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Ejercicios Complementarios - Matemática – Dpto. C y T
COMPLEMENTO T.P. 1
Problema 1.
Resuelva la siguiente ecuación aplicando propiedades de módulo, para todos los 𝑥 ∈
Problema 2.
Elimine las barras de valor absoluto utilizando las propiedades correspondientes, para 1 ≤ x < 6
y resuelva luego la siguiente ecuación:
Problema 3.
Dada la siguiente ecuación
x − 6
−2x + 12
Se pide:
a) Simplifíquela aplicando propiedades del valor absoluto. Y exprese en lenguaje ordinario qué
significa esa expresión simplificada.
b) Halle su conjunto solución y represéntelo sobre la recta numérica.
Problema 4.
Dada la siguiente ecuación
Se pide:
a) Simplifíquela aplicando propiedades del valor absoluto. Y exprese en lenguaje ordinario qué
significa esa expresión simplificada.
b) Halle su conjunto solución y represéntelo sobre la recta numérica.
Problema 5
Aplicar propiedades de módulo y resolver la siguiente ecuación:
| 7 .𝑥 − 35
|
| − 3 − 4
|
Problema 6
Elimine barras de valor absoluto y simplifique las siguientes expresiones, utilizando las
propiedades correspondientes:
a)
| x− 5
|
| 5 −x
|
b) Para valores de 𝑥 ∈
Problema 7
Dada la expresión “La distancia entre el triple de un número y el número - 5 es de 4 unidades”.
a) Simbolícela en lenguaje matemático.
b) Dé el o los valores que hacen verdadera la expresión.
Ejercicios Complementarios - Matemática – Dpto. C y T
Respuestas
x=- 24
- x=
a) Números cuya distancia al 6 es igual a 9 unidades. b) x=15 , x=- 3
a) Números cuya distancia al 7 es igual a 2 unidades. b) x=9 , x=
a) Números cuya distancia al 5 es igual a 3 unidades. b) x=2 , x=
a)1 b) - 2x- 14
a)
= 4 b) x=-1/3 , x=- 3
COMPLEMENTO T.P. 2
Problema 1
Si las variables x e y representan números reales con x ≠ 0 e y ≠ 0, simplifique completamente la
siguiente expresión, eliminando raíces y exponentes negativos:
a)
(𝑝𝑞
2
𝑟
− 1
)
2
(𝑝𝑞𝑟
− 1
)
− 1
√
𝑝(𝑞
− 3
𝑟)
− 3
b)
√ 5 𝑥
− 2
𝑦. √
1
5
𝑥
2
𝑦
− 1
3
√ 5 𝑦
− 5
6
Problema 2
Sean 𝒕 =
√(−𝟐)
𝟐
.
𝟒
(𝟐
𝒙+𝟐
)
𝟐
𝟐
𝟐𝒙−𝟐
.𝟐
𝟔
y p = (𝟏 + √
𝟐
Sin usar aproximaciones y mostrando todos los pasos de la resolución, comprobar que
t + p = 𝟗 √
Problema 3
Indique el valor de verdad de la siguiente proposición y justifique:
a)
√
𝑎. √𝑏
3
.𝑎
− 1
.𝑏
− 2
3
𝑎
− 3
2 .𝑏
− 4
3
2
Problema 4
a ) Simplifique la siguiente expresión:
𝑎+𝑏
2
𝑎+𝑏
2
2 𝑎−𝑏
b)¿Qué valor debe tomar b para que la expresión del inciso anterior sea igual a xy?
Problema 5
Ejercicios Complementarios - Matemática – Dpto. C y T
𝑥+ 3
𝑥− 7
1
𝑥+ 1
2 (𝑥+ 1 )
𝑥+ 3
5
4 (𝑥+ 1 )
1
3
COMPLEMENTO T.P. 4
Problema 1
Resuelva las siguientes ecuaciones y verifique si las soluciones obtenidas satisfacen la ecuación
original:
a) |−
1
4
b)
2
Problema 2
Considere la siguiente ecuación cuadrática en la variable 𝑘 : − 2 𝑥
2
Siendo 𝑘 un parámetro desconocido, se pide:
a) Halle el valor del parámetro 𝑘 para que 𝑥 = − 1 sea solución de la ecuación dada.
b) Halle todos los valores que puede tomar el parámetro 𝑘 para que la ecuación tenga dos
soluciones reales y distintas.
c) Halle las soluciones de la ecuación para el caso en que 𝑘 = 0.
Problema 3
Considere la siguiente ecuación en la variable
x
2
Siendo 𝑙 un parámetro desconocido, se pide determinar para qué valores de 𝑙 la ecuación no tiene
solución real. Justifique detalladamente su respuesta.
Problema 4
Complete el cuadrado en la siguiente expresión cuadrática en la variable x y resuélvala:
2
Respuestas
Ejercicios Complementarios - Matemática – Dpto. C y T
1 a)𝑥 = − 44 , 𝑥 = 36 b) 𝑥 = − 1 , 𝑥 = 3
a)
b)
− 18
4
c)
1
2
− 49
4
1
2
COMPLEMENTO T.P. 5
Problema 1
Considere la desigualdad sobre R: 𝒙
𝟐
a)Verificar que x=-5 no es solución de la inecuación
b)Resuelva e indique el conjunto solución expresándolo en forma de intervalo.
Problema 2
Considere la desigualdad sobre R:
a)Verificar que x=7 es solución de la inecuación
b)Resuelva e indique el conjunto solución expresándolo en forma de intervalo.
Problema 3
Considere la desigualdad sobre R:
𝑥+ 2
2 −𝑥
a)Verificar que x=-2 no es solución de la inecuación
b)Resuelva e indique el conjunto solución expresándolo en forma de intervalo.
Problema 4
Considere la desigualdad sobre R: |𝟐𝒙 − 𝟑| ≥ 𝟓
a)Resuelva e indique el conjunto solución expresándolo en forma de intervalo.
Respuestas
1.b)S=
[
]
2.b)S= (−∞; − 7
]
[
3.b)S= (−∞; 1 ) ∪ ( 2 ; +∞)
4.a)S= (−∞; − 1 ] ∪ [ 2 ; +∞)
Ejercicios Complementarios - Matemática – Dpto. C y T
- La distancia entre estos dos puntos del plano es : 𝑑
( 𝐴 , 𝐵
) = √
( 0 − 1
)
2
( 𝛼 − 2
)
2
2
= 1 ⟹
= √ 1 +
( 𝛼 − 2
)
2
2
= 1 Elev. Al cuadrado
= 1 + (𝛼 − 2 )
2
= 1 Resuelvo la
ecuación
= (𝛼 − 2 )
2
= 0
𝛼 − 2 = 0
𝛼 = 2
- Si el punto A(2 ; 4) pertenece a la región del plano 𝑥
2
− 9 > 0 , tendrá que verificar que 𝑥
2
9 , es
decir que 𝑥 > 3 o 𝑥 < − 3. En este caso vemos que el punto A(2 ; 4) NO pertenece a esta región,
cosa que podemos verificar en el siguiente gráfico:
- Sabemos que tenemos que completar los cuadrados en 𝑥
2
2
= 2. En este caso hacemos:
𝑥
2
2
= 2 + 1 Resolviendo y agrupando nos queda: ( 𝑥 + 1 )
2
2
= 3 que es la
ecuación de una circunferencia de centro ( - 1 ; 0) y radio √ 3
- Si reemplazamos en la ecuación de la circunferencia por su centro (𝛼 ; − 2 ) y su radio √ 10 , nos queda:
( 𝑥 − 𝛼)
2
2
= 10. Como el punto ( 2 ; 1) pertenece a la circunferencia, debe verificar la
misma. Entonces reemplazando en la ecuación anterior: ( 2 − 𝛼)
2
2
= 10. Resolvemos la
ecuación y hallamos que 𝛼 puede tomar dos valores, 1 y 3.
- El perímetro de un rectángulo es : 2. (𝐵 + ℎ) y su superficie es : 𝐵. ℎ, siendo 𝐵 la base del rectángulo y
ℎ su altura. Hallando la distancia entre los puntos, nos queda que 𝐵 = 14 y la ℎ = 16. Por lo
tanto reemplazamos en las fórmulas anteriores y determinamos que el perímetro es 60 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 y la
superficie 224 𝑢
2
