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UNIVERSIDAD NACIONAL
TORIBIO RODRÍGUEZ DE MENDOZA DE AMAZONAS
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
CICLO: III
CURSO : Cálculo Integral TÍTULO : Sustitución recíproca y método alemán como criterios para resolver integrales indefinidas. INTEGRANTES: Bardales Noriega, Krishnamurti (09/10) Ccoa Rojas, Sandra Paola (00/10) Choctalin Guiop, Robi (09/10) Guevara Vasquez, Darwin Yoner (00/10) Maz Ventura, Jorge Luis (00/10) Olivares Lopez, Jhermy Yassir (00/10) Sandoval Quintana, Carlos Daniel (00/10) Trigoso Puscan, Francis Jordanki (00/10) Vasquez Chuquizuta, Jeimer Michael (00/10) DOCENTE: Velásquez Correa, Carlos Daniel CHACHAPOYAS – PERÚ 2025 Índice Introducción....................................................................................................................... 3
- Bardales Noriega, Krishnamurti........................................................................................
- Ejercicio 1271, pág. 127. (Demidovich, 1967).............................................................
- Ejercicio 126 (modificado), pág. 423. (Piskunov, 1977)...............................................
- Ccoa Rojas, Sandra Paola..................................................................................................
- Ejercicio 19, pág. 219. (Espinoza Ramos, 2002)..........................................................
- Ejercicio 31, pág. 81. (Mitacc & Toro Mota, 2009)....................................................
- Choctalin Guiop, Robi.....................................................................................................
- Ejercicio 87, pág. 227 (Espinoza, 2012)......................................................................
- Ejercicio 49, pág. 223 (Espinoza, 2012)......................................................................
- Guevara Vasquez, Darwin Yoner.....................................................................................
- Ejercicio 84, pág. 227 (Espinoza, 2012).....................................................................
- Ejercicio 1943, pág. 188 (Demidovich, 1967)...........................................................
- Maz Ventura Jorge...........................................................................................................
- Ejercicio N° 36, pág. 567 (Larson, 2010)....................................................................
- Ejercicio N° 40, pág. 499 (Stewart, 2012)..................................................................
- Trigoso Puscan Francis Jordanki.....................................................................................
- Ejercicio 175, pág. 249. (Siu, R. y Andaluz, C.).........................................................
- Ejercicio 220 , pág. 156. (Espinoza, E.)...................................................................
- Vasquez Chuquizuta Jeimer Michael...............................................................................
- Ejercicio.12, pag.354. (Leithold, L.El Cálculo)..........................................................
- Ejercicio.24, pag.80. (M. Tópicos de cálculo)............................................................
- LIMITACIONES:............................................................................................................
- CONCLUSIONES:..........................................................................................................
- Referencias......................................................................................................................
- REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................
Bardales Noriega, Krishnamurti Ejercicio 1271, pág. 127. (Demidovich, 1967) Resolver la siguiente integral indefinida: Consideramos la siguiente sustitución recíproca: Despejamos z : Despejamos x : Encontramos dx y dz : Reemplazamos en la integral: Elevamos al cuadrado en la raíz del denominador y sacamos el signo negativo del integrando: Reducimos términos semejantes: Simplificamos : Damos forma al radicando para sacar z : Eliminamos la raíz para z :
Simplificamos : Aplicamos sustitución trigonométrica, consideramos la siguiente sustitución: Encontramos dz y : Despejamos z : Reemplazamos en la integral: Usamos la identidad pitagórica: Simplificamos el denominador: Simplificamos el integrando: Resolvemos la integral inmediata: Reemplazamos para z : La respuesta, en función de x , es: Ejercicio 126 (modificado), pág. 423. (Piskunov, 1977) Resolver la siguiente integral indefinida: Operamos el radicando:
Despejamos B : Reemplazamos B en (III) : Despejamos : Reemplazamos los valores de las constantes en la expresión original: Llamamos I a la integral que queda y trabajamos en ella: Completamos cuadrados en el radicando: Ordenamos la diferencia de cuadrados: Hacemos uso de la sustitución trigonométrica y consideramos la siguiente sustitución: Encontramos dx y : Reemplazamos en la integral:
Elevamos al cuadrado los términos del radicando: Factorizamos el radicando: Simplificamos y usamos la identidad pitagórica: Simplificamos el denominador: Simplificamos la tangente: Resolvemos la integral inmediata: Ponemos la respuesta en términos de x : Simplificamos:
Reacomodamos la integral: Simplificamos: Factorizamos: Ejercicio 31, pág. 81. (Mitacc & Toro Mota, 2009) Resolvemos la siguiente integral por el Método Recíproco: Utilizamos la regla: Aplicamos en la integral directamente:
Choctalin Guiop, Robi Ejercicio 87, pág. 227 (Espinoza, 2012). De la siguiente integral: Observamos que tiene la forma: Expresaremos como: Quedando de la forma: Ahora derivando: Efectuando las derivadas: Obteniendo: Multiplicamos por: Para eliminar las raíces de la ecuación: Aplicando distributiva:
Calculamos el valor de u y la du: Reemplazamos el valor de u como : Derivando: Despejando: Por la identidad trigonométrica: De nuestra integral: Reemplazamos:
Resultando: Remplazando: Quedando nuestra integral: Ejercicio 49, pág. 223 (Espinoza, 2012). Resolvemos la siguiente integral: Resolviendo la diferencia de cuadrados: Llamaremos:
Remplazamos: Por propiedad de linealidad de integrales: Dividimos la integral de la siguiente forma:
De A: La integral nos quedaría: Ahora de B: Llamaremos: Remplazando:
Desarrollamos la potencia que está en el radicando. Extraemos el signo negativo fuera del integral y sumamos las fracciones que están dentro de la raíz cuadrada. Sacamos la raíz cuadra del denominador del radicando. Multiplicamos extremos y medios de la fracción. Simplificamos los términos semejantes del numerador y denominador. Sacamos factor común en el radicando y completamos cuadrados.
Extraemos el fuera de la integral. Trabajamos en: Hacemos: Diferenciamos. Reemplazamos en ……….. (1) Realizamos sustitución trigonométrica. Diferenciamos. Donde:
