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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Burgos Panti Ivan de Jesus
Resumen-Las derivadas ordinarias son fundamentales en el cálculo diferencial y tienen
aplicaciones en áreas como la física, la ingeniería y la economía. Su estudio permite analizar
funciones y modelar fenómenos dinámicos. Este trabajo aborda su definición, notación y
evolución histórica c
También se exploran la derivación parcial, utilizada para funciones de varias variables en
disciplinas como la termodinámica, y la derivación implícita, útil para funciones no expresadas
explícitamente. Además, se presentan las ecuaciones diferenciales, esenciales para modelar
sistemas dinámicos en distintos campos.
En conjunto, se ofrece una visión general sobre las derivadas y su impacto en el análisis.
Palabras claves
- Derivadas • Ecuaciones diferenciales • Cálculo • Funciones • Variables
I. Introducción
Las derivadas ordinarias son un pilar esencial del cálculo diferencial y tienen múltiples
aplicaciones en áreas como la física, la ingeniería, la economía y la biología. Su análisis
permite comprender el comportamiento de funciones matemáticas y modelar diversos
fenómenos dinámicos. Este estudio aborda la definición y notación de las derivadas ordinarias,
su origen histórico con Newton y Leibniz, así como la evolución de su notación en distintos
contextos.
Asimismo, se examina la derivación parcial, que amplía el concepto de derivadas a funciones
de varias variables, facilitando el estudio de fenómenos multivariables en disciplinas como la
termodinámica y la inteligencia artificial. Se describen sus características, notaciones y
aplicaciones, acompañadas de ejemplos que destacan su relevancia en el análisis matemático
y en la solución de problemas.
También se explora la derivación implícita, una técnica fundamental para calcular derivadas de
funciones que no están expresadas explícitamente en términos de una única variable. Se
presentan su definición, propiedades y ejemplos ilustrativos, subrayando su importancia en
áreas como la geometría, la física y la economía.
Finalmente, se introduce el estudio de las ecuaciones diferenciales, que vinculan funciones con
sus derivadas y permiten modelar sistemas dinámicos. Se analizan sus características,
clasificación y métodos de resolución, resaltando su papel en la predicción y análisis de
fenómenos físicos y matemáticos. Además, se incluyen ejemplos de su aplicación en la
modelización de sistemas físicos y la simulación computacional de procesos dinámicos.
En conjunto, este trabajo ofrece una visión general sobre las derivadas y su utilidad,
destacando su importancia en el estudio de sistemas dinámicos y su impacto en diversas áreas
del conocimiento.
Las derivadas ordinarias y su notación.
Las derivadas ordinarias son un concepto clave en el cálculo diferencial. Su estudio es
fundamental para comprender el comportamiento de las funciones matemáticas y tiene
aplicaciones en diversas disciplinas como la física, la ingeniería, la economía y la biología.
Estos permiten analizar la variación de una cantidad con respecto a otra, siendo una
herramienta esencial para modelar fenómenos dinámicos y resolver problemas del mundo real.
Además, la notación de las derivadas ha evolucionado con el tiempo, adaptándose a las
necesidades y enfoques de diferentes áreas del conocimiento.
Definición y Concepto Matemático- Una derivada ordinaria es una herramienta matemática
fundamental que permite medir la tasa de cambio instantánea de una función. 𝐹(x) con
respecto a su variable independiente. En términos geométricos, representa la pendiente de la
recta tangente a la curva de la función en un punto específico. Su definición formal se establece
a través de un límite (Ecuación 1.1), el cual expresa cómo varía la función en un entorno
infinitesimal de dicho punto. De esta manera, la derivada proporciona información clave sobre
el comportamiento local de la función, permitiendo analizar su crecimiento, decrecimiento y
posibles puntos críticos. La expresión matemática de la derivada en un punto 𝑎 se define de la
siguiente manera:
Este límite expresa cómo varía el valor de la
función 𝐹(x)una medida incógnita 𝑎. A
diferencia de las derivadas parciales,
que se aplican a funciones de múltiples variables y requieren considerar distintas direcciones
de cambio, las derivadas ordinarias se utilizan exclusivamente en funciones de una sola
variable. Esto simplifica tanto su interpretación como su cálculo, ya que solo es necesario
analizar la variación en una única dirección. No obstante, a pesar de su aparente simplicidad,
las derivadas ordinarias son herramientas matemáticas sumamente poderosas, con
aplicaciones fundamentales en diversas áreas.
Origen Histórico - Newton y Leibniz: El desarrollo del cálculo diferencial en el siglo XVII es uno
de los logros más importantes en la historia de las matemáticas. Dos figuras clave en este
desarrollo fueron Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, quienes, de manera independiente,
sentaron las bases del cálculo moderno. Aunque ambos llegaron a conclusiones similares, sus
enfoques y notaciones fueron diferentes, lo que refleja sus distintas perspectivas y áreas de
interés. Isaac Newton, físico y matemático inglés, desarrolló el cálculo como una herramienta
para describir el movimiento de los cuerpos celestes y terrestres. Su notación, conocida como
Este límite mide la tasa de cambio instantánea de f en la dirección de 1, considerando las
demás variables fijas. La notación ∂ (d "redondeada") distingue las derivadas parciales de las
ordinarias (d).
3. Variables independientes: Las derivadas parciales tratan a todas las variables, excepto
una, como constantes.
2. Interpretación geométrica : Representan la pendiente de la recta tangente a la curva
obtenida al cortar la superficie
f ( x , y ) con un plano perpendicular al eje de la variable derivada.
3. Derivadas de orden superior: Es posible calcular derivadas parciales mixtas (ej: 𝜕 2 𝑓/
𝜕𝑥𝜕𝑦 ), cuya igualdad
( ∂ 2 f / ∂ x ∂ y = 𝜕 2 𝑓/𝜕𝑦𝜕𝑥 ), está garantizada por el Teorema de Clairaut-
Schwarz si f es suficientemente suave.
Origen Histórico: El concepto de derivada parcial surgió en el siglo XVIII, impulsado por
problemas en física matemática, como el estudio de fluidos y la transferencia de calor.
Matemáticos como Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange y Alexis Clairaut formalizaron su
uso. Euler, en particular, aplicó derivadas parciales en sus trabajos sobre hidrodinámica,
mientras que Clairaut estableció condiciones para la igualdad de derivadas mixtas. La notación
∂, introducida por Adrien-Marie Legendre y popularizada por Carl Gustav Jacobi, se consolidó
como estándar para evitar ambigüedades en funciones multivariables.
B. La derivación implícita: definición, característica y ejemplos. La derivación implícita es una
técnica poderosa en el cálculo diferencial que permite encontrar la derivada de una función
cuando no está expresada explícitamente en términos de una variable independiente.
A diferencia de las funciones explícitas, donde y se define directamente como
y = f ( x ) , en las
funciones implícitas, y está relacionada con x a través de una ecuación, como
F ( x , y ) = 0. Este
enfoque es esencial en situaciones donde es difícil o imposible despejar y en términos de x,
como en ecuaciones de curvas complejas o en aplicaciones de física y economía. Este ensayo
explora la definición formal de la derivación implícita, sus características distintivas, su
notación, su origen histórico y aplicaciones prácticas, ilustrando su relevancia en la resolución
de problemas matemáticos y científicos. Definición Matemática: Dada una ecuación implícita
de la
forma F ( x , y )= 0 , donde y es una función de
x ( es decir , y = y ( x )) , la derivación implícita
permite encontrar
ⅆy ⅆx sin necesidad de despejar y. El proceso consiste en derivar ambos
lados de la ecuación respecto a
x , aplicando la regla de la cadena cuando sea necesario, y
luego resolver para ⅆy ⅆx.
Características Clave
1. No requiere despejar y : Es útil cuando y no puede expresarse explícitamente en términos
de x.
2. Aplicación de la regla de la cadena : Al derivar términos que involucran y, se multiplica por
3. Versatilidad: Puede aplicarse a ecuaciones con múltiples variables y funciones
trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.
Origen Histórico : La derivación implícita surgió en el siglo XVII como parte del desarrollo del
cálculo por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton la utilizó en sus trabajos sobre
curvas y movimiento, mientras que Leibniz formalizó su uso mediante la notación diferencial.
La técnica se consolidó en el siglo XVIII con los trabajos de matemáticos como Leonhard Euler
y Joseph-Louis Lagrange, quienes la aplicaron en problemas de geometría y física. Hoy en día,
es una herramienta estándar en el cálculo avanzado y sus aplicaciones.
Notaciones y su Uso: La derivación implícita utiliza las mismas notaciones que las derivadas
ordinarias, pero con un enfoque en la relación implícita entre variables. Tabla 1.1.
Aplicaciones Prácticas
1. Geometría: Encontrar pendientes de curvas definidas implícitamente, como elipses,
hipérbolas o curvas algebraicas.
2. Física: Modelar relaciones entre variables en sistemas dinámicos, como en la ley de gases
ideales o en ecuaciones de movimiento.
3. Economía: Analizar funciones de utilidad o producción donde las variables están
relacionadas implícitamente. 4. Ingeniería: Resolver ecuaciones diferenciales en sistemas de
control o dinámica de fluidos.
C. Ecuaciones diferenciales: definiciones y características, ejemplos.
Las ecuaciones diferenciales son una de las herramientas más poderosas en matemáticas y
ciencias aplicadas. Estas ecuaciones relacionan una función con sus derivadas, permitiendo
modelar fenómenos dinámicos en física, biología, economía, ingeniería y muchas otras
disciplinas. Desde el movimiento de los planetas hasta el crecimiento de poblaciones, las
ecuaciones diferenciales proporcionan un marco para entender cómo cambian los sistemas en
el tiempo o en el espacio. Se dice que una ecuación diferencial (ED) es cualquier ecuación que
contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más
variables independientes.
Definición Matemática: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función
desconocida y una o más de sus derivadas. La función desconocida generalmente depende de
una o más variables independientes. Ecuación 1.
Aquí, n es el orden de la ecuación diferencial, que corresponde a la derivada de mayor orden
presente.
D. Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos.
Las ecuaciones diferenciales son una herramienta fundamental para modelar fenómenos
dinámicos en diversas disciplinas, como física, biología, economía, ingeniería y ecología. Estas
ecuaciones permiten describir cómo cambian las variables de un sistema en función del
tiempo, el espacio u otras variables independientes.
Modelo de crecimiento poblacional (Ecuación de Malthus)
El modelo de crecimiento poblacional de Malthus describe cómo una población crece en
condiciones ideales, donde los recursos son ilimitados y no hay restricciones ambientales.
Ecuación diferencial:
donde:
P ( t ) es la población en el tiempo t ,
k es la tasa de crecimiento poblacional (constante).
II. Conclusiones.
El estudio de las derivadas ordinarias, derivadas parciales, derivación implícita y
ecuaciones diferenciales es fundamental en el cálculo diferencial y, por extensión, en
numerosas aplicaciones prácticas dentro de diversas áreas del conocimiento, como la
física, la ingeniería, la economía y la biología. Estos conceptos permiten analizar y
modelar cómo cambian las cantidades en función de otras variables, proporcionando
herramientas matemáticas esenciales para describir el comportamiento de sistemas
dinámicos y resolver problemas complejos del mundo real. Las derivadas ordinarias
constituyen la base del cálculo diferencial al medir la tasa de cambio instantánea de una
función con respecto a una variable independiente. Este concepto se expresa
matemáticamente a través de un límite que describe la pendiente de la recta tangente a
la curva de la función en un punto determinado. Su aplicabilidad es vasta y abarca desde
la descripción del movimiento en la física hasta la optimización de funciones en
economía. Además, la notación de las derivadas ha evolucionado con el tiempo,
proporcionando diferentes formas de representación según el contexto de aplicación: la
notación de Newton, útil en física; la notación de Leibniz, ideal para reglas de cálculo
como la regla de la cadena; y la notación de Lagrange, empleada en contextos teóricos y
educativos. El origen histórico de las derivadas se remonta al siglo XVII con los trabajos de
Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Mientras Newton desarrolló el cálculo como
una herramienta para analizar el movimiento de los cuerpos celestes y terrestres, Leibniz
ideó un sistema de notación que enfatizaba la relación entre diferenciales. Ambos
enfoques dieron lugar a un debate matemático que con el tiempo fue resuelto,
consolidando la notación de Leibniz como la más utilizada en matemáticas puras y
aplicadas. En contraste con las derivadas ordinarias, las derivadas parciales extienden el
concepto de diferenciación a funciones de varias variables. Estas derivadas son
esenciales para estudiar sistemas multivariables donde las variables independientes
influyen en la función en diferentes direcciones. Las derivadas parciales permiten
analizar fenómenos como la transferencia de calor, el flujo de fluidos y el
comportamiento de materiales en la física y la ingeniería. Matemáticos como Leonhard
Euler y Joseph Louis Lagrange jugaron un papel clave en la formalización de este
Algunas instrucciones:
No entregar portada.
III. Bibliografía
ZILL, D. G. (2018). ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES DE MODELADO (11.ª ED.). CENGAGE LEARNING.
DORF, R. C., & BISHOP, R. H. (2021). SISTEMAS DE CONTROL MODERNO (13.ª ED.).
PEARSON. OGATA, K. (2010). INGENIERÍA DE CONTROL MODERNA (5.ª ED.). PEARSON.
