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Antiderivadas
En el proceso de derivación, dada una función y F x , el operador
dx
dy
me indica que se va a
calcular una función f x que es la derivada de la función F x . Siendo así F conocida, la
función f x es equivalente a F ^ x ^ f ^ x
dx
dy
dx
dF
Ahora supongamos que conocemos f x que es la derivada de alguna función y F x que no
conocemos. Determinar esa función F x es conocido como buscar una primitiva de la función
f x . En términos generales: Antiderivar es buscar una función F x tal que F x f x ,
para ello usamos el símbolo que va a juagar el papel de operador y que reemplaza la frase “vamos
a buscar una antiderivada de….” De la siguiente manera: f x dx que leeremos. “ la integral
indefinida de la función efe de equis de equis ”
Si F ^ x ^ f ^ x , al ser C una constante, como ( F^ ^ x ^ ^ C ) f ^ x ^ f ^ x ^ dx F ^ x ^ C va a
ser la antiderivada más general.
De la misma forma f ^ x ^ dx , f t^ dt, f ^ u ^ du darán funciones F x , F t , F u
respectivamente, de ahí que
f se pueda escribir conociendo respecto de qué variable se va a
antiderivar. Existen unas antiderivadas que son de carácter inmediato, son ellas:
C con C - a
x x dx
a 1 a
- dx x dx x C x
ln
1
sen xdx x C
- cos x dx sen x C
- cos
xdx x C 2
- sec tan xdx Co x C 2
- csc tan
7. sec x tan x dx sec x C 8. csc x cotan x dx csc x C
dx sen x C 1 - x
2
dx x C x
1 1 2
1
- tan
dx x C x x
1 (^21)
11.^1 sec a dx C a
x (^) ax
ln
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Tabla 1. Antiderivadas inmediatas
Propiedades:
^ ^ ^ ^ ^
k f x k f x k f x dx k f x dx
y
f x g x f x g x f x g x dx f x dx g x dx
Ejemplos
- x x x C 3
2x x dx
2
3 2
2
2. x e sen x C
e xdx 3x
(^1) x x ^2 4
2 cos ln 4
Usando como ejemplo la Tabla 1 ( antiderivadas inmediatas ), hay algunas funciones compuestas
cuya integral se vuelve inmediata observando que la derivada interna es constante. Un ejemplo
es:
1. sen 2x C
cos 2x dx veamos ¿por qué? La derivada interna de (^) sen 2x es 2 y este
número estaría afectando la función cuando, por la definición de antiderivada, me devuelvo
derivando sen 2x para comprobar que esta derivada sea el integrando. De ahí que,
sen 2x 2x 2x
2
1 2 cos cos 2
1
-
dx ln x 1 C x 1
-
ln 3x 1 C 3
dx 3 x 1
e C 4
e dx
4x 4x
dx sen x C
1 - 3 x
dx x
- 1 3 3
2 2
x C 3
4x 7 dx^3
2 4 7 4
Luego aprenderemos un método de integración que permite hacer estas integrales, vale la pena
identificar que son formas inmediatas dividendo por la derivada interna.
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Como consecuencia del teorema fundamental y de la derivación de funciones compuestas (en cadena),
ahora para la segunda parte del TFC tenemos que, si F x es también una antiderivada de f x
G x F x K^ (Dos antiderivadas que difieren en una constante)
G b F b K^ y G a F a K
G b F b G a F a 0 (Restando las dos ecuaciones)
G b G a F b F a De ahí que:
f x dx f x dx F b F a
a
a
b
a
^ (Como
a
a
f x dx^0 ) entonces,
f x dx F b F a
b
a
^
Teorema Fundamental del cálculo (parte II)
Sea f continua en el intervalo cerrado a , b y F una antiderivada de f en a , b , la
f x dx F b F a
b
a
Ejemplos resueltos
¿Qué se derivó para que la derivada sea f ^ x 4?
Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la función que se derivó puede ser:
F (^) 1 x 4 x. Pero también las funciones
F 2 x 4 x 3 o también F 3 x 4 x 2 , o F 4 x 4 x 8 hay tantas opciones como
números reales existen. Podemos generalizar esto escribiendo F x 4 x C
Es decir que la función cuya derivada es 4 es una familia de funciones en este caso lineales cuyos
miembros todos tienen pendiente m 4 pero diferentes intersecciones con el eje y como
vemos en la gráfica 1 para los diferentes valores de la constante C. C =0 C=5 C=-2 C=12 C=
C=
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Calcular las siguientes antiderivadas
x dx
5
x dx
-
x 2 dx
3
x^3 dx
7
- x dx
dx x
9
dx
x
17
2
- 7x dx 5
x dx 8
2x^ dx
5
6
Respuestas:
x C 6
1 6
- x C 6
1
- -^ ^6 x C 5
2 (^2) 5
- x C 4
3
-
(^43)
- x C 15
17
-
(^1517)
- x C 11
10 (^5) 11
Bibliografía.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Indefinite integral» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics ,
Springer, ISBN 978-
Weisstein, Eric W. «Indefinite Integral». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
