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EJERICICIO 3 LITERAL E
y
' '
− y
'
= e
t
cost , y ( 0 ) = 0 , y
'
Aplicando Laplace a ambos lados
L =
y
' '
− y '
= L
e
t
cost
Aplicando linealidad, anulando condiciones iniciales
s
2
Y ( s )− sy ( 0 )− y
'
( 0 )− sY ( s )+ y ( 0 )=
s − 1
( s − 1 )
2
Despeje – factorización
s
2
Y ( s )− s y ( s ) =
s − 1
( s − 1 )
2
Y ( s ) ( s
2
− s ) =
s − 1
( s − 1 )
2
sy ( s )( s − 1 )=
( s − 1 )
s − 1
2
sy ( s )=
( s − 1 )
2
Y ( s )=
s [ ( s − 1 )
2
Hallar la transformada inversa de Laplace
y
t
= L
− 1
{ Y ( s )}
Expresar como suma de fracciones parciaes
Y ( s )=
s [
( s − 1 )
2
]
s ( s
2
− 2 s + 2 )
A
s
Bs + C
s
2
− 2 s + 2
Encontrar A,B.C
s ( s
2
− 2 s + 2 )
A ( s
2
− 2 s + 2 ) + ( Bs + C ) s
s ( s
2
− 2 s + 2 ) + Bs + C ¿
s ¿
s = 0
1 ≅ A
s
2
− 2 s + 2
Bs + C
s
1 = 2 A , A =
s = i + 1
1 ≅ A ( s
2
− 2 s + 2 ) +( Bs + C ) s
1 =( B ( i + 1 ))+ C ¿+( i + 1 )
1 = B ( i + 1 )
2
+ C
i + 1
= B i
2
2
1 = 2 Bi + Ci + C
1 =( 2 B + C ) i + c
C = 1
2 B + C = 0
B =
C = 1
Sustituyendo A,B,C
s ( s
2
− 2 s + 2 )
A
s
Bs + C
s
2
− 2 s + 2
s
s − 1
Y ( s )=
s
s − 1
s ¿ ¿
La transformada inversa de Laplace se cumple la propiedad de linealidad
y
t
L
− 1
s
L
− 1
s − 1
( s − 1 )
2
L
− 1
( s − 1 )
2
y
t
L
− 1
s − 1
( s − 1 )
2
L
− 1
( s − 1 )
2
Aplicando tablas de transformada de Laplace se resuelve:
