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UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO.
ESCUELA PROFESIONAL DE ECONOMIA.
MATEMATICA FINANCIERA
SEMESTRE 202 1 - I
FORMULACION DE PROBLEMAS PARA SESIONES DE CLASES
I. DIAGRAMAS DE TIEMPO-VALOR Y DE FLUJO DE CAJA.
A. DIAGRAMA DE TIEMPO-VALOR:
En la evaluación de inversiones, los flujos de tesorería sean INGRESO o
EGRESO ocurren en cualquier instante de un horizonte de tiempo determinado.
Simplificadamente se considera que los flujos ocurren al final de ese periodo,
dentro del horizonte de evaluación.
Estos flujos se representan en el denominado diagrama de tiempo-valor en el que
quedan registrados: los ingresos, egresos, el sentido del tiempo (el presente es
momento 0), la tasa de evaluación y la incógnita por resolver.
Ejemplos:
- Representar el diagrama de flujo de caja para una empresa que hoy tiene deudas
de S/ 8,000 y de S/ 7,000 vencidas hacen 30 y 60 días c/u respectivamente.
Además, debe cancelar un préstamo en 3 cuotas mensuales de S/5000 c/u, las
cuales vencen a los 30, 60 y 90 días, respectivamente.
Como son dineros desembolsados en momentos distintos del tiempo.
no se pueden sumar o restar flujos de tesorería ubicados en distintos momentos de
tiempo. Ya que cada uno de ellos tiene un poder adquisitivo diferente.
Son cantidades nominales, cuya comparación debe efectuarse a una determinada
fecha de evaluación (Focal).
Para trasladar estas cantidades ubicadas en tales fechas hasta el periodo focal, es
necesario utilizar una tasa apropiada:
o De interés
o De Costo de Oportunidad
o De inflación.
B. DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA:
El flujo de caja es el resultado de ingreso y gasto de efectivo en un determinado
periodo de tiempo; que puede evaluarse de forma NETA. Como la diferencia entre
ingresos y gastos.
Así:
𝑭𝒍𝒖𝒋𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒋𝒂 𝑵𝒆𝒕𝒐 = 𝑰𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐 − 𝑮𝒂𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒐
Si los flujos de caja lo representamos en un diagrama de tiempo-valor se convierte
en un diagrama de flujo de caja, con las siguientes características:
Los ingresos y los gastos de efectivo ocurren al final de cada periodo de tiempo.
El presente se considera como tiempo (momento) «0».
Los tiempo futuros como: +1, +2, +3, …, + n
Los tiempos pasados como: - 1, - 2, - 3, …, - n
La tasa de interés debe coincidir con la unidad de tiempo.
Son flujos de caja positivos: los ingresos, las utilidades, los dividendos, las
rentas perdidas, etc.
Son flujos de caja negativos: las inversiones, los desembolsos, los gastos, los
dividendos pagados, etc.
Los flujos de caja positivos serán indicados con flechas hacia arriba y los
flujos de caja negativos con flechas hacia abajo.
Las representaciones de flujo de caja pueden efectuarse desde el punto de
vista de la entidad financiadora o del prestatario, de acuerdo a la característica
del problema.
Ejemplos:
- Representar en un diagrama de flujo de caja neto la siguiente información:
A fines del año 2010 hemos comprado una computadora en $6,000, la cual ha
tenido un costo de mantenimiento anual de $500 durante 3 años, y al final del
3er años de vida decidimos venderla por $2000.
- Dibujar un flujo de caja que muestre ingresos de S/1,000, S/5,000 y S/2,
en los momentos 0, 1 y 5 respectivamente y un egreso de S/4,000 en el
momento 4.
- Una empresa decide invertir hoy $8,000 y pronostica entradas de efectivo de
$4,000 anuales al final de los próximos 4 años.
C. EL PORCENTAJE
Concepto.
Aplicaciones
Ejercicios
II. INTERÉS SIMPLE:
El interés es la diferencia que existe entre un monto o capital final y el importe
original que lo produjo.
El monto de interés (I) Es el dinero que se paga por disponer de un capital.
El capital (P), Esta expresado en M.N. ó M.E.
La tasa de interés (i), es el precio que se paga por el dinero prestado.
Se se expresa en % y se trabaja en decimales en las fórmulas financieras.
El tiempo (n), se refiere al plazo total de la operación financiera (días, meses,
trimestres, etc.)
El monto o stock final de efectivo (S), es un valor futuro
- ¿Qué capital colocado a una tasa de interés anual del 30% producirá
un interés simple de S/1 0 ,000 en el periodo comprendido entre el 19
de abril y el 30 de junio?
- ¿Cuál será la tasa de interés mensual simple a cargar en el
financiamiento a 45 días, sobre una mercadería cuyo precio de contado
es de S/2,000 y al crédito, sin cuota inicial es de S/2,300?
- ¿En cuánto tiempo podrá duplicarse un capital a una tasa de interés
simple de interés de 5% mensual?
TRABAJO GRUPAL.
¿INVESTIGAR CUANTOS TIPOS DE OPERACIONES ACTIVAS Y
PASIVAS EXISTEN EN LAS INSTITUCIONES BANCARIAS?
CLASIFICAR, EXPLICAR CADA UNA DE ELLAS Y PONER EJEMPLOS
PRACTICOS DE CADA UNA DE ELLAS.
D. VARIACIONES EN LA TASA DE INTERÉS.
Existen circunstancias en que las tasas de interés varían durante el
tiempo que dura una operación financiera. Así que la formula inicial
del interés simple debe modificarse para introducir las nuevas
circunstancias.
Ejemplos:
Se pide calcular:
- El interés simple, de un depósito de ahorro de S/5,000 colocado en el
Banco Scottia Bank entre el 6 de julio al 30 de setiembre del mismo
año, ganando una tasa anual de interés simple del 36%. Se sabe que la
tasa de interés anual bajó a 24% a partir del 16 de julio y a 21% a partir
del 16 de setiembre.
- Con la misma información calcular nuevamente el interés,
considerando que el banco abona ahora los intereses en la libreta de
ahorros del cliente a fin de cada mes, (con capitalización mensual).
E. VARIACIONES EN EL PRINCIPAL (Numerales)
Ocurre variaciones en el principal, cuando el saldo de una cuenta
corriente, de ahorro, etc. cambia constantemente, debido a
movimientos que se producen en torno a ella (cargos y abonos).
El cálculo del interés simple se efectúa usando numerales.
NUMERAL:
Es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el número de días
que permanece ese saldo sin movimiento.
A determinada fecha o a fin de mes, se obtiene el interés simple
multiplicando la sumatoria de los numerales por la tasa de interés
diaria.
Ejemplo:
- El talentoso artista “Richard Swing” abre una libreta de ahorros en el
banco BBVA Continental, el 1ero de Junio con S/1 0 ,100 y efectúa a
partir de esa fecha durante todo el mes de junio las operaciones
detalladas en el cuadro siguiente. ¿Qué interés habrá acumulado al 1er
de Julio, si la tasa mensual de interés simple fue del 4%?
F. MONTO, CAPITAL O STOCK FINAL, VALOR FUTURO.
VARIACIONES DE TASA
El monto final o importe capitalizado (S) constituye la suma del
capital inicial e interés.
De aquí: 𝑆 = 𝑃 + 𝑃. 𝑖. 𝑛… (7)
O sea: 𝑆 = 𝑃( 1 + 𝑖. 𝑛)… (8)
Aquí:
→ Factor Simple de Capitalización (FSC) a interés
simple.
De (8), podemos despejar i y n:
𝑆/(𝑃− 1 )
𝑛
(9) y
𝑆/(𝑃− 1 )
𝑖
Ejercicios:
- ¿Qué monto habrá acumulado “El Cholo Juanito” en su cuenta de
ahorros, del 4 al 16 de octubre del mismo año, percibiendo una tasa de
interés simple del 3% mensual, si el depósito inicial fue de S/2 0 ,500?
- El famoso cantante “Tongo”, compra en OESLE un TV plasma de 80”
para ver sus videos, cuyo precio de contado es de S/6 0 ,000,
adquiriéndola con una cuota inicial de S/2 0 ,000 y el saldo financiado
- Actualizar al tiempo presente la suma de S/500 que se recibirá de aquí
a 87 días, a una tasa de interés simple de 3% mensual.
H. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE A INTERÉS SIMPLE
Se dice que dos o más sumas de dinero ubicados en diferentes momentos
de tiempo son equivalentes cuando sus valores presentes calculados con
una misma tasa de interés, son iguales.
Ejemplo:
- Determinar si los importes de S/5, 400 y S/5, 700 al final de los meses
4 y 7 respectivamente son equivalentes en el presente. Utilizar una tasa
de interés simple anual del 24%.
III. INTERÉS COMPUESTO
El interés compuesto es el proceso mediante el cual, el interés generado por
un capital en una cantidad de tiempo, se capitaliza, es decir se adiciona al
capital inicial, formando un nuevo capital, el mismo que genera un nuevo
interés en la siguiente unidad de tiempo, y así sucesivamente durante el plazo
pactado.
El interés compuesto es una sucesión de operación a interés simple, en la que
después de la primera, su monto constituye el capital inicial siguiente.
Solo, al final del primer periodo de capitalización, el monto de una operación
a interés compuesto es igual al monto a interés simple, dadas una mínima
tasa de interés y un mínimo capital.
A. DIFERENCIAS ENTRE INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO.
1. CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS SIMPLE:
Los intereses no se acumulan al stock inicial.
El horizonte temporal “n” es un factor.
El Stock final crece en forma lineal a lo largo del tiempo (progresión
aritmética)
Función Lineal:
𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏
2. CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS COMPUESTO:
Los intereses se acumulan al stock inicial.
El horizonte temporal “n” es un exponente
El stock final crece en forma exponencial a lo largo del tiempo
(progresión geométrica)
Función Exponencial:
𝑌 = 𝑎
𝑋
cuando estas variables se encuentren expresadas en diferentes periodos de
tiempo.
Ejemplos:
- Un capital de S/10,000 se deposita en un banco donde gana una tasa
efectiva anual del 10% ¿Qué monto tendrá que pagarse si el depósito se
cancela al finalizar el 1er semestre?
- El gerente de la empresa “ DIGAN LO QUE DIGAN ”, solicita en a la CMAC
Cusco, un préstamo de S/2 00 ,000, el mismo que se le asocia en la cuenta
corriente de su representada, el 26 de mayo. ¿Qué monto deberá pagar el
24 de julio, fecha que se cancela el préstamo, si la Caja Cusco cobra una
tasa efectiva mensual del 5%?
- ¿Qué monto deberá pagarse por un sobregiro bancario de S/2 0 ,
vigente desde el 24 de junio, si el banco cobra una tasa efectiva mensual
del 5%?
D. TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA.
Cuando una tasa es susceptible de ser proporcionalizada (dividirse o
multiplicarse) para ser expresada en otra unidad de tiempo diferente a la
original, con el objeto de capitalizarse una o más veces, recibe el nombre
de tasa nominal.
En este caso la tasa nominal es una tasa referencial mientras la tasa
efectiva refleja el número de capitalización que ha experimentado durante
un plazo determinado.
El monto compuesto aplicando una tasa nominal j y capitalizable m veces
en un plazo determinado durante n periodos se calcula con la siguiente
fórmula:
S = 𝑃{ 1 +
𝑗
𝑚
}
𝑛
…(13)
Por ejemplo, el valor de m para una tasa j anual que se capitaliza en forma:
diaria, quincenal, mensual, cada 45 días, bimestral, trimestral, semestral y
anual se presenta en el siguiente cuadro:
Ejemplos
- El señor Miguel Pérez obtiene un préstamo de $8,000 de la Caja
Municipal el mismo que deberá cancelarse dentro de 4 meses, pactado a
una tasa nominal anual del 34% capitalizable mensualmente. Calcular el
monto a cancelar al final del periodo.
- El “Oreja Flores” se compró un bono del gobierno peruano por el importe
de S/5 0 ,000 el cual se vencía a un año, ganando una tasa nominal anual
del 40% con capitalización trimestral. Sin embargo, el “oreja” decide
redimir el título valor adquirido al fin del 8vo mes para financiar su viaje
a Rusia para ver jugar a su compadre Foquita, acompañado de su mama.
¿Qué monto retiró del Banco de la Nación para llevar a su viaje?
E. VARIACIONES EN LA TASA DE INTERÉS
El FSC con variaciones de la tasa de interés
Cuando la tasa efectiva no varía durante el plazo pactado, el FSC
capitaliza la unidad monetaria a esa misma tasa durante n periodos:
( 1 + 𝑖)
𝑛
=
( 1 + 𝑖
)( 1 + 𝑖
)( 1 + 𝑖
) …
Si la tasa por periodo varia, las capitalizaciones durante un plazo pactado
H , se efectúan cambiando la tasa tantas veces como sea necesario para
cada periodo de tiempo vigente ( f ).
Siendo:𝑖
1
, 𝑖
2
, 𝑖
3
, 𝑖
4
, … , 𝑖
𝑚
las tasas efectivas de interés vigentes durante
𝑛
1
, 𝑛
2
, 𝑛
3
, 𝑛
4
, … , 𝑛
𝑚
periodos respectivamente; tenemos:
( 1 + 𝑖
1
)
𝑛 1
( 1 + 𝑖
2
)
𝑛 2
( 1 + 𝑖
3
)
𝑛 3
…
Definimos aquí n como H/f
Entonces tenemos:
( 1 + 𝑖
1
)
𝐻 1
/𝑓
( 1 + 𝑖
2
)
𝐻 2
/𝑓
( 1 + 𝑖
3
)
𝐻 3
/𝑓
Donde:
𝐻
1
2
3
𝑛
= 𝐻
Ejemplos:
28. Calcular el monto de un capital de S/1 0 ,000 colocado durante tres meses.
La tasa efectiva mensual es de 3%,4% y 5% para el primer mes, segundo
mes y tercer mes respectivamente.
- El administrador de la empresa “ CAOS TOTAL ” obtiene del banco de
Crédito BCP, un préstamo de S/8 0 ,000 cancelable dentro de 6 meses a
una tasa nominal anual del 36% con capitalización trimestral. La tasa es
Ejemplo :
- ¿A qué tasa efectiva mensual un capital de S/ 10 ,000 se habrá
convertido en un monto de s/1 1 , 00 0 si dicho capital original fue
colocado a 3 meses?
I. CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN
De la ecuación: 𝑆 = 𝑃( 1 + 𝑖)
𝑛
Se despeja 𝑛:
𝑛 =
𝑙𝑜𝑔(𝑆/𝑃)
𝑙𝑜𝑔( 1 +𝑖)
… (16)
Aquí 𝑛 es el número de unidades de tiempo a la que se hace
referencia 𝑖.
Ejemplo:
- ¿En qué tiempo se duplicará un capital a una tasa efectiva del 3%
mensual?
J. CÁLCULO DEL INTERÉS
El interés es la diferencia entre el monto S y su capital inicial P :
𝐼 = 𝑆 − 𝑃
De aquí:
𝐼 = 𝑃( 1 + 𝑖)
𝑛
− 𝑃
𝐼 = 𝑃[( 1 + 𝑖)
𝑛
− 1 ] … (17)
De aquí se puede despejar 𝑃 , 𝑖 ó 𝑛 indistintamente.
Ejercicios:
- Calcular el monto del interés compuesto ganado en un trimestre por
una inversión de S/3 0 ,000, colocado a una tasa nominal del 18%
anual con una capitalización bimestral.
- Para ganar un interés compuesto de S/5,000 en un plazo de 18 días
¿Cuánto debe colocarse en una institución financiera, que paga una
tasa efectiva anual del 20%?
- Calcule la tasa efectiva mensual cargada en la compra de una cocina
eléctrica, cuyo precio de contado es de S/1 0 ,000 pero financiado sin
cuota inicial y con una letra a 45 días su importe a pagar es de
S/12, 500
- El cargo por intereses de un sobregiro bancario de S/25,000 ha sido
de S/865. Si el banco cobra una tasa efectiva mensual del 4%.
¿Cuánto tiempo estuvo sobregirada la cuenta?
MISCELANEA DE EJERCICIOS
- Calcular el importe capitalizado de un depósito a plazo de S/20,000.
Colocado durante 6 meses a una tasa nominal anual del 36%
capitalizable diariamente.
- El 1ero de Abril el precio de una materia prima fue de S/20,000/T.M.
45 días después se incrementó a S/22,000. ¿Cuál será el precio a
pagar por el nuevo stock que será renovada dentro de 180 días
contados a partir del 1ero de abril, si nuestro proveedor nos
manifiesta que los precios se incrementaran periódicamente (cada 45
días) en el mínimo porcentaje original?
- El señor MARK VITO, apertura una cuenta bancaria el 15 de abril con
S/1,000 percibiendo una tasa nominal mensual del 4% con
capitalización diaria. El 2 de mayo retira S/400, el 15 de mayo retira
S/200 y el 3 de junio deposita S/100. ¿Qué monto acumuló desde la
fecha de su depósito inicial hasta el 24 de junio, fecha en que canceló
la cuenta?
- El 6 de junio, la contadora de la famosa empresa hotelera “PK2”
compró en el Banco BBVA Continental un certificado de depósito a
plazo (CDP) a 90 días por un importe de S/20,000, ganando una tasa
nominal anual del 24% con capitalización diaria. Si el 1ero de julio
la tasa bajó al 18% nominal anual (con la misma capitalización),
¿Cuál fue el monto que recibió la empresa inversionista al
vencimiento del plazo del CDP?.
- Hace 4 meses se colocó en un banco un capital al 3% efectivo
mensual, lo que permitió acumular un monto de S/2,000. ¿Cuál fue
el importe del capital original?
- ¿Cuánto podremos disponer hoy, si nos han descontado un paquete
de 4 letras cuyos importes son S/ 2,000, S/ 6,500, S/ 8,000, S/ 7,
las cuales vencen dentro de 15, 30, 45 y 60 días respectivamente? La
tasa efectiva quincenal que cobra la entidad financiera es del 1%
