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Tipo: Apuntes
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(^1) Profesor Titular de la Universidad de Antioquia, Magister en
Matem´aticas de la Universidad Nacional. Texto en la p´agina Web: http://matematicas.udea.edu.co/ jescobar/; e-mail: jdejesus.escobar@udea.edu.co
Universidad de Antioquia, Instituto de Matematicas
ii
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viii ´INDICE GENERAL
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Ejemplo 6. d
(^3) y dx^3 +^ x
2 d^2 y dx^2 +^ x^
dy dx = ln^ x, es de orden 3.
Ejemplo 7. xdy − ydx = 0 =⇒ dy dx = y x , la cual es de orden 1.
Definici´on 1.3 (E.D.O. lineal). Una E.D. es lineal si tiene la forma:
an(x) d
ny dxn^ +^ an−^1 (x)^
dn−^1 y dxn−^1 +^...^ +^ a^1 (x)^
dy dx +^ a^0 (x)y^ =^ g(x)
Es decir, la variable dependiente y y todas sus derivadas tienen exponente uno y cada coeficiente a 0 (x), a 1 (x),... , an(x), g(x), depende solo de x. Si no se cumple lo anterior se dice que la E.D. no es lineal.
Ejemplo 8. x^2 d
(^3) y dx^3 + cos^ x^
d^2 y dx^2 + sen^ x^
dy dx +^ x
(^2) y = ex (^) es lineal de orden 3.
Ejemplo 9. sen x d
(^3) y dx^3 +^ xy
(^2) = 0 no es lineal.
Ejemplo 10. y^2 d
(^2) y dx^2 +^ y^
dy dx +^ xy^ =^ x^ no es lineal.
Definici´on 1.4.. Se dice que una funci´on f con dominio en un intervalo I es soluci´on a una E.D. en el intervalo I, si la funci´on satisface la E.D. en el intervalo I.
Ejemplo 11. x = y ln(cy) es soluci´on de y′(x + y) = y
En efecto, derivando impl´ıcitamente: 1 = dy dx ln(cy) + y (^) cy^1 c (^) dxdy
1 = dy dx (ln(cy) + 1), luego dy dx = (^) ln(cy^1 )+
Sustituyendo en la ecuaci´on diferencial:
y ln(cy) + y ln (cy) + 1
y(ln (cy) + 1) ln (cy) + 1
= y,
luego y = y por tanto x = y ln (cy) es soluci´on.
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Definici´on 1.5 (Condici´on inicial). Es una o varias condiciones que se le colocan a una E.D.O. en un punto.
Ejemplo 12. y′′^ + k^2 y = 0, con las condiciones iniciales: y(0) = 1, y′(0) = 1
Una E.D. acompa˜nada de unas condiciones iniciales se le llama un pro- blema de valor inicial (P.V.I.). Con frecuencia es importante saber si un pro- blema de valor inicial tiene soluci´on y tambi´en deseamos saber si esta soluci´on es ´unica, aunque no podamos conseguir expl´ıcitamente la soluci´on. El si- guiente teorema nos responde las inquietudes que acabamos de plantear.Este teorema lo enunciamos y demostramos con m´as profundidad en el Ap´endice al final del texto.
Teorema 1.1. (Picard) Sea R una regi´on rectangular en el plano XY definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contiene al punto (x 0 , y 0 ) en su interior. Si f (x, y) y ∂f ∂y son continuas en R, entonces existe un intervalo I con cen- tro en x 0 y una ´unica funci´on y(x) definida en I que satisface el problema de valor inicial y′^ = f (x, y), y(x 0 ) = y 0.
Ejemplo 13. Para la E.D. y′^ = x^2 + y^2 , se tiene que f (x, y) = x^2 + y^2 y ∂f ∂y = 2y^ son continuas en todo el plano^ XY^ , por lo tanto por cualquier pun- to (x 0 , y 0 ) del plano XY pasa una y solo una soluci´on de la E.D. anterior. Es importante anotar que para esta E.D. es imposible hallar una soluci´on expl´ıcita; s´olo con m´etodos num´ericos se puede hallar la soluci´on. Nota: si todas las soluciones de la E.D. F (x, y, y′,... , y(n)) = 0 en un inter- valo I pueden obtenerse de G(x, y, C 1 ,... , Cn) mediante valores apropiados de los Ci, entonces a G se le llama la soluci´on general; una soluci´on que se obtenga a partir de G, dando valores particulares a los Ci, se le llama una soluci´on particular ; una soluci´on que no pueda obtenerse a partir de la soluci´on general se le llama soluci´on singular. Veremos m´as adelante que la soluci´on general a una E.D. lineal de orden n tiene n par´ametros. En las E.D. no lineales a veces no es posible obtener expl´ıcitamente una soluci´on general.
Ejemplo 14. y = Cx^4 es soluci´on general de xy′^ − 4 y = 0. Con C = 1 entonces la soluci´on particular es y = x^4.
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1.1. CAMPO DE DIRECCIONES
Dada la E.D. y′^ = f (x, y) y sabiendo que la primera derivada representa una direcci´on en el plano XY , podemos por lo tanto asociar a cada punto (x, y) una direcci´on. A este conjunto de direcciones lo llamamos el campo de direcciones o campo pendiente de la E.D. y′^ = f (x, y). Este campo de di- recciones nos permite inferir propiedades cualitativas de las soluciones, como por ejemplo si son asint´oticas a una recta, si son cerradas o abiertas, etc.. Con el paquete Maple haremos un ejemplo. Ejemplo 15. Hallar el campo de direcciones de la E.D. y′^ = − 2 x^2 + y^2 y cuatro curvas soluci´on de la E.D. que pasan por los puntos (0, 2), (0, 0), (0, 1), (0, −1) respectivamente.
with(DEtools): DEplot (diff(y(x),x)=-2*x^2+y(x)^2,y(x),x=-2..2,color=black, {[0,2],[0,0],[0,1],[0,-1]},y=-2..2,linecolor=black);
y(x)
2
1
0
x
-2 -1 0 1 2
Figura 1.
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1.2. ECUACI ´ON DE CONTINUIDAD
Para finalizar este Cap´ıtulo, es importante hacer un corto comentario so- bre la ecuaci´on de continuidad; con ella se construyen modelos de fen´omenos en diferentes ´areas del conocimiento que dependen del tiempo, dando como resultado una o varias Ecuaciones Diferenciales. La ecuaci´on de continuidad nos dice que la tasa de acumulaci´on de una variable x en un recipiente (el cual puede ser un tanque, un ´organo humano, una persona, una ciudad, un banco, una universidad, un sistema ecol´ogico, etc.) es igual a su tasa de en- trada menos su tasa de salida; tanto la tasa de entrada como la tasa de salida pueden ser constantes o variables.
Si la variable es x y la tasa de entrada es E(t) y la tasa de salida es S(t) entonces la tasa de acumulaci´on es
dx dt
= E(t) − S(t).
Ejemplo 16. La concentraci´on de glucosa en la sangre aumenta por ingesta de comidas ricas en azucares, si se suministra glucosa a una raz´on constante R (en mg/minuto). Al mismo tiempo, la glucosa se transforma y se elimina a una tasa proporcional a la concentraci´on presente de glucosa. Si C(t) re- presenta la concentraci´on de glucosa en un instante t, entonces E(t) = R y S(t) = kC(t), entonces por la ecuaci´on de continuidad, la Ecuaci´on Diferen- cial que rige este fen´omeno es
dC(t) dt
= E(t) − S(t) = R − kC(t).
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Ejemplo 1. dy dx = e^3 x+2y Soluci´on:
dy dx
= e^3 x+2y^ = e^3 xe^2 y
separando variables
dy e^2 y^
= e^3 xdx
e integrando
e−^2 y^ + C =
e^3 x 3
la soluci´on general es
e^3 x 3
e−^2 y 2
Ejemplo 2. dy dx = xy^3 (1 + x^2 )−^12 , con y(0) = 1
Soluci´on: separando variables
y−^3 dy =
2 x 2
1 + x^2
dx
d(1 + x^2 ) √ 1 + x^2
haciendo u^ = 1 +^ x
2 du = 2xdx
obtenemos
=
du √ u
e integrando
y−^2 − 2
(1 + x^2 )
(^12) 1 2
soluci´on general
2 y^2
1 + x^2 + C.
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Cuando x = 0, y = 1
luego C = − 23 La soluci´on particular es
− 1 2 y^2
1 + x^2 −
Resolver los siguientes ejercicios por el m´etodo de separaci´on de variables:
(π 2
= e (Rta. ln y = ±(csc x − cot x), con y > 0 y x 6 = nπ, n ∈ ZZZ)
dy dx
xy + 3x − y − 3 xy − 2 x + 4y − 8 (Rta.
∣∣ y+ x+
= |C| ey−x, x 6 = −4, y 6 = 2, −3, y = −3 es soluci´on singular)
y− y 1 ) , con x 6 = 0, y 6 = 0)
, d) (1, −3), e) (0, 5) (Rta. a) y y−+3^3 = −e^6 x, b) y = 3, c) y y−+3^3 = −^12 e−^2 e^6 x, d) y = −3, e) y y−+3^3 = 14 e^6 x)
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son nuevas variables dependientes), puede transformarse en una ecuaci´on en variables separables.
Nota: si la estructura algebraica de N es m´as sencilla que la de M , en- tonces es conveniente usar las sustituci´on y = ux. Si la estructura algebraica de M es m´as sencilla que la de N , es conveniente usar la sustituci´on x = vy.
Ejemplo 4. Resolver por el m´etodo de las homog´eneas, la siguiente E.D.: (x + ye
y x ) dx − xe
y x dy = 0, con y(1) = 0. Soluci´on: (x + ye
y x ) dx − xe
y x dy = 0 donde
homog´enea de grado 1 ︷ ︸︸ ︷ M (x, y) = x + ye
y x y
homog´enea de grado 1 ︷ ︸︸ ︷ N (x, y) = −xe
y x
Como N es m´as sencilla que M , hacemos la sustituci´on: y = ux, por tanto dy = u dx + x du Sustituyendo en la E.D.
(x + uxe
ux x ) dx − xe
ux x (u dx + x du) = x dx − x^2 eu^ du = 0
luego x dx = x^2 eu^ du, separando variables y considerando x 6 = 0, obtenemos,
dx x
= eu^ du ⇒ ln |x| = eu^ + C
Por lo tanto la soluci´on general es
ln |x| = e
y x
ln 1 = e
(^01)
Por lo tanto, ln |x| = e
y x − 1 es la soluci´on particular
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Ejemplo 5. (x^2 y^2 − 1)dy + 2xy^3 dx = 0 (ayuda: hacer y = zα^ y calcular α para convertirla en homog´enea) Soluci´on: No es homog´enea; hagamos y = zα^ y hallemos α de tal manera que la E.D.O. se vuelva homog´enea, tenemos que dy = αzα−^1 dz
(x^2 z^2 α^ − 1)αzα−^1 dz + 2xz^3 αdx = α(x^2 z^3 α−^1 − zα−^1 )dz + 2xz^3 αdx = 0 (2.1)
suma de exponentes en los t´erminos: 2+3α− 1 , α−1 y 1+3α respectivamente.
An´alisis de exponentes para que se cumpla la homogeneidad:
1 + 3α = 2 + 3α − 1 = α − 1, se concluye α = − 1
Sustituyo en la E.D. (2.1): (−1)(x^2 z−^2 − 1)z−^2 dz + 2xz−^3 dx = (−x^2 z−^4 + z−^2 ) dz + 2xz−^3 dx = 0 es homog´enea de orden −2.
La sustituci´on m´as sencilla es x = uz ⇒ dx = u dz + z du.
(−u^2 z^2 z−^4 + z−^2 ) dz + 2uzz−^3 (u dz + z du) = (−u^2 z−^2 + z−^2 + 2u^2 z−^2 ) dz + (2uz−^1 ) du = (u^2 z−^2 + z−^2 ) dz + 2uz−^1 du =
z−^2 (u^2 + 1) dz + 2uz−^1 du =
z−^2 dz z−^1
2 u u^2 + 1
du =
dz z
2 u u^2 + 1
du = 0
e integrando: ln |z| + ln(u^2 + 1) = ln |C|
ln |z(u^2 + 1)| = ln |C| ⇒ |z| (u^2 + 1) = |C| reemplazo u = x z y tenemos, tomando z 6 = 0
|z|
x z
Como y = z−^1 o sea que z = y−^1 , entonces (^) |y^1 |
(xy)^2 + 1
luego, para K > 0
x^2 y^2 + 1 = |Cy| = K |y| =
ky, si y > 0 −ky, si y < 0
es la soluci´on general. Obs´ervese que tambi´en y = 0 es soluci´on y es singular.
