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Ejercicios 10 resueltos
1.-(Basado en Eva Ferreira -María Araceli Marín, parámetros
cambiados ) La cuantía por reclamación, X, (en miles de euros) en
una compañía aseguradora
es una v.a. con distribución de Pareto de parámetros α= 3 (miles de
euros) x 0 = 2, 6.
La compañía decide reasegurarse con el banco SINFON, de
manera que dicho banco
cubra las reclamaciones por encima de los 6000 euros.
a) Obtener la función de densidad de la v.a. X.
b) Calcular su media y su varianza.
c) Calcular la probabilidad de que en una reclamación, la cuantía
supere los 6000 euros.
d) Si sabemos que la cuantía de una reclamación ha superado los
6000 euros, calcular la
probabilidad de que supere los 9000.
a) dado que se trata de un modelo/distribución de Pareto
su función de densidad es :
0 0 1
x x
f x
x x x
α (^) α
α
α α
= = de manera que conocidos los parámetros dicha
función será:
3
3 1 4
0 0 1
x x
x x
f x
x x x
α (^) α
α
α α
=^ =
b) la media viene dada por:
[ ]
0
0 0 1
x^1
x x x E x dx x
α
α
∞
= = (^) + = = = −
∫
la varianza se obtendrá :
[ ]
[ ]
2 2 0 2 2
var var 5, 07 2 1 3 2 · 3 1 4
x x asi x
c ) probabilidad de que cuantía supere 6000 euros será
P x ( > 6)luego:
6 6
4 2,6 2,
3 6 2,
( 6) 1 ( ) 1 dx
x
x
P x f x dx
−
− ^ − ^ = − =
^
= − (^) ∫ = −∫
o bien :
3
1 (6) 1 (1 0 ) 1 1 2, 6 1 (1 0, 08137) 0, 08137 6
x F x
α ^ − = − − (^) = − (^) − (^) = − − = ^
d) si sabemos que ha superado 6000 ( x>6) será una probabilidad condicionada asi:
( )
9 (^ (^ 9)^ (^ 6)^ ) (^ 9)^ 0, 0241
P x x (^) P x P x x (^) P x P x
ya que
3
(9) 0 2, 6 0, 02410 9
x S x
α = (^) = (^) =
2.-Un siniestro tiene para su cuantía monetaria una función de
distribución lgN(μ=7, σ=1,5)
a) ¿cuál es la probabilidad de tener un siniestro de cuantía inferior a
b) ¿cuál es la probabilidad de tener un siniestro de cuantía superior
a 1000?
a)Sea X la variable aleatoria “cuantía del siniestro
X → lg N [7;1,5]
¿ P x ( < 200)tipificando
ln 200 7 5, 298 7 ( ) ( ) ( 1,134) 1,5 1,
P t P t P t
P t ( < −1,134) = P t ( > 1,134) = 1 − F (1,134)=0,128 en la tabla de la N[0,1]
b) ¿ P x ( > 1000)tipificando
ln1000 7 ( ) ( 0, 0614) ( 0, 0614) 1,
P t P t P t
P t ( < 0, 0614) = F (0, 0614) =0,
4.-La proporción de pólizas de hogar que durante el año tienen
algún siniestro sigue una distribución Beta x → beta ( α β , ) = beta (0,3;0,5)
a) hallar la media y varianza de la proporción de siniestros
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de hogares con
algún siniestro sea como máximo del 45%?
c) Con una probabilidad de 0,8 ¿que porcentaje como máximo de
hogares tendrán algún siniestro?
a) x → beta ( α β , ) = beta (0,3;0,5)
conocemos que
media
varianza
( ) (^ )^ ( ) (^ )
2 2 2
var[ ]
· 1 · 0,3 0,5 1
x
α β α^ β
b)
no piden P x ( < 0, 45) = F (0, 45) = 0, 613realizado el cálculo con Excel
c) nos piden P x ( < pr ) = 0,8 → 0,811realizado el cálculo en Excel
5.-Un asegurador ha observado que en una de sus carteras en
promedio tiene 5 siniestros anuales superiores a los 3 millones de
Euros. Los datos de los últimos 10 siniestros que superan esta
magnitud son: {3,2 ; 4 ; 5 ; 4,5 ; 3,1 ; 3,8 ; 7 ; 3,2 ; 3,4 ; 4 }
Suponiendo que la variable aleatoria "Coste del siniestro en
millones de Euros" sigue una distribución de Pareto .Calcular:
a) Probabilidad de tener un siniestro que cueste más de 20 millones
de Euros.
b)¿Cada cuantos años se espera un siniestro de más de 20
millones de Euros?
c) Si la cartera está formada por 200.000 pólizas que se renuevas
anualmente, ¿cuánto cuesta por póliza el reaseguro de los
siniestros de más de 20 millones?
seguirá un modelo/distribución
x ⇒ Pareto ( α= ?; x 0 =3)
estimamos la media en base a la muestra
1 4,
n
i i
X
X
n
= = =
∑ con lo que podemos suponer que
[ ]
x E x
α α α α α α
α α
luego x ⇒ Pareto ( α= 3, 68; x 0 =3)
7.-El coste que suponen los siniestros que tramita la central de
una entidad en un día oscilan uniformemente entre 60 y 120 ( miles
de euros). Si los días son independientes entre sí, calcular la
probabilidad de que en cinco días se superen las 500000 euros
[ ]
5 [^ ]
d
d
C U miles euros
C U miles euros
[ ]
5 5 600 600 600 500 500 500
P C (^) d P Cd
dx dx x b a
∫ ∫
8.-Un conjunto de pólizas tienen dos tipos de coberturas. Para cada
una de ellas el coste del siniestro sigue una distribución log-normal
de medias 1 y 2 respectivamente y desviaciones típicas también 1
y 2 respectivamente. Suponiendo que los dos costes son
independientes.
a) Hallar que distribución sigue el producto de los dos costes.
b) Calcular el valor esperado del producto de los dos costes.
a)
[ ] [ ]
[ ] [ ]
ln 1;1 ln 2; 2
X LN e Y LN
luego
X N e Y N
[ ]
2 2
· ln ln ln
ln 1 2; 1 2 3; 5
P X Y P X Y
P N N
Luego P LN
→ ^ + + ^ = ^
^
b) valor esperado del producto , ya que se trata de una Lognormal:
[ ]
2 5, ln ln 3 15 2
1 (^2) 244, 69 p
p p
E p e e e
μ σ
= = = = =
9.-Mediante análisis de valores de períodos anteriores hemos
llegado a la conclusión que los rendimientos anuales de la cartera
de valores que controlamos se aproxima a una distribución de
Cauchy con parámetro de ubicación 3 y de escala 2 .( en miles de
euros).
Con esa información calcular la probabilidad de que el año próximo
el rendimiento sea superior a 4000 euros.
X= rendimiento anual en miles de euros
X → C ( α = 3; λ=2)
( )
x P x F arctg
arctg arctg
^
^ ^ ^
en programa http://www.aulademate.com/contentid-306.html
11.-El número de personas ( en miles) que cogerán la gripe este
año se presupone una distribución logística de parámetros media=
30 y escala 10.
a)Calcular la probabilidad de que este año haya menos de 35000
afectados.
b)Calcular la misma probabilidad si el modelo fuera una Normal con
desviación típica 18,
35 30 0, 10
x b
X Log Log
P x e e e
α
α β
− − − − −
obsérvese que el programa trabaja con la desviación típica.
[ ] [ ]
2 2 3, 289868·100 328, 3
328,86 18,
Var x Var x
para idénticos resultados
http://www5555.morris.umn.edu/~sungurea/statlets/free/pdist.htm
b) en el caso de Normal:
[ ]
x N
P x P z P z
normal menos apuntada., menor probabilidad
12.-La proporción de asegurados que se rompen la pierna
esquiando en la temporada es del 10% de los tienen un accidente
de esquí. Sabiendo que de nuestros asegurados ,por término medio
en la temporada , 30 de ellos tienen accidentes de esquí. Calcular
la probabilidad de que entre nuestros asegurados 6 de ello se
rompan la pierna en la temporada.
X es numero de piernas rotas entre los que esquían .. claramente depende de cuantos esquían , es
decir n
X B n
n λ
distribución compuesta de Binomial ( primaria) que depende de una Poisson ( secundaria)
Así :
p k e p P x k k
λ λ
− = = así
0,1·30 6 3 6 (0,1·30) (3) ( 6) 6! 6!
0, 04978· 0, 05 720
e e P x
− − = = = =
