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Elaboró: Edgar Jarod Hernández Contreras.
Rodolfo Emanuel Flores García.
Víctor Alejandro Alanís Morales.
MANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO
Ecuaciones diferenciales
División de Ingeniería Mecatrónica
Práctica 2. Modelado matemático de problemas de aplicación.
Objetivo
Plantear un modelo matemático que permita resolver un problema aplicado a la ingeniería por medio de una
ecuación diferencial.
Introducción
El modelado matemático implica traducir situaciones del mundo real en términos matemáticos. Esto implica
identificar las variables clave, establecer relaciones entre ellas y formular ecuaciones que describan el
comportamiento del sistema en cuestión. Por ejemplo, en el caso del crecimiento de una población, podríamos
considerar factores como la tasa de natalidad, la mortalidad y la migración, y luego utilizar ecuaciones
diferenciales para modelar cómo estas variables cambian con el tiempo. Una vez que se ha formulado un modelo
matemático, se pueden aplicar diversas técnicas de análisis para comprender mejor el sistema y predecir su
comportamiento futuro. Esto puede implicar resolver ecuaciones, simular el sistema en una computadora o
utilizar métodos estadísticos para analizar datos.
Los modelos matemáticos son utilizados para analizar la relación entre dos o más variables. Además, pueden ser
utilizados para entender fenómenos naturales, sociales, físicos, etc. Por otro lado, dependiendo del objetivo
buscado y del diseño del mismo modelo pueden servir para predecir el valor de las variables en el futuro, hacer
hipótesis, evaluar los efectos de una determinada política o actividad, entre otros objetivos. Aunque parezca un
concepto teórico, en realidad hay muchos aspectos de la vida cotidiana regidos por modelos matemáticos. Lo
que ocurre es que no son modelos matemáticos enfocados a teorizar. Al contrario, son modelos matemáticos
formulados para que algo funcione.
Variables: Son los conceptos u objetos que se busca entender o analizar. Sobre todo, con respecto a su relación
con otras variables. Así, por ejemplo, una variable puede ser el salario de los trabajadores y lo que queremos
analizar son sus principales determinantes (por ejemplo: años de estudio, educación de los padres, lugar de
nacimientos, etc.).
Parámetros: Se trata de valores conocidos o controlables del modelo. Restricciones: Son determinados límites
que nos indican que los resultados del análisis son razonables. Así, por ejemplo, si una de las variables es el
número de hijos de una familia, una restricción natural es que este valor no puede ser negativo.
Relaciones entre las variables: El modelo establece una determinada relación entre las variables apoyándose en
teorías económicas, físicas, químicas, etc.
Representaciones simplificadas: Una de las características esenciales de un modelo matemáticos es la
representación de las relaciones entre las variables estudiadas a través de elementos de las matemáticas tales
como: funciones, ecuaciones, fórmulas, etc.
Simulación o descriptivo: Simula o describe un fenómeno. Los resultados se enfocan a predecir qué sucederá una
determinada situación.
Optimización: Se utilizan para encontrar una solución óptima a un problema.
De control: Para mantener el control de una organización o sistema y determinar las variables que deben
ajustarse para obtener los resultados buscados.
Elaboró: Edgar Jarod Hernández Contreras.
Rodolfo Emanuel Flores García.
Víctor Alejandro Alanís Morales.
Equipo y materiales
Equipo de cómputo con Matlab integrado y conexión a internet estable.
Normas de seguridad
Usar adecuadamente el equipo de cómputo que se les sea signado para la realización de esta práctica.
Respetar el reglamento interno del centro de cómputo.
Desarrollo
Es importante que reconozca en su análisis que para construir un modelo matemático es necesario reconocer
las variables dependientes e independientes involucradas en el sistema. Posteriormente, establecer una relación
matemática entre ellas y obtener soluciones que pueda poner a prueba.
Resultados e interpretación
A continuación, presentaremos un ejemplo del libro Advanced Engineering Mathematics, capitulo 1
“introducción a las ecuaciones diferenciales”, pagina 30, ejercicio 19, abarcando así mismo la relación que hay
entre ecuaciones diferenciales y la segunda ley de Newton y la ley de Hooke.
- Luego de que una masa m se ata a un resorte, éste se estira s unidades y después cuelga en reposo en la
posición de equilibrio que muestra la FIGURA 1.3.17b). Después de que el sistema resorte/masa se ha puesto en
movimiento, hagamos que x(t) denote la distancia dirigida de la masa más allá de la posición de equilibrio. Tal
como indica la figura 1.3.17c), suponga que la dirección descendente es positiva y que el movimiento se presenta
en línea recta vertical a través del centro de gravedad de la masa, y que las únicas fuerzas actuantes sobre el
sistema son el peso de la masa y la fuerza de recuperación del resorte estirado. Aplique la ley de Hooke: la fuerza
de recuperación de un resorte es proporcional a su elongación total. Determine una ecuación diferencial para el
desplazamiento x(t) en el tiempo t.
Actividad 1
Analice con detenimiento los problemas presentados en la sección 1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos
matemáticos de [1]. Y describa con detalle uno de ellos.
Actividad 2
De la sección de ejercicios propuestos 1.2 de [1], elija un ejercicio propuesto a partir del número 5 y realice
lo siguiente:
- Realice una breve descripción del comportamiento del sistema involucrado y realice un bosquejo.
- Identifique las variables involucradas en el sistema, defina cuáles son dependientes o independientes.
- Establezca una relación matemática entre las variables identificadas.
- Resuelva lo establecido en el inciso anterior.
- Muestre su resultado de forma analítica y gráfica, utilice el software de su preferencia.
- Realice una interpretación de su resultado.
Actividad 1
Analice con detenimiento los problemas presentados en la sección 1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos
matemáticos de [1]. Y describa con detalle uno de ellos.
Elaboró: Edgar Jarod Hernández Contreras.
Rodolfo Emanuel Flores García.
Víctor Alejandro Alanís Morales.
2
2
2
2
𝟐
𝟐
- a) Verifique si 𝑦 =
− 1
(𝑥+𝑐)
es una familia de soluciones de un parámetro para la ecuación diferencial 𝑦
′
2
b) Dado que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦
2
y
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 2 𝑦 son continuas en todo momento, la región R del teorema 1.1 puede
considerarse equivalente a todo el plano 𝑥𝑦. A partir de la familia del inciso a), encuentre una solución que
satisfaga 𝑦( 0 ) = 1 , y otra que satisfaga 𝑦( 0 ) = − 1. Determine el intervalo de definición I más amplio para la
solución del problema de valor inicial.
a) Verifique si 𝒚 =
−𝟏
( 𝒙+𝒄
)
es una familia de soluciones de un parámetro para la ecuación diferencial 𝒚
′
𝟐
′
2
2
′
2
2
= [
]
2
2
2
b) Dado que 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒚
𝟐
y
𝝏𝒇
𝝏𝒚
= 𝟐𝒚 son continuas en todo momento, la región R del teorema 1.1 puede
considerarse equivalente a todo el plano 𝒙𝒚. A partir de la familia del inciso a), encuentre una solución que
satisfaga 𝒚(𝟎) = 𝟏 , y otra que satisfaga 𝒚(𝟎) = −𝟏. Determine el intervalo de definición I más amplio para
la solución del problema de valor inicial.
Actividad 2
De la sección de ejercicios propuestos 1.2 de [1], elija un ejercicio propuesto a partir del número 5 y realice
lo siguiente:
- Realice una breve descripción del comportamiento del sistema involucrado y realice un bosquejo.
- Identifique las variables involucradas en el sistema, defina cuáles son dependientes o independientes.
- Establezca una relación matemática entre las variables identificadas.
- Resuelva lo establecido en el inciso anterior.
- Muestre su resultado de forma analítica y gráfica, utilice el software de su preferencia.
- Realice una interpretación de su resultado.
Elaboró: Edgar Jarod Hernández Contreras.
Rodolfo Emanuel Flores García.
Víctor Alejandro Alanís Morales.
Tabla 1 Tabulación (x,y)
En esta práctica escogimos el problema 31 ya que con los conocimientos adquiridos durante el curso fue el que
mas se nos facilito interpretar y desarrollar ya que estamos realizando una comparación para unas posibles
soluciones de la ecuación en cuestión, para realizar mas detallada, realizamos una grafica de la función así
obteniendo punto que se nos piden en el inciso b y graficándolos en el software de GeoGebra para poder hacerlo
más vistoso.
Ilustración 2 Grafia en GeoGebra
