Ejercicios de Álgebra: Guía de Estudio con Respuestas y Justificaciones, Resúmenes de Álgebra

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Álgebra: Respuestas correctas

Aprovecha al máximo esta

sección de tu Guía de

Estudio. Para ello te

invitamos a que sigas estos

pasos:

 Resuelve todos tus ejercicios antes de consultar esta

sección.

 Una vez que hayas concluido, coteja tus resultados con la

argumentación de la respuesta correcta que aparece aquí.

 Solicita apoyo de tus profesores o acude a recursos en línea

para comprender conceptos, términos o procedimientos

descritos en esta sección que aún no tengas claros.

Justificación de las respuestas correctas

Página

28

1 Respuesta correcta: D

Para este reactivo se pide relacionar el concepto con su ejemplo correspondiente.

1C. Factorizar es expresar en factores:

2D. La ley de los signos indica que solamente en la multiplicación y en la división de dos signos

iguales, el resultado es positivo y en la multiplicación o división de dos signos diferentes, el

resultado es negativo:

3

3B. Simplificar la fracción es dividir numerador y denominador entre el mismo número:

3

2

4A. Simplificar la ecuación es dividir el miembro izquierdo y el miembro derecho de la ecuación

entre el mismo número.

2

2 Respuesta correcta: D

Para todo número real, excepto el cero, siempre existe otro número real tal que al hacer la

multiplicación de ambos nos da siempre la unidad. A la propiedad anterior se le llama inverso

multiplicativo. Por otro lado, para el mismo número existe el inverso aditivo, que es otro número

que al sumarse con él siempre da cero. En la propiedad anterior sí se incluye al cero.

1. El inverso aditivo multiplicativo es de la forma 1/n, donde n es cualquier número real excepto el

cero, ya dentro de los reales la división entre cero no está definida.

2. El inverso aditivo de un número real es un número real que sumado con tal número siempre

da cero. En este caso son los negativos y el inverso aditivo de cero es cero.

3 Respuesta correcta: C

1D. El primer conjunto de números naturales ya que este conjunto está formado por

2C. El siguiente conjunto de números 0. 33 , 1 / 2 , 1. 25 , 7 / 4 , … se puede expresar como la razón p/q,

donde p y q son enteros. Este conjunto es de los números racionales.

3B. El tercer conjunto − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , … incluye enteros negativos y el cero, así que son los

enteros.

4A. El ultimo conjunto está formado por números irracionales que no se pueden expresar como

p/q.

Álgebra: Respuestas correctas

Justificación de las respuestas correctas

4 Respuesta correcta: B

1A. El álgebra son operaciones con términos.

2C. El número representa simbólicamente a una cantidad, que es todo lo que se puede contar o

medir.

3D. Término es la multiplicación de por lo menos los dos primeros de los siguientes elementos:

• Signo.
• Coeficiente.
• Número irracional.
• Variable con exponente.
• Función exponencial.
• Función logarítmica.
• Función trigonométrica.
• Arco función.

4B. Aritmética son operaciones con números.

5 Respuesta correcta: C

Consideramos la siguiente desigualdad de la cual partimos:

2

Multiplicando por √ 5

2

3

2

De la primera desigualdad el lado derecho:

2

2

Por lo tanto, en el orden decreciente:

3

2

2

2

6 Respuesta correcta: C

La propiedad conmutativa se aplica en 4 𝑥

3

3

, mientras que la propiedad distributiva se

sigue en 2 𝑥( 3 𝑥𝑦 − 2 𝑦𝑧) = 6 𝑥

2

Página

7 Respuesta correcta: A

1C. Cifra es la posición que ocupa el dígito en el número.

2D. Dígito son los símbolos básicos usados para escribir números en algún sistema numérico.

3B. Galera es el símbolo usado para indicar la división.

4A. Radical es el símbolo usado para indicar la radicación.

Álgebra: Respuestas correctas

Justificación de las respuestas correctas

Página

12 Respuesta correcta: B

En este reactivo se utilizan algunos criterios de las leyes de exponentes para reducir la expresión:

12

4

6

− 1

2

Primero, quitando la raíz y reduciendo al pasar todo al numerador:

8

1 / 2

6

− 2

4

4

4

13 Respuesta correcta: C

Plantear las dos proporciones:

1

300

1 25

P profesores estudiantes

profesor estudiantes



2

300

1 15

P profesores estudiantes

profesor estudiantes



Dividir:

1

P  12 ,

2

P  20

Se deben contratar 8 profesores para mejorar la calidad de la enseñanza.

Álgebra: Respuestas correctas

Justificación de las respuestas correctas

14 Respuesta correcta: B

Los porcentajes siempre son con respeto a algo y el descuento se representa como una resta al

 

P

Simplificar las fracciones:

 

P

Jerarquía de operaciones, dividir:

 

P  3 7 14 

 

Multiplicar:

P  294

Se deben pagar $ 294

15 Respuesta correcta: B

Plantear la proporción:

35

40 25

T trabajadores días

trabajadores días



Dividir, simplificar la fracción y operaciones inversas:

7

40

5

T

 



 

 

Jerarquía de operaciones, simplificar la fracción y multiplicar:

T  56

Se deben contratar 16 trabajadores más para acabar la autopista.

Álgebra: Respuestas correctas

Justificación de las respuestas correctas

19 Respuesta correcta: A

Podemos distinguir que existen factores en base 10, los cuales se pueden simplificar sumando o

restando los exponentes y dividiendo cuando sean raíces, como los indican las leyes de los

exponentes:

2 ∙ 2 ∙ 6 × 10

8

∙ 3 × 10

− 4

3

× 10

− 6

)

1 / 3

1 / 2

∙ ( 90 × 10

− 5

1 / 2

Moviendo el punto en el factor de la derecha tenemos:

2 ∙ 2 × 10

4

2 × 10

− 6 / 3

1 / 2

∙ ( 9 × 10

− 4

1 / 2

2 × 10

4

1 × 10

− 2

1 / 2

2

× 10

− 4

1 / 2

2 × 10

6

1 / 2

∙ 3 × 10

− 2

3 √ 2 × 10

3 − 2

20 Respuesta correcta: B

Realizando la división entre los polinomios:

2

2 4

4 3 2

3 2

3 2

2

2

4

3 2

3

3 2

3

4

4 4 12

5 12

x x

x x x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x

 

  

  

 

  



  



21 Respuesta correcta: A

En el numerador se realiza el producto de la suma con la diferencia:

3 𝑛

2

(𝑛− 1 )/ 2

2

3 𝑛

(𝑛− 1 )

2

En el denominador se desarrolla un binomio al cuadrado:

3 𝑛

2

(𝑛− 1 )/ 2

2

6 𝑛

3 𝑛

(𝑛− 1 )

2 (𝑛− 1 )

Álgebra: Respuestas correctas

Justificación de las respuestas correctas

22 Respuesta correcta: D

Dividir de manera sintética:

___________________

La expresión resultante es

6

5

4

3

2

Página

23 Respuesta correcta: A

Se identifican los términos con variables en común para realizar la primera factorización. Del

primer y último término, factorizamos 2 𝑛𝑠

3

como se muestra:

3

2

3

4

3

3

Para los últimos dos términos se factoriza − 6 𝑚

2

quedando:

3

2

3

2

2

3

Por último, factorizando el término común del paréntesis

3

2

2

3

24 Respuesta correcta: C

Primero, consideramos los dos enteros:

El entero par

El entero impar consecutivo

La suma de los dos enteros

El triple producto del par con la quinta parte del impar

Finalmente, dividimos el primero entre el ultimo termino

Álgebra: Respuestas correctas

Justificación de las respuestas correctas

27 Respuesta correcta: C

La función

5

3

2

Se evalúa en 𝑡 = 3 , es decir, sustituimos en dicho valor de t:

Página

28 Respuesta correcta: D

1C. Diferencia de cuadrados: 4 𝑥

2

2

2D. Trinomio cuadrado perfecto: 4 𝑥

2

3A. Factorización de la forma: 𝑎𝑥

2

2

4B. Factor común:

2

4

2

4

3

2

29 Respuesta correcta: D

Realizando el producto

2

− 2 𝑥

3

−𝑥

−

1

2 𝑒

−𝑥

− 2 𝑥

2 𝑥

𝑥

1 / 2

2 𝑥

30 Respuesta correcta: A

1B. 𝑓(𝑥) = − 4 𝑥

2

− 24 𝑥 = 𝑥(𝑥 + 6 ), raíces distintas 𝑥 = 0 , 𝑥 = − 6

2D 𝑔(𝑥) = 4 𝑥

2

2

, raíces iguales 𝑥 = 3 / 2

3A ℎ

2

• 1 , esta ecuación no tiene raíz real 𝑥

2

4C 𝑠(𝑥) = 6 + 𝑐, la función es constante y por lo tanto no tiene raíz

31 Respuesta correcta: B

Las raíces de un polinomio son los ceros de la función 𝑓

4

3

2

En la gráfica se muestra la representación del polinomio. De acuerdo con lo anterior, esto

corresponde al cruce de la curva con el eje x.

El polinomio es de cuarto orden y por lo tanto, tiene 4 raíces:

. Así, las coordenadas son

Página

32 Respuesta correcta: C

Utilizando algún método para resolver el sistema de ecuaciones.

Despejando 𝑥 de la primera ecuación

Sustituyendo en la segunda

Encontramos 𝑦 = 1

Sustituyendo en la primera se tiene 𝑥 = 9

Álgebra: Respuestas correctas

Justificación de las respuestas correctas

33 Respuesta correcta: C

Siguiendo las expresiones algebraicas siguientes:

Una dosis de VX y dos dosis de VY a un total de 240 individuos del personal médico:

A la población en general, se aplicarán dos dosis de VX y una dosis de VY para un total de 1600

personas:

34 Respuesta correcta: C

Utilizando alguno de los métodos para resolver el sistema de ecuaciones.

Sustituyendo en la segunda:

Se encuentra 𝑥 = 2

Sustituyendo en la primera 𝑦 =

3

4

35 Respuesta correcta: C

El comportamiento del nivel del agua “ N ” de la alberca, debido a la evaporación por acción del

sol, en cierto tiempo “ t ”medido en días es:

  200  6 

t

N t  

Multiplicar:

 

N t   t

Álgebra: Respuestas correctas

Justificación de las respuestas correctas

37 Respuesta correcta: B

Organizar los datos:

a sol a sol Sol resultante

Vol x x

sal

Plantear la ecuación:

x x

Aplicar propiedad de la igualdad multiplicando por el mcm:

x x

Aplicar propiedad distributiva, jerarquía de operaciones y ley de los signos:

60 x  23  92 x  21

Aplicar operación inversa, ley de la suma y ley de la resta con términos semejantes y propiedad

reflexiva:

32 x  2

Aplicar operación inversa y simplificar la fracción:

x 

Se debe mezclar

de litro de la solución azucarada al 15 %, con

de litro de la solución

azucarada al 23 %, para producir

de litro de una solución azucarada al 21 %

Álgebra: Respuestas correctas

Justificación de las respuestas correctas

38 Respuesta correcta: B

Usar método de sustitución continua.

Calcular el valor de “ z ” de la primera ecuación, aplicar operación inversa y fracción parcial:

z  4  2 x  5 y

Sustituir en la segunda ecuación:

 

3 x  2 y  2 4  2 x  5 y  9

Aplicar propiedad distributiva, ley de los signos y ley de la suma con términos semejantes:

7 x  12 y  8  9

Calcular el valor de “ x ”, aplicar operaciones inversas, ley de la suma con términos semejantes,

ley de los signos y fracciones parciales:

x  y 

Sustituir el valor de “ x ” y “ z ” en la tercera ecuación.

Página

39 Respuesta correcta: B

Sustituyendo el primer valor de 𝑛 = 0

0

0

[(− 1 )

0 + 2

2 ∙ 0 ∙𝑥

2

0

2

𝑥

2

0 𝑥

2

]

Ahora sustituyendo 𝑥 = 0 tenemos:

0

Sustituyendo el segundo valor de 𝑛 = 3

3

3

[(− 1 )

3 + 2

2 ∙ 3 ∙𝑥

2

3

2

𝑥

2

3 𝑥

2

]

3

3

[(− 1 )

3 + 2

2 ∙ 3 ∙𝑥

2

3

2

𝑥

2

3 𝑥

2

]

3

[(− 1 )

5

6 𝑥

2

3

2

𝑥

2

3 𝑥

2

] = −

6 𝑥

2

3

2

𝑥

2

3 𝑥

2

Ahora sustituyendo 𝑥 = 0 tenemos:

3

6 ∙ 0

2

3

2

∙ 0

2

30

2

Álgebra: Respuestas correctas

Justificación de las respuestas correctas

42 Respuesta correcta: A

El comportamiento de la altura del árbol “ A ” conforme avanza el tiempo “

t

” medido en días es:

 

A 21  110  7

 

A 42  110  7  7 ,

   

A 42  110 2 7

 

A 63  110  7  7  7 ;

   

A 63  110 3 7

 

A 84  110  7  7  7  7 ;

   

A 84  110 4 7

   

t

A t  

Multiplicar:

 

A t   t

Sustituir:

  t

Aplicar operación inversa, ley de la resta con términos semejantes y propiedad reflexiva:

t  120

El árbol, que al plantarse medía 1.1 metros, necesita que transcurran 3 meses y 27 días para

alcanzar una altura de metro y medio con un ritmo de crecimiento de 7 cm cada 21 días.

Álgebra: Respuestas correctas

Justificación de las respuestas correctas

43 Respuesta correcta: C

Plantear las ecuaciones para cada compra considerando el costo por kilogramo de clavos “ C ” y

por el kilogramo de tornillos “ T ”.

C  T 

C  T 

Simplificar la fracción y aplicar en ambas ecuaciones propiedad de la igualdad multiplicando por

el mcm:

   

C T

   

C T

Aplicar en ambas ecuaciones propiedad distributiva, jerarquía de operaciones y ley de los signos:

3 C  5 T  239

20 C  2 T  575

Aplicar en ambas ecuaciones propiedad de la igualdad para que los coeficientes de “ T ”, sean

simétricos:

     

 2 3 C  5 T  239  2

     

5 20 C  2 T  575 5

Aplicar en ambas ecuaciones propiedad distributiva y ley de los signos:

 6 C  10 T   478

100 C  10 T  2875

Aplicar ley de la resta entre términos semejantes de ambas ecuaciones:

 94 C   2397

Aplicar operación inversa, ley de los signos y simplificar la fracción:

C 

Sustituir:

T

Aplicar propiedad de la igualdad multiplicando por el mcm:

    

T

Aplicar propiedad distributiva, jerarquía de operaciones y ley de los signos:

153  10 T  478

Aplicar operaciones inversas y ley de la resta con términos semejantes:

T 

El kilogramo de clavos costó $ 25.50 y el kilogramo de tornillos $32.

Álgebra: Respuestas correctas

Justificación de las respuestas correctas

46 Respuesta correcta: D

La solución al sistema de ecuaciones:

2

Se determina por la intersección de las curvas, por lo tanto, la solución a la ecuación lineal y

cuadrática es el par:

47 Respuesta correcta: A

El comportamiento del ahorro es:

 

A 1  750  5

 

A 2  750  5  10

 

A 3  750  5  10  15

 

A 4  750  5  10  15  20

A   5  750  5 1  2  3  4  5 

   

A 6  750  5 1  2  3  4  5  6

La función que representa el ahorro es:

 

 1 

t t

A t

Sustituir:

 

 t t  

Aplicar operación inversa y propiedad distributiva:

 

2

t  t 

Dividir, multiplicar y operación inversa:

2

t  t  10,100  0

Factorizar:

  

t  101 t  100  0

Satisfacer la ecuación:

1

t   101 ;

2

t  100

Álgebra: Respuestas correctas

Justificación de las respuestas correctas

48 Respuesta correcta: C

La planta baja tiene un área de 𝐴 𝑃𝐵

2

y el primer nivel de 𝐴

1

𝐴 𝑃𝐵

2

2

El primer nivel tiene un largo de 8 m más que el frente (𝐹 1

), es decir, 𝐿

1

1

Expresamos el área del primer nivel:

1

1

1

1

1

Se tiene

1

1

Resolviendo la ecuación cuadrática:

1

2

1

1

1

1

− 13 = 0 se consigue 𝐹

1

1

• 21 = 0 se consigue 𝐹

1

Tomando el primer valor y sustituyendo el en 𝐿 1

1

49 Respuesta correcta: C

Utilizando regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones lineales se calcula el

determinante de la matriz de coeficientes y este divide las matrices de incógnita:

Mientras:

Por tanto, la solución única es:

50 Respuesta correcta: D

Para la ecuación cuadrática

2

Utilizando la formula general para hallar las soluciones

1 , 2

2

De aquí las soluciones son:

Solución única 𝐵

2

− 4 𝐴𝐶 = 0 1B

Sin solución real 𝐵

2

− 4 𝐴𝐶 < 0 2C

Dos soluciones distintas 𝐵

2

− 4 𝐴𝐶 > 0 3A

Entonces la respuesta es: 1B, 2C, 3A