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UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICAS Y MATEM ATICAS´ DEPARTAMENTO DE INGENIER´IA MATEM ATICA´ MA2601 - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Gu´ıa de Ejercicios
- Verificar que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:
(1) y = sen( x x); xy′^ + y = cos(x). (2) y = ex^ − e−x^ − 12 sen(x); y′′^ − y = sen(x). (3) y = arcsen(xy); y′(
1 − x^2 y^2 − x) = y. (4) y = e−x^2
∫ (^) x
0
et^2 dt + c 1 e−x^2 ; y′^ + 2xy = 1.
(5) x = y
∫ (^) x
0
sen(t^2 )dt; y = xy′^ + y^2 sen(x^2 ).
(6) x^ =^ te
t y = e−t
; (1 + xy)y′^ + y^2 = 0.
(7) x^ =^ t^ ln(t) y = t^2 (2 ln(t) + 1)
; y′^ ln(y′/4) = 4x. (8) x^3 − 4 x^2 y + 2xy^2 − y^3 = 0; (3x^2 − 8 xy + 2y^2 )dx − (4x^2 − 4 xy + 3y^2 )dy = 0 (9) y^3 =^1 x + (^) xc 3 ; xy^2 dy + y^3 dx = dxx. (10) arctan(y/x) − ln(c
x^2 + y^2 ) = 0; dydx = xx^ +−^ yy.
- Si y′^ = y^2 − 1, verificar que
(a) y = 1 +^ ce
2 x 1 − ce^2 x^ es soluci´on general. (b) Explicar porque y = −1 es soluci´on singular.
- Dada una curva y = y(x), sea LT (x) la longitud de la recta tangente entre el punto P = (x, y(x)) y su punto de intersecci´on T con el eje OX.
(a) Demuestre que LT (x) = (^) yy′((xx))
1 + y′(x)^2.
(b) Si a es una constante no nula, encuentre la ecuaci´on diferencial de la familia de curvas que verifican LT (x) = a(y(x))^2.
(c) Demuestre que la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas del item b) est´a dada por y(x) =^1 a cosh(ax + b), b ∈ R.
- Para las siguientes familias de curvas, haga lo siguiente:
(a) Escriba la ecuaci´on diferencial que describe la familia. (b) Haga lo mismo para la familia ortogonal. (c) Con un poco de ingenio, descubra la ecuaci´on de la familia ortogonal. (d) Grafique ambas familias.
(1) Familia de c´ırculos tangentes al eje OY en el origen x^2 + y^2 = 2cx, c ∈ R. (2) Las rectas que pasan por el punto (1,2). (3) Las curvas tales que la normal al gr´afico por el punto (x, y(x)) corta al eje OX en el punto (2x, 0).
- Se desea graficar la funci´on y(x) = y = e−x^2
∫ (^) x 0
et^2 dt, para x ≥ 0.
(a) Observe que la pendiente de cualquier soluci´on de la ecuaci´on diferencial es constante a lo largo de ciertas hip´erbolas. (ver 1.(3)) (b) Derive la ecuaci´on diferencial ordinaria para determinar las regiones del plano donde las curvas integrales son convexas y c´oncavas, respectivamente. (c) Grafique las curvas integrales de la EDO, destacando y. (d) Conjeture el valor de (^) xlim→∞ y(x).
- Resuelva las siguientes ecuaciones con integraci´on directa: (1) (1 + x^2 )y′^ = arctan(x). (2) y′^ = x sen(x). (3) y′^ = (x + 1)^2. (4) (x + 1) dydx = x + 6. (5) ex dydx = 2x.
- Resuelva las siguientes ecuaciones mediante separaci´on de variables: (1) yy′^ − x = xy^2. (2) y′^ = 1 + x + y + xy. (3) x^3 e^2 x^2 +2y^2 dx − y^3 e−x^2 −^2 y^2 dy = 0. (4) (4y + yx^2 )dy − (2x + xy^2 )dx = 0. (5) dydx = (^) xyxy −+ 3 2 xx + 4−^ yy^ − −^3 . (6) x
1 + y^2 + yy′
1 + x^2 = 0. (7) xydx + (x^2 + 1)ey^2 dy = 0. (8) (1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2 )dy = y^2 dx. (9) xydydx =^2 y
x + 1. (10) ey^ sen(2x)dx + cos(x)(e^2 y^ − y)dy = 0.
- Responda a los siguientes planteamientos:
(a) Sea I un intervalo y suponga que f : I → R es una funci´on diferenciable tal que si f (x) > 0 entonces f ′(x) < 0. Pruebe que si f (x 0 ) ≤ 0 para alg´un x 0 ∈ I, entonces f (x) ≤ 0 para todo x ∈ I tal que x > x 0. (b) Suponga que y : [0, ∞) → R es una funci´on diferenciable que satisface la ecuaci´on diferencial y′(x) = y(x)^2 − x y que y(x 0 )^2 < x 0 para alg´un x 0. Pruebe que y(x)^2 < x, ∀x ≥ x 0. (Sug. Adaptar el resultado del punto anterior).
