de la esfera pequeña al volumen de
la esfera grande.
5
(0,1)
0 x
