ALGEBRA I - Ejercicios adicionales
1. Sea Rla relaci´on en P(IN) definida por
ARB⇐⇒ 2∈A4B
Estudiar si Res reflexiva, sim´etrica y transitiva.
2. Sean a, b ∈ZZ tales que (a:b) = 72. Probar que (a2b: 74(a2+b2)) = 76, 77o 78.
3. Sea f: IN −→ IN una funci´on que cumple que, cualquiera sea n∈IN, nyf(n) son
coprimos. Se define la siguiente relaci´on Ren IN:
nRm⇐⇒ nf(m)≤mf(n)
Probar que Res reflexiva, antisim´etrica y transitiva (es decir, es una relaci´on de orden).
4. Sea m∈IN fijado. Probar por inducci´on que para todo n∈IN, n≥m, vale
X
i=mnµi
m¶=µn+ 1
m+ 1¶
5. Sea A={n∈IN / n ≤20}. Determinar cu´antas relaciones Rpueden definirse en Aque
satisfagan simult´aneamente las tres condiciones siguientes:
1) Res reflexiva
2) Res sim´etica
3) ∀a, b ∈Acon apar, se tiene que (a, b)∈ R
6. Probar que, cualquiera sea n∈IN, (7.3n−5n+1 : 3n+1 + 7.5n) = 2 o 4.
7. Sea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Determinar cu´antas relaciones de equivalencia R
pueden definirse en Aque satisfagan
{(1,1),(1,3),(3,2),(4,5),(7,6),(8,10),(9,10)} ⊆ R
(1,7) /∈ R ,(1,8) /∈ R y (10,7) /∈ R
8. Se denota por P al conjunto de los n´umeros naturales pares. Se define la siguiente
relaci´on Rem P(IN)
ARB⇐⇒ (A∩B)∪(A0∩B0)⊆P
a) Probar que el conjunto vac´ıo est´a relacionado con IN y con el conjunto de los n´umeros
naturales impares.
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