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JOSE CHALAN CACHIMUEL FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS PROGRAMA DOCTORADO (PhD), EN CIENCIAS ECONÓMICAS JOSE CHALAN*
PRIMERA PARTE: CONDUCTA DEL CONSUMIDOR Y ELECCIÓN RACIONAL
1. Determine el cumplimiento del axioma de convexidad (o no convexidad) de las siguientes funciones de utilidad:
Función: f (x) > 0 f (x) < 0
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝛼𝑦𝛽
U (x) = 𝛼 𝑋𝛼−
U (x) = 𝛼 (𝛼 − 1) 𝑋𝛼−
Si (𝜶 (𝜶 − 𝟏)) 𝑿𝜶−𝟐^ es > 0 (Convexa)
U (y) = 𝛽 𝑌𝛽−
U (y) = 𝛽 (𝛽 − 1) 𝑌𝛽−
Si ( 𝜷 (𝜷 − 𝟏)) 𝒀𝜷−𝟐^ es > 0 (Convexa)
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 U(x) = 𝛼 U (y) = 𝛽
U(x) = 𝟎 (No se convexa) U (y) = 𝟎 (No es convexa)
(𝑥, 𝑦) = 𝑥^2 +𝑦^2
U (x) = 2x U (y) = 2y
Si U (x) = 2 (Convexa) U (y) = 2 (Convexa)
(𝑥, 𝑦) = min (2𝑥 + 𝑦) U (x) = 2 U (y) = 1 La Utilidad (y) es lo mínimo.
- PhD © Ciencias Económicas, UNAM. Máster Universitario en Desarrollo Sostenible, Universidad Andina Simón Bolívar (2018). Ing. Administración (2012).
2. Supongamos que un consumidor desea elegir entre “hamburguesas” y “boletos de cine”, pero se enfrenta a la siguiente restricción presupuestaria: el precio de las hamburguesas ( 𝑷𝒙) es de cuatro (4) dólares, mientras que el precio de los boletos de cine ( 𝑷𝒚) es de dos (2) dólares, para lo cual dispone de un ingreso ( 𝑴) de veinte (20) dólares. 2.1. Plantee la ecuación presupuestaria y obtenga la función de la recta presupuestaria. Función: M = 𝑃𝑥X + 𝑃𝑦Y
Remplazando los datos: 20 = 4X + 2Y (ecuación) 2.2. Represente la recta de la restricción presupuestaria y explique la pendiente. 4𝑋 2 +
2X + Y = 10
X = 0 ; 2(0) + Y = 10
Y = 0 ; 2x + 0 = 10
X = 102 = 5
X = 5 Representación de la recta. X Y 0 10 5 0
2X + Y = 10
M = - 𝐵𝐴 = - 21
M = -
Análisis. El resultado determina que de cada 2 unidades de hamburguesa que elija, renuncia a una entrada al cine.
Simplificando la ecuación se obtiene el siguiente resultado.
𝒀 =
3.2. Ahora suponga que: 𝑃𝑥 = 10; 𝑃𝑦 = 20; 𝑀 = 40: determine la demanda de cada bien y
represente todo el problema en un gráfico en el que señale el punto óptimo.
𝑃𝑥 = 10 𝑃𝑦 = 20 𝑀 = 40
𝑿 =
Ecuación:
𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 = 𝟒𝟎
3.3. ¿Qué ocurriría si el precio del bien “x” se reduce a 5? Represente el desplazamiento del punto óptimo y proyecte la curva de demanda-precio del bien.
Ecuación:
𝟓𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 = 𝟒𝟎
2 1 0 (^1 2 3 4) 𝑋
𝑌
4. Suponga que la función de demanda individual de un consumidor viene dada por:
𝑋 = 𝐴𝑃𝑥0.5𝑃𝑦−2𝑀^3 4.1. Derive y obtenga el coeficiente de elasticidad precio de la demanda: ¿se trata de un bien con demanda elástica respecto a su precio? Explique el significado del resultado. 𝐸𝑥 𝐸𝑝 = 𝑓´(𝑝)
𝐸𝑥 𝐸𝑝 = 0.5 𝐴𝑃𝑥
𝐴𝑃𝑥0.5𝑃𝑦−2𝑀^3 𝐸 = 0.5 𝑆𝑒𝑔ú𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 → 0 < 𝑛 < 1 Ante un cambio en el precio, la variación en la demanda es mínima en 0.5%. 4.2. Derive y obtenga el coeficiente de elasticidad cruzada de la demanda: ¿se trata de un bien sustituto con demanda inelástica? Explique el significado del resultado. 𝐸𝑥 𝐸𝑝 = 𝑓´(𝑝´)^
𝑃 𝑓(𝑝´) 𝐸𝑥 𝐸𝑃𝑦 = −2 𝐴𝑃𝑥
𝐴𝑃𝑥0.5𝑃𝑦−3𝑀^3 𝐸𝑥 𝐸𝑃𝑦 = −2 → 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 Ante un cambio en el precio, la variación de la demanda es alta y caerá en un 2% porque es resultado negativo. 4.3. Derive y obtenga el coeficiente de elasticidad ingreso de la demanda: ¿se trata de un bien con demanda elástica frente a su ingreso? Explique el significado del resultado.
4 3 2 1 2 4 8
𝑈 1
𝑈 2
= 3𝐴𝑃𝑥0.5𝑃𝑦−2𝑀^2
𝐴𝑃𝑥0.5𝑃𝑦−2𝑀^3
5. Suponga que un consumidor se enfrenta a decisiones de consumo intertemporal, por lo que su función viene dada por: 𝑈 = 𝐶 1. 𝐶 2 Sujeto a: 𝑃 1 = 8 𝑃 2 = 6 𝑀 1 = 80 𝑀 2 = 60 𝑟 = 10 % = 0, 5.1. Obtenga, de forma explícita, las funciones de consumo presente y futuro y plantee la restricción intertemporal. 𝑃 2 𝐶 2 = 𝑀 2 + (𝑀 1 − 𝑃 1 𝐶 1 )(1 + 𝑟)
𝐶 2 =
(1 + 𝑟)𝐶 1 → 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜𝑟𝑎𝑙
5.2. Obtenga los valores del consumo presente y futuro, así como también el ahorro. Explique todos los resultados: ¿se trata de un individuo impaciente? 𝑈𝑀𝑔𝐶 1 = 𝐶 2 𝑈𝑀𝑔𝐶 2 = 𝐶 1
𝑅𝑀𝑆 =
𝑃 2 𝐶^1 → 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑐𝑖ó𝑛 Remplazando datos:
Análisis: Al caer el ingreso presente, cae tanto el consumo presente (C1), y futuro (C2) por consiguiente el ahorro.
6. Supongamos que un individuo tiene un empleo en el cual su nivel de utilidad (satisfacción) es de 30, para un ingreso de 200 dólares; y su expectativa es emplearse en otro trabajo que le reporte mayor utilidad e ingreso. Po casualidad, recibe una propuesta de trabajo (sector comercial) en la cual percibirá un salario básico más comisiones por ventas, lo cual se resume en tres escenarios con sus correspondientes probabilidades de ocurrencia: Escenario pesimista Escenario moderado Escenario optimista Probabilidad de ocurrencia: 25 %
Probabilidad de ocurrencia: 50 %
Probabilidad de ocurrencia: 25 % Utilidad Ingreso Utilidad Ingreso Utilidad Ingreso 20 170 35 250 40 320 6.1. ¿Qué resultados arroja el análisis de escenarios de incertidumbre para este individuo?, ¿debería aceptar o no la propuesta de trabajo?, ¿por qué? Utilidad esperada: 𝑈𝐸 = (0.25 𝑥 20) + (0.5𝑥35) + (0.25𝑥40) 𝑈𝐸 = 5 + 17.5 + 10
C
RP RP C
Según la resultante la utilidad esperada es de 32.5 que es mayor a 30. Se debería aceptar la propuesta porque proporciona una mayor satisfacción en promedio.
6.2. Suponga que las probabilidades de ocurrencia cambian por una crisis en el sector comercio y, ahora, el escenario pesimista tiene una probabilidad de ocurrencia de 50 %, dejando a los restantes escenarios con una probabilidad de 25 %, ¿el individuo debería tomar la misma decisión? Explique. 𝑈𝐸 = (0.5 𝑥20) + (0.25𝑥35) + (0.25𝑥40) 𝑈𝐸 = 10 + 8.75 + 10 𝑈𝐸 = 28. Con la nueva distribución de probabilidades, el individuo tendrá más dudas sobre aceptar o rechazar la propuesta de trabajo.
SEGUNDA PARTE: TEORÍA DE LA EMPRESA Y ORGANIZACIÓN DE LOS MERCADOS
7. Partiendo de las siguientes funciones de producción Cobb-Douglas, determine y explique los rendimientos a escala de cada una: q(𝑘, 𝑙) = 𝑘1/2𝑙1/2^ 𝑞(𝑘, 𝑙) = 𝑘2/3𝑙3/2^ 𝑞(𝑘, 𝑙) = 𝐴𝑘1/3𝑙1/
Desarrollo dela función q(𝑘, 𝑙) = 𝑘1/2𝑙1/ 𝛼 =
En el resultado se aprecia un rendimiento constante a escala eso implica que la función de producción muestra una relación lineal entre los insumos y la producción cuando se escalan de manera proporcional, es decir, la producción aumenta en la misma proporción con el incremento de insumos.
Función (𝑘, 𝑙) = 𝑘2/3𝑙3/ 𝛼 =
8.3. ¿Qué ocurriría si se incorpora más capital a la producción, y ahora 𝑘 = 6? 𝑘 = 6 𝑞(6, 𝐿) = 200(6)^2 𝑙^2 − (6)^3 𝑙^3 = (6)^2 𝑙^2 (200 − 6𝑙) = 36𝑙^2 (200 − 6𝑙) = 7200𝑙^2 − 216𝑙^3
𝑃𝑀𝑔𝐿 =
2
𝑃𝑀𝑒𝐿 = 7200𝑙 − 216𝑙^2
9. Partiendo de la siguiente función de producción Cobb-Douglas con progreso técnico (A) y rendimientos constantes a escala: 𝑞 = A(𝑡)𝑓(𝑘, 𝑙) = 𝐴(𝑡)𝑘0.5𝑙0.
El progreso técnico crece a una tasa exponencial constante (𝛿). 9.1. Plantee la función de producción considerando la exponencial constante. 𝐴(𝑡) = 𝐴 0 𝑒𝛼𝑡
𝑞 = 𝐴 0 𝑒𝛼𝑡𝐾0.5𝐿0. 9.2. Ahora suponga que: 𝐴 = 20; 𝛿 = 2% = 0.02; 𝑘 = 9; 𝑙 = 4
- ¿Cuál es el nivel de producción de la empresa en el presente (𝑡 = 0)
K
l
- ¿Cuál es el nivel de producción de la empresa luego de quince años (𝑡 = 15)
𝑞(15) = 20𝑒0.02(15)(3)(2) = 161.
- Explique todos los resultados.
A medida que incrementa el tiempo, la producción se incrementa de manera eponencial.
10. Supongamos que un productor emplea capital y trabajo para producir bicicletas, pero se enfrenta la siguiente restricción: el costo unitario del capital ( 𝒓) es de veinte (20) dólares, mientras que los salarios unitarios pagados ( 𝒘) son de sesenta (60) dólares, todo lo deberá distribuir en presupuesto de doscientos cuarenta (240) dólares. 10.1. Plantee la ecuación de isocoste y su función. 20𝐾 + 60𝐿 = 240 (𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛) 𝐶(+) = 20𝐾 + 60𝐿 𝑅 = 20 𝑊 = 60 10.2. Represente la recta de isocoste y explique la pendiente. L C disminuye
_ 4 c/w _
12 K c/r
M = - 𝟐𝟎 𝟎 = - 𝟏 𝟑
Reemplazando:
𝐶 − (
12.2. Demuestre que el costo de producir se minimiza cuando la relación marginal de sustitución técnica (RMST) es igual a la pendiente de la recta de isocoste (relación del costo de los factores). Explique
𝑅𝑀𝑆𝑇 = −
−^12 𝐿^12
1 (^2) 𝐿−
1 2
La tasa de cambio de costos de los factores es igual a la tasa de sustitución técnica de un insumo por otro para mantener constante el nivel de producción.
13. Supongamos que la función de costos totales de un productor de bicicletas viene dada por:
𝑐𝑡 = 0.0005𝑞^3 − 0.03𝑞^2 + 4𝑞 + 3000
13.1. Obtenga función de costo marginal (𝑐𝑚𝑔) y costo medio (𝑐𝑚). 𝐶𝑀𝑔 = 0.0015𝑞^2 − 0.06𝑞 + 4
𝐶𝑀𝑒 = 0.0005𝑞^2 − 0.03𝑞 + 4 +
13.2. ¿Cuál sería el costo marginal y medio si se produjeran treinta (30) bicicletas? 𝑞 = 30 𝐶𝑀𝑔 = 0.0015(30)^2 − 0.06(30) + 4 = 3.
𝐶𝑀𝑒 = 0.0005(30)^2 − 0.03(30) + 4 +
13.3. Explique qué ocurriría con el costo marginal si la producción de bicicletas se incrementa 20 %.
𝐶𝑀𝑔 = 0.0015(1.2𝑞) − 0.06(1.2𝑞) + 4 𝐶𝑀𝑔 = 0.00216𝑞^2 − 0.072𝑞 + 4
𝐶𝑀𝑒 = 0.0005(1.2𝑞)^2 − 0.03(1.2𝑞) + 4 +
𝐶𝑀𝑒 = 0.00072(𝑞)^2 − 0.036(𝑞) + 4 +
Cuando se incrementa el 20% en la producción, afecta de forma cuadrática el CMg, es decir incrementará en mayor medida que la producción.
Explicación: Debido a que el precio internacional cayó en 20$, existe un exceso de demanda de Qex=2400-900=1500 unidades. Para incrementar el mercado se debe importar del exterior. 14.3. Ahora suponga que el gobierno central establece un arancel de $ 5: ¿qué ocurre internamente? Explique el impacto sobre el excedente del consumidor, del productor y la recaudación del gobierno central.
𝐴𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙 = 5$
𝑄𝑠^ = −500 + 70𝑝
𝑄𝑑^ = 3000 − 30𝑝
2 = 27163.50 → 𝑆𝑖𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 sin 𝑎𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙. Excedentes con precio internacional
P
60 50 40 30 20 10
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Q
𝑄𝑠
𝑄𝑑
𝑃 = 20
𝑃 + 𝐴𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙 = 20 + 5 = 25
P 100
75
50
25
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Q
𝑄𝑠
𝑄𝑑
𝑃 = 20
Excedente con arancel.
Gráfico
P
100
80
60
40 25 20
2000 2500 3000 Q
𝑄𝑠
𝑄𝑑
(^5) 𝑃 = 20
𝑃 + 𝐴𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙 = 25
