Resolución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, Ejercicios de Cálculo

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Ecuaciones

diferenciales

lineales de primer

orden

CAPÍTULO 3

DEFINICIÓN

Son ecuaciones de la forma: (1) donde P(x) y Q(x) son funciones dependientes de x o constantes. MÉTODO DE RESOLUCIÓN: Se trata de buscar una solución, y(x) , como producto de dos funciones de x : y(x) = u(x). v(x) cuya derivada es: que sustituyendo en {1} nos conduce a: {16}

O si despejamos v tenemos: (2) Con una v(x) obtenida según la expresión {2} , ahora sólo queda conocer u(x) , y según {1} tenemos: la cual es una ecuación de variables separadas: que integrando nos da directamente u(x). En definitiva, la solución de una ecuación diferencial lineal viene dada por: (3)

EJEMPLO: Resolver la ecuación: SOLUCIÓN Como puede apreciarse se trata de una ecuación lineal de la forma: y’ + P(x) y = Q(x) , en la que P(x) = -2/(x+1) , Q(x) = (x+1)^3. La solución tendrá la forma y = u(x).v(x) que viene expresada en (2), es decir: Primeramente: C=

Resuelva la siguiente ecuación:

ED Lineales de 1 er orden Ejemplo : La ecuación del circuito RC serie Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su solución es Donde Si Vs(t)=1 , se obtiene: Por lo tanto ( ) 1 ( ) ( ) 1 V t RC v t dt RC dv t s   RC t dt v( t ) c(t )e c(t ) e RC 1      1 RC t RC s 1 c( t )  V (t )e dt  c  1 RC t c( t )  e  c RC t 1 v( t ) 1 c e   

Ej.- Resolver la EDL SOLUCIÓN •

Ejemplo.- Resolver la EDL SOLUCIÓN•

Ejemplo.- Resolver la EDL SOLUCIÓN•

Gráfica de la solución

Ej.- Resolver SOLUCIÓN Determinar el valor de C con la condición == > == > )/x

Gráfica de la solución