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Ejercicios de análisis combinatorio, Apuntes de Estadística

Ejercicios de análisis combinatorio

Tipo: Apuntes

2019/2020
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Subido el 22/09/2020

cesar-vasquez-trejo
cesar-vasquez-trejo 🇵🇪

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bg1
PROBLEMAS RESUELTOS DE ANÁLISIS COMBINATORIO
01 De una ciudad A a otra B hay 6 caminos diferentes ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje de ida y vuelta, si en el regreso no puede tomar el camino de ida?
a) 12 b) 42 c) 25 d) 36 e) 30
RESOL:Veamos el siguiente grafico:
Nº de posibilidades de ida = 6 (Evento 1ero)
Nº de posibilidades de regreso = 5 (Evento 2do)
Como los eventos deben ocurrir a la vez, por el principio de la multiplicidad tenemos:
Total de maneras: 6 5 = 30
CLAVE E
02 Un grupo de 5 amigos se van de paseo; en un auto que tiene 2 asientos adelante y 3 atrás. ¿De cuántas formas se podrán ubicar, si sólo 2 de ellos saben manejar?
a) 10 b) 48 c) 16 d) 24 e) 120
RESOL:Veamos el siguiente cuadro:
Para la posición Nº 1 hay 2 posibilidades
Para la posición Nº 2 hay 4 posibilidades
Para la posición Nº 3 hay 3 posibilidades
Para la posición Nº 4 hay 2 posibilidades
Para la posición Nº 5 hay 1 posibilidad
Nº de formas que se podrán ubicar es:
2 4 3 2 1 = 48
CLAVE E
03 Con cinco varones y nueve damas ¿cuántas parejas diferentes de baile pueden formarse (cada pareja está conformada por un varón y una dama)?
a) 35 b) 40 c)45 d) 50 e) N.A.
RESOL:
Consideremos los eventos A y B
Evento A: Elegir una mujer
Evento B: Ser pareja de un hombre
d1
d2
v1 d3
v2 d4
v3 d5
v4 d6
v5 d7
d8
d9
5 maneras 9 maneras = 45 maneras
CLAVE C
04 En una reunión cumbre entre los presidentes de 10 países de América del Sur, el día final de sesiones deciden retratarse para la posteridad. ¿De cuántas maneras
pueden disponerse los 10 mandatarios, si los presidentes de Perú y Ecuador por voluntad propia no desean posar juntos?
a) 9! b) 8! c) 9! 8 d) 10! e) 8 9!
RESOL . :
Tenemos 10 presidentes; si estos pueden ubicarse indis–tintamente, el total de ubicaciones posibles para la foto se determinan como sigue:
P1P2 P3P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
A B
1 2
3 4 5
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
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PROBLEMAS RESUELTOS DE ANÁLISIS COMBINATORIO

01 De una ciudad A a otra B hay 6 caminos diferentes ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje de ida y vuelta, si en el regreso no puede tomar el camino de ida?

a) 12 b) 42 c) 25 d) 36 e) 30

RESOL : Veamos el siguiente grafico:

 Nº de posibilidades de ida = 6 (Evento 1ero)

Nº de posibilidades de regreso = 5 (Evento 2do)

 Como los eventos deben ocurrir a la vez, por el principio de la multiplicidad tenemos:

Total de maneras : 6  5 = 30

☞ CLAVE E

02 Un grupo de 5 amigos se van de paseo; en un auto que tiene 2 asientos adelante y 3 atrás. ¿De cuántas formas se podrán ubicar, si sólo 2 de ellos saben manejar?

a) 10 b) 48 c) 16 d) 24 e) 120

RESOL :  Veamos el siguiente cuadro:

Para la posición Nº 1 hay 2 posibilidades

Para la posición Nº 2 hay 4 posibilidades

Para la posición Nº 3 hay 3 posibilidades

Para la posición Nº 4 hay 2 posibilidades

Para la posición Nº 5 hay 1 posibilidad

 Nº de formas que se podrán ubicar es:

☞ CLAVE E

03 Con cinco varones y nueve damas ¿cuántas parejas diferentes de baile pueden formarse (cada pareja está conformada por un varón y una dama)?

a) 35 b) 40 c)45 d) 50 e) N.A.

RESOL :

 Consideremos los eventos A y B

Evento A: Elegir una mujer

Evento B: Ser pareja de un hombre

d

1

d

2

v

1

d

3

v 2

d 4

v 3

d 5

v

4

d

6

v

5

d

7

d

8

d 9

5 maneras  9 maneras = 45 maneras

☞ CLAVE C

04 En una reunión cumbre entre los presidentes de 10 países de América del Sur, el día final de sesiones deciden retratarse para la posteridad. ¿De cuántas maneras

pueden disponerse los 10 mandatarios, si los presidentes de Perú y Ecuador por voluntad propia no desean posar juntos?

a) 9! b) 8! c) 9!  8 d) 10! e) 8  9!

RESOL .:

 Tenemos 10 presidentes; si estos pueden ubicarse indis–tintamente, el total de ubicaciones posibles para la foto se determinan como sigue:

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

A B

El lugar P 1

, puede ser ocupado por cualquiera de los 10 presidentes; el P 2

sólo lo podrán ocupar los 9 restantes; para el P 3

sólo quedan 8 posibilidades y así hasta que luego que

estén ya ubicados hasta el P 9

, para la posición P 10

quedará sólo 1 presidente; el total de posibilidades será: 10! … ()

 Pero como sabemos, los presidentes de Perú y Ecuador no desean aparecer juntos; ¿Qué haremos?, calcularemos la cantidad de veces en las que podrían aparecer juntos y luego

restando este resultado de () habremos determi–nado el total de posibilidades de no aparecer juntos en las fotos.

 Para esto consideraremos a ambos presidentes como una sóla persona , de modo que no tendríamos 10 sino 9 personas para ubicar: Aplicando el mismo procedimiento que nos

llevó a (), obtenemos ahora: 9! , sin embargo, aún cuando estén juntos los presidentes, estos pueden ubicarse de 2 maneras intercambiando sus posiciones , por lo que el total de

posiciones en las que aparecerán juntos es en realidad: 29! … ()

 Calculamos: ()–():

☞ CLAVE E

05 Un coleccionista de artículos precolombinos ha sido invitado a exponer sus mejores cerámicas Mochicas. Dicho coleccionista ha decidido presentar 8 ceramios de

los 10 de su colección. ¿De cuantas maneras puede seleccionarlos si 3 de ellos no pueden faltar en la exposición?

a) 7 b) 3 c) 21 d) 8 e) 10

RESOL .:

 Representémoslos a las cerámicas por las siguientes figuras

Supongamos que C 1

, C

y C 3

son los que no pueden faltar, con lo cual tengo 7 cerámicas para seleccionar 5, esto me permite aplicar combinatoria ya que el evento es seleccionar

5 de 7 sin importar el orden.

 Por lo tanto el Nº de maneras es 21

C

C

☞ CLAVE C

06 Un turista europeo desea realizar un tours en el Perú. Para tal efecto ha contactado con una agencia de viajes; la cual le ofrece una estadía en 8 ciudades 5 de la

región andina y 3 de la región costeña. Pero por el tiempo del que dispone dicho turista sólo desea visitar 6 ciudades. ¿De cuántas maneras puede seleccionar dichas

ciudades a visitar, si 4 ciudades andinas son puntos obligatorios de visita?

a) 18 b) 4 c) 3 d) 2 e) 12

RESOL .:

 Como 4 ciudades andinas son puntos obligatorios de visita, tenemos para escoger de las 4 esto es

C

, por lo que me quedan 2 ciudades por escoger de las 3 de la región

costeña, esto es

C

. Entonces el total de maneras es :

C

x

C

Ahora si escogiera las 5 ciudades andinas tengo para escoger una mas de las de la región costeña esto es

C

x

C

= 3. Concluimos que el total de maneras es:

15 + 3 que es 18

☞ CLAVE A

07 Se han matriculado 5 hombres y 7 mujeres en el curso inicial de Química, en el cual las prácticas se dan en el laboratorio. En dicho laboratorio se deben formar

grupos bipersonales, necesariamente formados por un hombre y una mujer ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse dichos grupos si un hombre decide no

trabajar con 2 de sus compañeras?

a) 30 b) 16 c) 33 d) 32 e) 25

RESOL :

 Cada hombre tendrá 7 posibilidades de formar grupo con una mujer excepto uno de ellos que solo tendrá 5 (2 posibilidades menos). Total de maneras es 5 x 7 – 2 = 33

☞ CLAVE C

08 Un agente vendedor de productos farmacéuticos de primera calidad visita diariamente 5 farmacias en el centro de Trujillo, para no tratar de dar preferencias a

uno u otro establecimiento ha decidido alterar el orden de sus visitas ¿De cuántas maneras puede hacerlo

a) 24 b) 60 c) 5 d) 120 e) 720

RESOL:

 Cada cuadro representa una farmacia

5 x 4 x 3 x 2 x 1

Para ubicar el nombre de la farmacia en A tengo 5 posibilidades, como ya escogí una para B me queda 4 y así sucesivamente hasta que para E tenga solo una posibilidad.

 Por lo tanto el nº de maneras es 5!, esto es el caso de permutaciones. P 5

☞ CLAVE D

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

Fijos Disponibles

A B C D E

5 x 2 x 2 x 2= 40 líneas adicionales

☞ CLAVE C

15 En un circo, un payaso tiene a su disposición 5 trajes multicolores diferentes, 6 gorras especiales diferentes y 3 triciclos ¿De cuántas maneras puede seleccionar su

equipo para salir a la función?

a) 45 b) 30 c) 18 d) 90 e) 40

RESOL :

Evento A  Evento B  Evento C

Seleccionar trajes seleccionar gorras seleccionar triciclos

T 1 G 1 C 1

T 2 G 2 C 2

T 3 G 3 C 3

T 4 G 4

T 5 G 5

G 6

5 x 6 x 3

 Por lo tanto el total de maneras es 5 x 6 x 3 = 90

CLAVE D

16 En una reunión de 10 amigos desean ordenarse para tomarse una foto. Si entre ellos hay una pareja de enamorados que no desea separarse. ¿De cuántas maneras

pueden ordenarse?

a) 9! b) 8! c) 2  9! d) 3  8! e) 3  9!

RESOL :

 Como de los 10 amigos hay una pareja que no desea separarse, tenemos un arreglo de 9 objetos, es decir 9! formas de ordenarse, pero como la pareja puede ubicarse de 2! formas.

Entonces como ambos eventos deben ocurrir a la vez tenemos 9! X 2! Formas de ordenarse esto es: 2 x 9!

☞ CLAVE C

17 Si se dispone de m objetos iguales, otros n objetos iguales y finalmente P objetos diferentes. ¿De cuántas maneras puede Ud. seleccionar por lo menos a 1 de ellos?

a) mnp b) (m+1)(n+1) p – 1 c) (m+1)(n+1)

P

–1 d) mn

P

e) mn

P+

RESOL :

Veamos : Si tenemos “m” objetos iguales tenemos la opción de seleccionar 1,2,3 …, m objetos o no seleccionar ninguno, por lo cual tenemos para este evento (m+1) posibilidades, el

mismo razonamiento tenemos para los “n” objetos iguales, con lo cual tenemos (n+1) posibilidades de selección.

 Ahora del grupo de “P” elementos diferentes para cada uno tenemos 2 opciones; lo selecciono o no lo selecciono. Esto hace un total de 2

P

posibilidades.

 Por lo tanto tendremos un total de formas de selección (m+1)(n+1)

P

, pero este numero incluye a una, aquella que no escoge a ningún objeto, la cual debemos eliminar. Así

tendremos en total (m+1)(n+1)

P

☞ CLAVE C

18 Si se dispone de (n+1) números primos, ¿Cuántos factores diferentes tiene el producto de dichos números?

a) 2

n b) 2

n+ c) 2

n– –1 d) 2

n –1 e) 2

n+

RESOL :

 Tenemos que cada uno de los (n+1) números primos tiene 2 factores el mismo y la unidad, por lo tanto cada numero tiene 2 posibilidades, luego por el principio de la multiplicidad el

numero de factores es 2

n+ .

 En estos factores esta incluido el producto de puros unos, luego como los factores deben ser diferentes a 2

n+ le quitamos uno. El total de factores diferentes es: 2

n+

- 1

☞ CLAVE E

19 ¿Cuántas ordenaciones lineales distintas pueden formarse con todas las letras de la palabra FERMAT de tal manera que comiencen y terminen en consonantes?

a) 240 b) 720 c) 288 d) 420 e) N.A.

RESOL :

 La palabra FERMAT tiene 6 letras diferentes tenemos entonces 6 elementos, veamos la grafica

1er 2do 3er 4to 5to 6to

 La consonante que ocupará el 1er lugar puede ser cualquiera de las 4 dadas, una vez escogida la primera quedan 3 consonantes y cualquiera de ellas puede ocupar el último lugar

de la ordenación lineal.

 Ahora escogida ya las letras para el 1ero y 6to casillero quedan aun 4 letras disponibles para el resto de casilleros

1er 2do 3ero 4to 5to 6to

4 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3

 El total de ordenaciones es 4 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 = 288

☞ CLAVE C

20 En una reunión de amigos, se encuentran 3 hombres y 3 mujeres ¿De cuántas maneras pueden sentarse en forma lineal si se desea que queden alternados (un

hombre una mujer o una mujer un hombre)?

a) 36 b) 24 c) 72 d) 108 e) 64

RESOL : Ayudémonos del siguiente cuadro

Caso I : Si en el 1er casillero va un hombre ordenamos dejando un casillero a los 3 hombres tendríamos

P

formas, luego en los otros 3 casilleros alternados colocamos a las

mujeres tendríamos

P

formas por el principio de la multiplicidad tendríamos para el caso I

P

x

P

formas, es decir 3! x 3! = 36

Caso II : Ahora si en el 1er casillero va una mujer entonces tendríamos también la misma cantidad es decir 3! x 3! = 36

Como los casos I y II son excluyentes por el principio de la adición tendríamos 36 +36 = 72 formas distintas de ordenar a los hombres y mujeres en forma lineal alternadamente.

☞ CLAVE C

21 Rosa tiene 3 anillos distintos ¿De cuantas maneras puede colocarlos en sus dedos de la mano izquierda, colocando solo un anillo por dedo, sin contar el pulgar?

(considere una sola forma de colocación en cada dedo)

a) 36 b) 48 c) 16 d) 24 e) 6

RESOL :

 En el dedo d 5

no esta contabilizado

 El 1er anillo tiene 4 opciones (d 1

,d 2

,d 3

, d 4

 El 2do anillo después de colocar un anillo ya en un dedo le quedan 3 opciones.

 El 3er anillo tendría 2 opciones

 Luego por el principio de la multiplicidad Tenemos:

El número de maneras es: 4 x 3 x 2 = 24

☞ CLAVE D

22 Un equipo de voley se sienta a dialogar en una mesa circular. ¿De cuántas formas se puede sentar sus integrantes si 3 de ellos siempre deben estar juntos?

a) 22 b) 24 c) 12 d) 36 e) 6

RESOL :

 Como 3 jugadores siempre deben estar juntos tenemos una permutación circular de 4 elementos es decir.

P

= (4–1)! = 3 x 2 x 1 = 6 = 3!

Pero las 3 jugadoras que siempre están juntas se pueden ubicar de 3! formas.

 Luego por el principio de la multiplicidad ambos eventos deben ocurrir de 3! x 3! = 36 formas

☞ CLAVE D

23 Anita tiene 6 blusas de colores diferentes y 5 minifaldas también de colores distintos. ¿De cuántas maneras diferentes puede lucir ambas prendas a la vez, si la blusa

azul y la minifalda blanca las usa siempre juntas y la minifalda roja con la blusa negra nunca las usa juntas?

a) 25 b) 36 c) 100 d) 64 e) 45

RESOL :

 Consideremos las blusas: roja, azul, negro, amarilla, celeste y verde y las minifaldas roja, azul, blanca, negra y amarilla.

H

M

H

M

H

M

d 1

d 2

d 3

d 4

d 5

J

J

J

J

J

J

 Supongamos que tenemos que llenar el siguiente cuadro.

(3 espacios)

 El primer espacio puede llenarse de 2 formas (varón o mujer). El segundo espacio puede llenarse de 2 formas (estatal o particular) y el tercero de 2 formas (ciencias o letras). Luego

concluimos por el principio de la multiplicidad que la manera de clasificarlos es: 2 x 2 x 2 = 8 maneras

☞ CLAVE B

28 ¿De cuantas maneras puede el profesor Herrera ordenar en su biblioteca 5 libros de Álgebra, 4 de aritmética y 3 de Razonamiento Matemático, si los libros de cada

materia deben estar juntos?

a) 5 x 10

b) 5 x 8

c) 5 x 12

d) 3 x 12

e) 7 x 12

RESOL :

5! x 4! x 3! x 3!

números de grupos

 Como vemos el grafico:

Los libros de Álgebra puede ordenarse de P 5

Los libros de Aritmética pueden ordenarse de P 4

Los libros de R.M. pueden ordenarse de P 3

Los 3 grupos de libros pueden ordenarse de P 3

 Por el principio de la multiplicidad tenemos Nº de maneras que se pueden ordenar es: 5! x 4! x 3! x 3! esto es 5 x 12

formas.

☞ CLAVE C

29 En el problema anterior ¿Hallar el numero de maneras que puede el profesor Herrera ordenar sus libros si solo los de R.M. deben estar juntos?

a)

12

12!

b)

6

12!

c)

3

12!

d)

5

12!

e)

22

12!

RESOL :

 Como los libros de R.M deben estar juntos se le considera a los 3 como 1 solo sin diferenciar las materias, lo que haría un total de 10 libros por ordenar, que puede hacerse de

P

=10! Formas. Pero los libros de R.M. pueden ordenarse entre si de 3! formas diferentes. Por consiguiente por el principio de la multiplicidad esta operación puede hacerse de 3! x

10! formas.

3! x 10! <>

22

12!

☞ CLAVE E

30 Un sistema tiene 5 mecanismos, cada uno de ellos puede colocarse en 4 posiciones para que funcionen, digamos A B C y D ¿De cuantas formas puede instalarse el

sistema, si los mecanismos pueden estar en la misma posición?

a) 2

  • 1 b) 2
  • 1 c) 8
  • 1 d) 2

e) 2

RESOL :

 Supongamos que cada mecanismo representa un espacio por llenar.

Pero cada mecanismo puede colocarse en 4 posiciones diferentes, además pueden colocarse en la misma posición, esto implica que cada espacio puede llenarse de 4 formas.

 Por lo tanto hay 4x4x4x4x4 = 4

formas de instalar el sistema.

☞ CLAVE D

31 Un mozo debe servir 10 vasos diferentes de cerveza y gaseosa en una mesa donde hay 6 caballeros y 4 damas, sabiendo que los vasos de cerveza son para los

caballeros y los de gaseosa, para las damas. Calcule la cantidad de maneras diferentes en que el mozo puede realizar la distribución?

a) 205 b) 450 c) 210 d) 120 e) 135

RESOL:

 Tenemos una permutación con repetición:

P  

☞ CLAVE D

1º 2º 3er

Raz. matemático

Álgebra Aritmética

6 vasos de cerveza 4 vasos de gaseosa

caballeros damas

Tenemos 10 personas de

los cuales son 6

hombres y 4 mujeres

32 Un usuario de hotmail. com olvido su contraseña, pero recuerda que son 6 numerales y además que las 3 primeras cifras son 5+2…… y las 3 cifras siguientes

son diferentes ¿Cuántas posibilidades tiene el usuario para dar con su clave?

a) 720 b) 640 c) 510 d) 120 e) 900

RESOL :

 El orden de los elementos interesa, por lo que estamos en una permutación de 10 elementos tomados de 3 en 3. Es decir

P 

 posibilidades

☞ CLAVE A

33 La junta directiva de una empresa consta de 10 miembros ¿De cuantas maneras se puede elegir un presidente, un vicepresidente y un secretario?

a) 620 b) 360 c) 480 d) 520 e) 720

RESOL :

 Como el orden en que salgan elegidos determina el cargo que ocupan y solo se va a elegir a 3 cada vez de un total de 10 miembros, estamos ante una permutación de 10 elementos

tomados de 3 en 3 720

P 

☞ CLAVE E

34 De cuantas maneras pueden destacarse a 4 empleados de una empresa a 3 diferentes lugares. Para hacer una campaña publicitaria

a) 12 b) 24 c) 48 d) 36 e) 8

RESOL :

 Consideremos los tres lugares como tres casilleros

Cada casillero será ocupado por empleados diferentes el 1er casillero puede ser ocupado por los 4 empleados disponibles, el 2do por 3 restantes y el 3ero por los 2 restantes. Luego

por el principio de la multiplicidad tenemos

Nº de maneras es: 4x3x2 =^24

1!

4!

(4 3)!

4!

 

☞ CLAVE B

35 En el grupo de estudios Pierre Fermat hay 15 profesores de los cuales 10 son varones y 5 mujeres, se necesitan 4 profesores para llevar a cabo un proyecto especial

que fomente la cultura ¿De cuantas maneras se puede elegir 2 varones y 2 mujeres?

a) 350 b) 250 c) 650 d) 450 e) 900

RESOL :

 Vemos que en la elección no nos interesa el orden.

Se va a elegir grupos de 4 en 4 de un total de 15. Por lo tanto es un caso de combinatoria. Primero elegiremos 2 varones de los 10 presentes y 2 mujeres de las 5 presentes es decir:

C   y^10

C  

 Por el principio de la multiplicidad tenemos. El número de maneras que ocurran ambos eventos es:

45 10 450

5

2

C

10

2

C    

☞ CLAVE D

36 En el problema anterior ¿De cuantas maneras se podrá elegir 5 varones?

a) 1232 b) 256 c) 120 d) 720 e) 252

RESOL :

 Estamos en el caso de combinatorio de 10 hombres, tomados de 5 en 5, esto es:

C 

☞ CLAVE E

37 Si en el problema 35 nos piden calcular el número de maneras que se puede elegir 3 varones y 3 mujeres.

a) 900 b) 1200 c) 850 d) 600 e) 72

RESOL :

 Utilizando combinatoria tenemos:

C

C 

☞ CLAVE B

38 Juan dispone para estudiar de 20 folletos de los cuales 6 no son de matemáticas. ¿De cuantas maneras se puede elegir 2 folletos que no son de matemáticas?

a) 12 b) 18 c) 15 d) 25 e) 36

RESOL :

 Vemos que el orden de la elección no interesa solo interesa el número de folletos que no son de matemáticas que pueden ser cero o uno o dos.

8 espacios para ubicar al separado veamos el grafico.

 Para ubicar al alumno que habíamos separado tenemos 8 espacios. Por el principio de la multiplicidad tenemos.

9!8 formas de ordenar

☞ CLAVE D

43 Una carpeta tiene espacio para 8 personas ¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 hombres y 4 mujeres, de modo que queden alternados (un hombre – una mujer ó

una mujer un hombre)?

a) 2  4! b) 2  4

! c) 2  (4!)

d) (4!)

e) (2  4!)

RESOL :

 En este problema se presentan dos casos:

1er caso : cuando el ordenamiento empieza con una mujer.

Hay 4 espacio disponibles para ubicar a las mujeres y se puede hacer de P 4

maneras.

Veamos el gráfico:

Los espacios vacíos (4), serán ocupados por los hombres, y se podrán sentar de P 4

maneras.

 Por el principio de la multiplicidad

El número de maneras que se podrán sentar 4 hombres y 4 mujeres en forma alternada es: P 4

 P

2do Caso : cuando el ordenamiento empieza con un hombre.

Los cálculos son los mismos del caso 1 es decir.

Nº de maneras es P 4

 P

Luego: como deben ocurrir o el caso I o el caso II

4 mujeres y 4 hombres se pueden sentar alternadamente de P 4

 P

+ P

 P

formas distintas es decir de:

2 P

 P

☞ CLAVE C

44 ¿De cuántas maneras distintas 3 varones y 3 mujeres pueden sentarse en 3 bancas (c/u con capacidad para 2 de ellos), de modo que en cada banca se siente un

varón y una mujer?

a) 120 b) 240 c) 360 d) 288 e) 346

RESOL :

 Veamos el siguiente gráfico carpetas

Según el gráfico si escogen primero los hombres o las mujeres tendrá el 1er varón o 1era mujer 6 espacios para escoger.

Supongamos que primero escogen los varones como habíamos dicho el 1er varón tendrá 6 lugares para escoger.

Luego el 2do varón, no puede sentarse junto a su compañero, por lo que tiene 4 opciones y el 3er varón le queda 2 opciones.

Luego por el principio de la multiplicidad los varones se sientan de 6 4 2 formas distintas.

Ahora en cada carpeta ya esta ubicado un varón.

 Y queda tres espacios para las damas, la que podrán sentarse de 3! Formas (esto es, porque en cada carpeta tiene que estar un hombre y una mujer)

Concluimos que el número de formas distintas que se podrán sentar las 6 personas es: 6 4  2 3! = 288

☞ CLAVE D

45 ¿De cuántas maneras distintas “n” varones y “n” damas pueden sentarse en “n” bancas (c/u con capacidad para dos de ellos) de modo que cada banca se sienten un

varón y una dama?

a) 2

n– (n!)

b)

n [(n–1)!]

c)

n– [(n–1)!]

d) 2

n n! e) 2

n (n!)

RESOL :

 Del problema anterior vamos a generalizar para el caso de “n” varones y “n” damas.

Supongamos que se sientan primero las damas; la primera dama tendrá para escoger “2n” asientos, la segunda de (2n–2), la tercera (2n–4), y así sucesivamente hasta que la última

dama tiene para escoger un asiento de 2 que quedan.

 Esto se simboliza así:

Nº de formas distintas de sentarse las damas es:

2n (2n–2)  (2n–4)  (2n–6)  … 6 4  2

A B C D F G H I

Espacios disponibles

Espacios no disponibles

Uno de los 9 que fijamos

① ② ③^

④ (^) ⑤ ⑥ ⑦ ⑧

E

mujeres

varones

mujeres

En segundo lugar tendríamos “n” espacios (asientos) vacíos para que se puedan sentar n varones.

Nº de formas distintas de sentarse los varones es: n!

 El número de formas distintas que pueden sentarse las “n” damas y los “n” varones es:

2n(2n–2)(2n–4)(2n–6)  ….  6  4  2  n!

En cada factor menos el último sacamos mitad

2 n2(n–1) 2(n–2) 2(n–3) ...  2  3  2  2  2  1 n!

n n(n–1) (n–2)(n–3) ... 3 2  1 n!

n n!  n! = 2

n (n!)

☞ CLAVE E

46 Una familia de 6 integrantes salen a almorzar y cuando ingresan al restaurante encuentran que todas las mesas son circulares, el papa le dice a la madre que se siente

a su lado ¿De cuántas maneras se podrán sentar en la mesa circular?

a) 24 b) 48 c) 36 d) 72 e) 28

RESOL :

 Veamos el siguiente gráfico

Vemos 5 elementos para el ordenamiento circular, que se puede hacer de 4! = P C(5)

. Luego: Nº de arreglos circulares es = 2!  4! = 48

Nota :

Nº de arreglos circulares =

Permutación internaPermutación externa

de los elementos juntos de los elementos

Para el problema: NºAC = 2!  4! = 48

☞ CLAVE B

47 De cuántas maneras diferentes 8 amigos se sientan alrededor de una mesa circular a estudiar, si 4 de ellos siempre están juntos?

a) 144 b) 288 c) 576 d) 120 e) 720

RESOL :

 Aplicando la nota del ejercicio anterior tenemos

Permutación de los elementos juntos

Nº de arreglos circulares = P 4

 Pc(5)

Permutación circular

Nº de Arreglos circulares = (4!)

= 576 formas

☞ CLAVE C

48 Se desea colocar 11 fichas en un tablero circular, disponiéndose para tal efecto, 2 verdes, 2 azules, 4 blancas, 1 amarilla, 1 roja, 1 negra ¿De cuántas maneras

diferentes se podrá lograr, si se quiere que las 2 verdes están siempre juntas, además la ficha roja debe estar siempre en medio de la amarilla y la negra?

a) 210 b) 120 c) 360 d) 144 e) 510

RESOL :

 Indiquemos en el gráfico los 11 elementos según las condiciones

Tenemos 8 elementos para permutar circularmente es decir Pc(8)= 7!

Las fichas verdes siempre juntas = 1!

La roja en de medio de A y N = 2!

 El número de arreglos circulares es:

Ac =^210

Nota :

Nº de arreglos circulares =

PM

h 1

h 2

h 3

h 4

se pueden ordenar de 2!

azules

A R

N

4 blancas

XXXX Verdes siempre juntas

Roja en medio de la

amarilla y negra

53 ¿Cuál será el numero de letras, de una palabra sabiendo que el numero de combinaciones tomadas de 2 a 2 es igual al de combinaciones tomadas de 3 a 3, como 3 es

a 5?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

RESOL :

n(n 1)(n 2)

n(n 1)

n

C

n

C

 n 2 5

5

3

n 2

   

Luego n = 7

☞ CLAVE B

54 ¿De Cuántas maneras se pueden ubicar 4 parejas de esposos en una mesa circular para jugar casino, si estas parejas juegan siempre juntos?

a) 364 b) 50 c) 24 d) 124 e) 96

RESOL :

 Veamos el siguiente grafico:

Punto de referencia

1º Según el grafico: cuando la pareja de referencia se ubica con E 1 –M 1 , existen entonces 3 elementos para una permutación circular, es decir 3! pero cada elemento se puede

permutar 2! formas.

Entonces la 4 parejas se podrán ubicar de 3! x 2! x 2! x 2! Formas

2ºSi en el grafico la pareja de referencia se ubica como M 1 –E 1 tendríamos

También: 3! x 2! x 2! x 2! Formas

 El total de formas es:

2 ( 3! x 2! x 2! x 2!) = 96

☞ CLAVE E

55 Un club tiene 15 miembros (10 hombres y 5 mujeres ) ¿Cuántos comités de 8 miembros se pueden formar, si cada comité debe tener 3 mujeres?

a) 2520 b) 2585 c) 1348 d) 2250 e) 5258

RESOL :

Nº de comités es una combinatoria de 15 tomados de 8 en 8

Nº de comités =

5 4 3 2 13 2

(^5109876543)

3

C

10

5

C 

   

Nº de comités = 2520

☞ CLAVE A

56 Alrededor de una mesa circular de 6 asientos se ubican 2 mujeres y 3 hombres. ¿De cuantas formas podrán ubicarse, si el asiento vacío debe quedar entre las dos

mujeres?

a) 6 b) 12 c) 32 d) 24 e) 4

RESOL :

 Veamos el siguiente grafico

Tenemos 4 elementos en la permutación circular, esto es P 4 = 3! = 6

Pero la mujeres se podrán ubicar de 2! maneras

 El total de formas que podrán ubicarse es:

3!  2! = 6 x 2 = 12

☞ CLAVE B

E 2

M 2

E 1

M 1

M 4

E 4

M 3

E 3

H 1

H 3

H 2

M 2 M (^1) Asiento vacío

Por dato estos 3 asientos son un solo

elemento en la permutación circular

Punto de referencia

57 Hay dos obras de 3 volúmenes cada una y otras dos de 2 volúmenes cada una. ¿De cuantas maneras puede colocarse los 10 libros en un estante, si deben quedar de

tal manera que no se separen los volúmenes de la misma obra?

a) 5634 b) 1465 c) 6345 d) 3456 e) 4616

RESOL :

 De los datos nos damos cuenta que estamos en un caso de permutación de 10 elementos.

Como los 3 volúmenes de las 2 primeras obras no se deben separar y 2 volúmenes de las obras 2 obras siguientes tampoco, entonces permutaremos solo 4 elementos (Grupos)

Veamos el grafico

 Según el grafico las obras se permutan de 4! Formas y cada obra se permuta de 3!, 3!, 2! Y 2! formas

Luego el número de maneras que se pueden colocar los 10 libros en un estante es: 4! x 3! x 3! x 2! x 2! = 3456

☞ CLAVE D

58 ¿De cuantas maneras pueden sentarse correctamente 2n personas alrededor de una mesa circular de modo que n de ellas siempre queden juntas?

a) n

b) 2n! c) (n

)! d) 2(n!) e) (n!)

RESOL :

Veamos el grafico:

Nº de maneras = Pc(n+1) n! = n! x n! = (n!)

☞ CLAVE E

59 En una tienda hay 6 camisas y 5 pantalones que me gustan. Si decido comprar 3 camisas y 2 pantalones, ¿de cuantas maneras diferentes puedo escoger las

prendas que me gustan?

a) 100 b) 120 c) 200 d) 240 e) 480

RESOL

 Tengo que escoger de 11 elementos 5 esto es:

Las camisas de

6

3

C maneras

Los pantalones de

5

2

C (^) maneras

Luego el total de maneras es

2 1

5 4

3 2 1

(^5654)

2

C

6

3

C 

   

   

200

5

2

C

6

3

C  

☞ CLAVE E

60 ¿Cuántas comisiones integradas por un chico y una chica puede formarse de cinco chicos y ocho chicas, si cierto chico rehúsa trabajar con dos chicas en particular?

a) 38 b) 40 c) 42 d) 44 e) 46

RESOL :

 Calculamos la cantidad de comisiones que se pueden formar con 5 chicos y 8 chicas, esto es: 5 x 8 = 40

Pero como uno de ellos se rehúsa trabajar con dos chicas, quedan 2 posibilidades menos

Es decir:

Nº de comisiones es 40–2 = 38

☞ CLAVE A

Obra 1 Obra 2^ Obra 3 Obra 4

3 libros 3 libros 2 libros 2 libros

3! 3! 3! 3!

P 1 P 2 P 3

P n

Elemento fijo de

referencia (n+1) elementos

que se permutan

circularmente

“n” personas juntas

que se permutan de

n! formas