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a) Qué % de A es D; qué % es D con relación a A 0 , 322048 𝐴 𝐴
Respuesta: D es el 32, 20 % de A. b) Qué % de D es B; que % es B con relación a D 0 , 74 𝐴 0 , 322048 𝐴
Respuesta: B es el 229, 78 % de D. c) En qué % D es mayor o menor que A 0 ,322048A 𝐴
Respuesta: D es menor que A en un 47, 78 %. d) En qué % B es mayor o menor que D 0 , 74 𝐴 0 , 322048 𝐴
Respuesta: B es mayor que D en un 129, 78 %. 1.1.3 Ejercicios prácticos de porcentajes
1. Resolver a) 4 % de 300 b) 8, 5 % de 900 c) 9,125 % de 1 200 d) 7,0625 % de 10 000 e) 1 6,25 % de 2 0 000 f) 30,33 % de 30 000 g) 300% de 4 000 h) 45,25 % de 6 000 i) 0,25 % de 5 000 Respuestas: 12; b) 76,5; c) 109,50; d)706,25; e) 3250; f) 9 099; g) 12 000; 2 715; i) 12, 2. ¿Qué porcentaje de: a) 1 200 es 2 4 0?
b) 10 000 es 90? c) 5 0 es 0, 4 0? d) 40 000 es 5 0 00? Respuestas: 20 %; b) 0,9 %, c) 80 %; d) 12,5 %
- ¿De qué cantidad es a) 12 el 30 %? b) 20 el 2 , 5 %? c) 300 el 9 , 75 %? d) 2 500 el 4,75 %? e) 55 el 3 ,125 %? f) 1 800 el 0,05 %? Respuestas: 40; b) 800; c) 3 076,92; d) 52 6 31,58; e) 1 760; f) 3 600 000
- El precio del artículo A es igual a su número de lista multiplicado por $ 6 00 0; el Artículo B cuesta 3 veces más que el artículo A; el artículo C cuesta 0,5 veces menos que el artículo A. ¿Cuál es el precio en dólares del artículo B?; ¿Cuál es el precio en dólares del artículo C?. El número de lista es $ 29 Respuesta: $ 696 000 precio de B; $ 87 000 precio de C
- B es el 20 % de A; C es el 30 % de B; D es el 40 % de C a) Qué % de B es D b) Qué % de A es D c) Qué % de D es B Respuesta: a) 12 %; b) 2, 40 %; c) 833, 33 % 1.2 Progresiones Es una sucesión de términos que se obtiene del anterior: sumando, restando, multiplicando o dividiendo un valor denominado constante o razón. Existen dos tipos de progresiones; las aritméticas y las geométricas; las cuales se explica a continuación: 1.2.1. Progresiones Aritméticas. Sucesiones de números, llamados términos, tales como: a) 5, 8, 11,14, 17, 20 , 23
Primero, se calcula el último término. 𝑎 = 12 ; 𝑛 = 20 ; 𝑑 = 6 𝑢 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑑 𝑢 = 12 + 20 − 1 6 𝑢 = 12 + 114 𝑢 = 126 Luego se aplica la fórmula de la suma. 𝑆 =
Ejemplo 2 El señor Díaz compra un vehículo para su empresa y cancela el fin del primer mes $ 2 000; al finalizar del segundo mes $ 1 95 0; al terminar el tercer mes $ 1 900. ¿Cuánto cancelará por la adquisición de una camioneta, si debe realizar 18 pagos? Desarrollo: 2 000; 1 950 ; 1 900 … es una sucesión aritmética con un término constante de - 50 𝑢 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑑 𝑢 = 2 000 + 18 − 1 ∗ − 50 𝑢 = 2 000 + 18 − 1 ∗ − 50 𝑢 = 2 000 − 850 𝑢 = 1 150 𝑆 =
!" ! 2 000 + 1 150 = $ 28 350. Respuesta 1.2.2. Progresiones Geométricas.
Según Ayres (1991), progresiones aritméticas es “una sucesión de numero llamados términos, tales como, 6,11,16,21,26,31, 36,41, en el cual, cualquier término posterior de primero puede ser obtenido del término anterior mediante la suma de un número constante llamado diferencia común (5)” (p.32). En este orden de ideas Villalobos (2012) manifiesta “Una progresión es aritmética si cada término es igual al anterior más una constante d, llamada diferencia común, e decir si el enésimo término es: an = an- 1 + d” (p. 60) Se constituye por una secuencia de números, cada uno de ellos proviene del anterior multiplicando o dividiendo por un número constante denominado “razón de la sucesión”. Así:
- 4; 8; 16; 32; 64; 128; es una sucesión geométrica ascendente, su término constante es 2.
- 500; 250; 125; 62,50; 31,25; 15,625; 7,8125… se trata de una sucesión geométrica descendente, su término constante es 0,5. 1.2.2.1 Último término de una sucesión geométrica La fórmula para encontrar el último término de una sucesión geométrica es: 𝑢 = 𝑎 ∗ 𝑟!!! Donde: u= último término a= primer término r= razón o factor n= número de términos Ejemplo 3 Calcular el término 1 0 de la siguiente progresión 2; 6; 18; 54;…… Desarrollo: Aplicando la fórmula se obtiene: 𝑢 = 2 ∗ 3 !"!! 𝑢 = 2 ∗ 3! 𝑢 = 2 ∗ 19 683
Respuesta: 𝑠 = 1 998 , 05 1.3 Logaritmos El logaritmo proviene de una operación denominada potenciación; si decimos que 2!^ = 8 entonces, el 𝑙𝑜𝑔. (^8)! = 3. Se demuestra que la potenciación es el resultado de la logaritmación; la base de la potencia que es 2; se convierte en base para el logaritmo; 8 en potenciación se denomina potencia; mientras que, en logaritmación se denomina número del logaritmo. En la potenciación el 3 se denomina exponente y en la logaritmación se denomina logaritmo. Por consiguiente, el logaritmo de un número de una base determina el exponente, que eleva la base para obtener el número, es la función matemática inversa de la función exponencial, de la siguiente forma: 2 != 𝑛 ∗ 𝑙𝑜𝑔 2 = log 8 𝑛 = log 8 log 2 𝑛 =
1.3.1. Propiedades de los logaritmos
- El logaritmo de una multiplicación de dos o más números positivos es igual a la adición de los logaritmos de dichos números. (X)*(Y) = Log X + Log Y.
- El logaritmo es el resultado de dividir dos números positivos; es igual al logaritmo del numerador restado el logaritmo del denominador; log. X/Y = log X – log Y.
- El logaritmo de una potencia de un número positivo es equivalente a la multiplicación del logaritmo del número multiplicado por el exponente de la potencia: 𝑙𝑜𝑔. 𝑋!^ = 𝑛 ∗ 𝑙𝑜𝑔. 𝑋
- El inverso del logaritmo de un número es igual al logaritmo de su recíproco, se utiliza para encontrar el logaritmo de un número decimal inferior a 1 , o cuando el signo negativo aparece anteponiendo un logaritmo. Ejemplo 6 Calcular i de 1 + 𝑖 !"^ = 2 , 367363675
Desarrollo: Al aplicar una de las propiedades de logaritmos en ambos miembros se tiene: 10 ∗ log 1 + 𝑖 = 𝑙𝑜𝑔 2 , 367363675 log 1 + 𝑖 =
log 1 + 𝑖 =
log 1 + 𝑖 = 0 , 037416497 Como el resultado es menor que 1 , se aplica antilogaritmo y se obtiene: 1 + 𝑖 = 1 , 09 Luego, el 1 que está sumando a i pasa al otro miembro de la ecuación restando así: Respuesta: 𝑖 = 1 , 09 − 1 = 0 , 09 = 9 %. Ejemplo 7 Calcular el valor de n de: 1 + 0 , 09!^ = 2 , 367363675 Desarrollo: 𝑛 ∗ log ( 1 , 09 ) = 𝑙𝑜𝑔 2. 367363675 𝑛 =
log ( 1 , 09 ) 𝑛 =
Respuesta: 𝑛 = 10 1.4 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros o términos, igual en la que surgen valores o datos conocidos y desconocidos, denominados también incógnitas, relacionados con las operaciones matemáticas. Los valores conocidos, comúnmente son números y las incógnitas, generalmente se, representan con letras; constituyen los valores que se pretende encontrar. Ejemplo 8 Resolver la siguiente ecuación: 𝟒𝒙 − 𝟏 = 𝟏𝟏 + 𝒙 La expresión de la izquierda antes del igual se le llama primer miembro y la expresión del lado derecho del igual se llama segundo miembro de la ecuación La variable X representa la incógnita, mientras que el coeficiente 4 y los números 1 y 11 representan constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los
Respuestas: a) 2 % b) 1 % c) 7, 5 % d) 9, 25 % e) 18 %
- b) 1 + 𝑖 !"=2,
- c) 1 + 𝑖 !"=3,
- d) 1 + 𝑖 !"=2,
- e) 1 + 𝑖 !!"=0,
- 𝑎) 1 + 0 , 12 !=897, 4. Calcule n de los siguientes problemas:
- 𝑏) 1 + 0 , 09 !=22,
- 𝑐) 1 + 0 , 045 !=2,
- 𝑑) 1 + 0 , 075 !=2,
- 𝑒) 1 + 0 , 06 !!=0,
- Respuestas: a) 60; b) 36; c) 18; d) 12; e)
