EJERCICIO CASO 3
Hipótesis nula y alternat iv a:
Hipótesis nula (H0): p = 0.7 (La pr ob ab il id ad d e éx it o es d el 7 0% ).
Hipótesis alternativa (H1): p > 0 .7 ( La p ro ba bili da d de é xi to e s mayor al
70%)..
Cálculo de la proba bi lida d P( X > 11): P ar a ca lc ul ar l a pr obabilidad d e obte ne r
más de 11 éxitos (manch as eli mi na da s) en un a mu es tr a de 1 2 pr ue bas co n
una probabi lidad de éxito de 0.7, u ti li za ré l a di st ri buci ón b in om ia l: P (X = k ) =
nCk * p^k * (1-p)^(n-k)
Entonces:
P(X > 11) = 1 - P(X ≤ 11)
P(X ≤ 11) = P(X = 0) + P(X = 1 ) + .. . + P( X = 11 )
P(X ≤ 11) = 0.07 12 + 0.0 13 8 = 0. 08 50
Para evaluar α y β en este contexto, primero definamos las hipótesis nula (�0H0) y alternativa
(�1H1):
�0H0: La proporción de manchas eliminadas por el nuevo removedor de manchas es igual o
menor al 70% (�≤0.7p≤0.7).
�1H1: La proporción de manchas eliminadas por el nuevo removedor de manchas es mayor al
70% (�>0.7p>0.7).
Ahora, evaluemos α y β:
α (error tipo I): Es la probabilidad de rechazar incorrectamente la hipótesis nula cuando es
verdadera. En este caso, sería la probabilidad de concluir que �>0.7p>0.7 cuando en
realidad �≤0.7p≤0.7.
No rechazamos �0H0 si menos de 11 manchas se eliminan. Si �=0.7p=0.7, la probabilidad de
que 11 o más manchas se eliminen al azar es la probabilidad acumulativa de la distribución
binomial con �=12n=12 y �=0.7p=0.7. Podemos usar una tabla de distribución binomial o una
calculadora para obtener este valor.
Para este caso, con �=12n=12 y �=0.7p=0.7, la probabilidad de observar 11 o más éxitos es
bastante baja, y generalmente se usa un nivel de significancia (�α) de 0.05 o 0.01 para tomar la
decisión. Así que, para evaluar �α, asumamos un nivel de significancia de 0.05.
β (error tipo II): Es la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis
alternativa es verdadera. En este caso, sería la probabilidad de no concluir que
�>0.7p>0.7 cuando en realidad �>0.7p>0.7.
No rechazamos �1H1 si 11 o más manchas se eliminan. Si �=0.9p=0.9, la probabilidad de
observar 11 o más éxitos al azar es la probabilidad acumulativa de la distribución binomial con
�=12n=12 y �=0.9p=0.9. Podemos calcular esto de manera similar.
La probabilidad de observar 11 o más éxitos con �=12n=12 y �=0.9p=0.9 será más baja que con
�=0.7p=0.7, pero aún dependerá de la magnitud de la diferencia entre �p y �1p1 (la
proporción real de manchas eliminadas por el nuevo removedor de manchas).
