Ecuaciones Diferenciales: Teoría y Aplicaciones, Traducciones de Ecuaciones Diferenciales

¡Descarga Ecuaciones Diferenciales: Teoría y Aplicaciones y más Traducciones en PDF de Ecuaciones Diferenciales solo en Docsity!

Pr´ologo

. ¿Podr´ıa decirme qu´e camino debo tomar? . Eso depende en gran medida de ad´onde quieras llegar.^1

La frase con que el Gato de Cheschire contesta a la pregunta de Ali- cia me parece una de las m´as adecuadas al empezar a escribir cualquier tratado de matem´aticas. Dado que es dif´ıcil escribir sobre ecuaciones diferenciales para un amplio p´ublico, lo primero a tener en cuenta es a qui´en va dirigido lo que se escribe y qu´e se pretende con ello. A la vista de la larga historia de las ecuaciones diferenciales, y de la extensa literatura escrita sobre el tema, lo que se puede aportar de nuevo en un libro de texto de nivel elemental, es la orientaci´on personal del autor sobre la materia. Aunque las palabras son mitad del que las dice y mitad del que las escucha, personalmente me siento obligada a confesar que al escribir este documento estoy pensando, fundamental- mente, en los alumnos de segundo curso de las Escuelas de Ingenier´ıa de Caminos e Industrial de la Universidad de Cantabria, y mi principal pretensi´on es la de facilitarles la tarea en la introducci´on y comprensi´on de dicha materia. Esto no quita que el libro pueda ser ´util para otros alumnos. Pr´acticamente la totalidad del texto tiene su origen en los apuntes dictados a lo largo de uno de los cursos C´alculo III o Ecuacio- nes Diferenciales en dichas Escuelas. Dicho esto, se explica en cierto modo el nivel tan elemental y es- quem´atico con el que se abordan los temas: por un lado, los conoci- mientos previos de matem´aticas con que dichos alumnos llegan a esta

(^1) L. Carrol. Alicia en el pa´ıs de las maravillas.

asignatura se limitan a nociones elementales de C´alculo diferencial e in- tegral en una y varias variables, y de Algebra lineal. As´ı pues, estos son los conocimientos previos que se requieren para introducirse en el estu- dio de las ecuaciones diferenciales abordadas en el texto. Por otro lado, la materia relativa a la asignatura debe impartirse en un cuatrimestre y esto limita considerablemente la extensi´on de cada tema. Desde sus or´ıgenes, las ecuaciones diferenciales, est´an ligadas a pro- blemas de la Ciencia que intentan, de alguna manera, explicar el com- portamiento de la Naturaleza. As´ı, por ejemplo, los problemas de c´alcu- lo de la forma de un cuerpo el´astico que se deforma bajo la acci´on de unas fuerzas (en especial de una viga) fueron tratados emp´ıricamen- te por los constructores de las grandes catedrales medievales. Sin em- bargo, la aproximaci´on matem´atica del problema, es decir, el modelo matem´atico, no se tiene hasta varios siglos despu´es. El concepto de ecua- ci´on diferencial es tan antiguo como el de derivada, y ´este se remonta al siglo XVII; en la ´ultima d´ecada de este siglo se habla ya expl´ıcitamente de ecuaci´on diferencial (cf. Actorum Eruditorum, 1693). Aunque en la historia de las ecuaciones diferenciales, las ecuacio- nes en derivadas parciales han dado lugar al desarrollo de teor´ıas para ecuaciones diferenciales ordinarias, por razones obvias de simplicidad la exposici´on que se hace aqu´ı toma un sentido contrario. Este proce- so de paso de lo m´as sencillo a lo m´as complicado pretende ser t´onica general en la exposici´on de cada tema. Adem´as, se intenta dar una am- plia variedad de m´etodos matem´aticos y referencias, considerando la importancia de las Ecuaciones Diferenciales (y de las Matem´aticas en general) en una carrera de Ingenier´ıa, no s´olo desde un punto de vista formativo sino tambi´en informativo. Por otro lado, es en esta rama de la Ciencia, la Ingenier´ıa, en la que quiz´as m´as se trabaja con aproximaciones, y los datos de los mo- delos matem´aticos planteados suelen obtenerse haciendo medidas, lo cual ya involucra un error; es importante saber, en todo momento, en qu´e medida lo que se resuelve se aproxima a lo que realmente hab´ıa que resolver. De aqu´ı la importancia en Ingenier´ıa del concepto de pro- blemas de ecuaciones diferenciales bien propuestos y de los m´etodos de aproximaci´on de soluciones. Teniendo en cuenta todas estas obser- vaciones, a continuaci´on se explica brevemente lo que se hace en este libro.

Queda por expresar mi agradecimiento a quienes de alguna manera han hecho sugerencias sobre la materia, en especial, a Miguel Lobo; y a Luis Alberto Fern´andez, Benita P´erez y Jes´us Prieto por la lectura y comentarios sobre determinadas partes y diferentes aspectos del texto. Finalmente, dedico esta publicaci´on docente a mi madre por su ayuda incondicional desde siempre.

Ma^ Eugenia P´erez Mart´ınez Santander, Octubre de 1999.

´Indice general

´Indice general 7

7.4. Sobre el cap´ıtulo 5...................... 235 7.5. Sobre el cap´ıtulo 6...................... 240

Bibliograf´ıa

10 Cap´ıtulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

1.2. Primeras definiciones y ejemplos.

Una ecuaci´on diferencial de primer orden es una expresi´on ma- tem´atica en la que se relaciona una funci´on con su derivada. Es decir una expresi´on del tipo: F (x, y, y′) = 0 (1.1)

donde F es una funci´on dependiente de tres variables definida en un dominio D ⊂ R^3 , y = y(x) es la funci´on inc´ognita, y′(x) su derivada y x es la variable independiente. Una funci´on y = ϕ(x) se dice que es una soluci´on de la ecuaci´on (1.1) en un intervalo (α, β) cuando ϕ es continua y derivable en (α, β), y (x, ϕ(x), ϕ′(x)) ∈ D y F (x, ϕ(x), ϕ′(x)) = 0 ∀x ∈ (α, β).

Ejemplo 1 La ecuaci´on y′^ = y^2 tiene una soluci´on y(x) = (^3) −^1 x en (−∞, 3) ∪ (3, +∞) (ver figura 1). Otra soluci´on es y = 0 definida en (−∞, +∞). Evidentemente, ´estas dos no son todas las soluciones de la ecuaci´on diferencial. Dividiendo la ecuaci´on por y^2 e integrando ob- tenemos una familia de soluciones de la ecuaci´on dependientes de un par´ametro:

∫ (^) y′(x)

y(x)^2

dx =

∫ 1 dx ⇒

y^2

dy =

∫ 1 dx + c.

Por tanto, y(x) = (^) c−^1 x es la familia uniparam´etrica de soluciones: para cada valor de la constante c una soluci´on. Observamos que la soluci´on y = 0 no aparece en esta familia, esto es debido a que al dividir por y^2 en la ecuaci´on estamos eliminando la posibilidad de que y = 0 sea soluci´on. Tambi´en observamos que, aunque la ecuaci´on diferencial est´e definida en todo R^3 , la soluci´on no tiene porque estar definida en todo R. 2

Ejemplo 2 La funci´on ϕ(x) = x 2 4 es continua y derivable en (−∞,^ ∞) y satisface ϕ′(x) =

√ ϕ(x) para x ∈ (0, ∞). Es decir, es una soluci´on

de la ecuaci´on y′^ =

y en (0, ∞). Es f´acil demostrar que la funci´on

y(x) = 0 cuando x ≤ 0, y(x) = x

2 4 cuando^ x^ ≥^ 0 y la funci´on^ y(x)^ ≡^0 son soluciones de la ecuaci´on en (−∞, ∞) (ver figura 2). Por otro lado,

1.2. Primeras definiciones y ejemplos. 11

Figura 1 Curvas integrales de la ecuaci´on y′^ = y^2

la ecuaci´on diferencial dada est´a definida en {(x, y, y′), y ≥ 0 }, mientras

que y′^ =

√ |y| est´a definida en R^3. La familia de curvas soluci´on de

´esta ´ultima ecuaci´on est´a dada por

y = x+ 2 c para x ≥ −c y por √ −y = −x+ 2 cpara x ≤ −c (ver figura 2). 2

Figura 2 Curvas integrales de la ecuaci´on y′^ =

√ |y|.

Los ejemplos 1 y 2 son ejemplos de ecuaciones diferenciales escritas en forma normal es decir de la forma y′^ = f (x, y). No todas las ecua- ciones se saben escribir de esta forma, como por ejemplo, la ecuaci´on

1.2. Primeras definiciones y ejemplos. 13

Figura 3 Curvas integrales de la ecuaci´on y′^ = −x/y.

ecuaciones se obtiene inmediatamente dydx = −xy y dxdy = − yx respecti- vamente. As´ı pues el problema de obtener las curvas integrales de la ecuaci´on y′^ = −x/y es el mismo que el de obtener las curvas integrales de x′^ = −y/x. 2

El ejemplo 3 nos da idea de c´omo obtener una ecuaci´on diferencial de la que es soluci´on general la familia de curvas φ(x, y, c) = 0: Desde un punto de vista pr´actico, se deriva impl´ıcitamente con respecto a x y se elimina c si se puede entre las ecuaciones φ(x, y, c) = 0 y φx(x, y, c) + φy(x, y, c)y′^ = 0 para obtener la ecuaci´on diferencial. φx, φy indican las derivadas parciales de φ con respecto a x e y. As´ı la ecuaci´on diferencial verificada por la familia y = exp(cx) est´a dada por y′^ = y^ logx y, y la ecuaci´on diferencial de las circunferencias de radio 1 y centro en la recta y = 0 es y^2 (y′^2 + 1) = 1.

De ahora en adelante φx indicar´a la derivada parcial de la funci´on φ con respecto a la variable x, ∂φ∂x , y cuando escribamos

∫ f (x) dx haremos referencia a una primitiva cualquiera de la funci´on f (x).

El ejemplo 3, tambi´en, nos da idea de que resolver la ecuaci´on dife- rencial dy dx

= f (x, y) (1.2)

14 Cap´ıtulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

es equivalente a resolver

dx dy

f (x, y)

Ambas ecuaciones son la misma si f (x, y) 6 = 0 y (^) f (x,y^1 ) 6 = 0 La ecuaciones que hemos integrado hasta ahora son ejemplos de ecuaciones de variables separadas, esto es se pueden escribir en la forma

f (y)y′^ = g(x). (1.4)

y su soluci´on est´a dada por ∫ f (y)dy =

∫ g(x)dx + c ∀c constante. (1.5)

Otras ecuaciones que se reducen a una de este tipo son las ecuaciones homog´eneas. Son de la forma:

y′^ = g(

y x

Sin m´as que hacer el cambio u = y/x (i.e. u(x) = y( xx )) y substituir en la ecuaci´on (1.6), teniendo en cuenta que y′^ = xu′^ + u, se tiene una ecuaci´on de la forma (1.4). Ecuaciones que se reducen f´acilmente a homog´eneas son las de la forma y′^ = h( (^) αxax++βyby++cγ ) (h´agase un cambio de variable z = ax + by ´o (X = x − x 0 , Y = y − y 0 ) seg´un que las rectas ax + by + c = 0 y αx + βy + γ = 0 sean paralelas o se corten en un punto (x 0 , y 0 )). Nosotros consideraremos que conocemos la soluci´on de una ecua- ci´on de variables separadas, ´esta est´a dada mediante la f´ormula (1.5), pero como ya se dijo en la introducci´on no siempre se conoce la primi- tiva de f y g, y por tanto, la soluci´on escrita de esta forma puede no darnos mucha idea de c´omo se comportan las soluciones de la ecuaci´on diferencial. Damos, en la secci´on 1.3, un m´etodo que en ocasiones nos permite obtener una idea cualitativa sobre el comportamiento de las soluciones de una ecuaci´on diferencial escrita en forma normal (1.2) o (1.3). Observemos antes que la f´ormula (1.5) puede tambi´en expresarse de la forma: ∫ (^) y

y 0

f (y)dy =

∫ (^) x

x 0

g(s)ds

16 Cap´ıtulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Figura 4 Campo de direcciones asociado a y′^ = x.

Evidentemente, el proceso es interesante para ecuaciones diferencia- les de las que no se conoce la soluci´on, con la complicaci´on l´ogica de dibujar el campo de direcciones asociado a la ecuaci´on. El m´etodo de las isoclinas nos puede ayudar en este caso. Dicho m´etodo consiste en dibujar en el plano xy las llamadas curvas isoclinas donde la pendiente de las soluciones de la ecuaci´on diferencial es constante y, por tanto, lo es la direcci´on del campo en los puntos de dichas isoclinas. As´ı

{(x, y)/f (x, y) = k}

es la isoclina para la pendiente k, y la direcci´on del campo a lo largo de dicha curva es la del vector (1, k).

Ejemplo 4 La ecuaci´on diferencial y′^ = x^2 + y^2 tiene por isoclinas las circunferencias x^2 +y^2 = k. En cada circunferencia la direcci´on del cam- po est´a dada por la del vector (1, k). Las curvas integrales son tangentes a las rectas que definen la direcci´on del campo (ver figura 5). As´ı, da- do que no sabemos resolver la ecuaci´on diferencial, podemos tener una idea del comportamiento de las curvas soluci´on: las curvas soluci´on son crecientes y su pendiente es m´as suave cuando estan cerca del punto (0, 0). M´as adelante se comprobar´a num´ericamente que esta gr´afica nos da una idea aproximada del comportamiento de las soluciones. 2

1.3. Significado geom´etrico de y′^ = f (x, y). 17

Figura 5 Campo de direcciones asociado a y′^ = x^2 + y^2.

Ejemplo 5 La ecuaci´on y′^ = (^) xy 2 tiene por isoclinas las par´abolas con v´ertice en el origen y = kx^2. En cada par´abola la direcci´on del campo est´a dada por la del vector (1, k). En los puntos de la recta x = 0 la direcci´on del campo est´a dada por el vector (0, 1), como consecuencia de considerar la ecuaci´on diferencial x′^ = x

2 y. El ´unico punto donde no est´a definido el campo de direcciones es el punto (0, 0). As´ı, el dibujo de la figura 6 nos da una idea aproximada de las curvas integrales de la ecuaci´on que coincide con la obtenida al representar las soluciones obtenidas por integraci´on: y = c exp(− (^1) x ), y = 0, x = 0. 2

Figura 6 Campo de direcciones asociado a y′^ = y/x^2.