DEPARTAMENTO DE MATEM ´
ATICAS
111052M - C ´
ALCULO III
ABRIL/2022 - AGOSTO/2022
Trabajo Grupal
23 de junio de 2022
1. Use la t´ecnica de multiplicadores de Lagrange para determinar la distancia dm´ın m´ınima del punto
P(x0, y0, z0) al plano ax +by +cz =e. Identifique expl´ıcitamente el punto Q(x, y, z) en el plano sobre
el cual se genera dicha distancia m´ınima. Para esto siga las siguientes indicaciones:
a) Escoja tres valores enteros y distintos en el intervalo [−5,−1] y ´uselos para x0,y0yz0.
b) Escoja tres valores enteros y distintos en el intervalo [1,5] y ´uselos para a,byc.
c) Defina ecomo el n´umero identificador de su grupo.
d) Use alg´un programa de graficaci´on, por ejemplo Geogebra, para verificar visualmente su respuesta,
esto es, grafique el plano ax +by +cz =ey la esfera de radio d2
m´ın centrada en (x0, y0, z0), ubique
los puntos P(x0, y0, z0) y Q(x, y, z), parametrice y dibuje el segmento de recta que los une, y
calcule la distancia entre dichos puntos.
e) A modo de sugerencia, considere como funci´on ob jetivo el cuadrado de la funci´on distancia.
f) Presente los c´alculos de manera clara y ordenada.
2. Una caja rectangular se encuentra sobre el plano xy y enteramente sobre el primer octante del espacio,
con uno de sus v´ertices en el origen de coordenadas. El v´ertice opuesto est´a sobre el elipsoide dado por
x2
a2+y2
b2+z2
c2= 1.
Use la t´ecnica de multiplicadores de Lagrange para determinar el volumen m´aximo de la caja y las
dimensiones que maximizan dicho volumen. Para esto siga las siguientes indicaciones:
a) Suponga que las dimensiones de la caja son x,yyz.
b) Escoja dos valores enteros y distintos en el intervalo [2,10] y ´uselos para ayb.
c) Defina ccomo el n´umero identificador de su grupo.
d) Use alg´un programa de graficaci´on, por ejemplo Geogebra, para presentar visualmente su respues-
ta, esto es, grafique el elipsoide x2
a2+y2
b2+z2
c2= 1 y la caja con las correspondientes dimensiones
que maximizan su volumen. Note que el punto Q(x, y, z) que maximiza el volumen de la caja
debe estar sobre el elipsoide.
e) Proponga un punto Pubicado en el primer octante del espacio y sobre el elipsoide x2
a2+y2
b2+z2
c2= 1,
con componentes no nulas, que sea distinto al punto Q(x,y , z) que maximiza el volumen de la
caja. Verifique que el volumen de la caja con dimensiones dadas por el punto propuesto Pes
menor que el volumen de la caja con dimensiones dadas por el punto Q(x, y, z ).
f) Presente los c´alculos de manera clara y ordenada.