Ecuacion Diferencial de Circuito Equivalente del Supercapacitor
Para poder modelar el circuito equivalente del SC fue necesario obtener primero la ecuacion
diferencial que lo describe. En este caso se obtuvo la ecuacion del voltaje en funcion del voltaje del
segundo capacitor. Como se muestra en la Figura 1, se obtuvo la resistencia equivalente de Rc y R1 y
se renombro como R1 para simplificar el proceso y trabajar unicamente con dos resistencias y dos
capacitores.
Figura 1
Utilizando las ley de tensiones de Kirchhoff obtenemos la ecuacion del voltaje del sistema (V)
𝑉=𝑉𝑅1 + 𝑉𝐶1
A su vez, el voltaje en el primer capacitor viene dado por 𝑉𝐶1 =𝑉𝑅2 + 𝑉𝐶2. Sustituyendo VC1 en la
primera ecuacion, se obtiene: 𝑉=𝑉𝑅1 + 𝑉𝑅2 + 𝑉𝐶2
Para obtener la ecuacion en funcion de VC2, se sustituyen los valores de 𝑉𝑅1 y 𝑉𝑅2 con la ley de
Ohm, quedando como 𝑉𝑅1 =𝑅1𝐼1 y 𝑉𝑅2 =𝑅2𝐼2. Viendo el diagrama se puede ver que I2 viene
siendo la corriente que fluye por C2 por lo que se puede remplazar con la expresion 𝐼2=𝐶2𝑑𝑉𝐶2
𝑑𝑡 .
En cambio, la corriente que fluye por el capacitor 1, al estar entre las dos mallas, es la resta entre I1
y I2.
𝐼1−𝐼2=𝐶1𝑑𝑉𝐶1
𝑑𝑡
Despejando I1 y sustituyendo I2, se obtiene:
𝐼1=𝐶2𝑑𝑉𝐶2
𝑑𝑡 +𝐶1𝑑𝑉𝐶1
𝑑𝑡
Solamente falta poner el ultimo termino en funcion de VC2. Recordando que 𝑉𝐶1 =𝑉𝑅2 + 𝑉𝐶2, se
puede derivar 𝑉𝑅2 y 𝑉𝐶2 para obtener la derivada de 𝑉𝐶1. Ya que 𝑉𝑅2 = 𝑅2𝐼2, se puede sustituir 𝐼2,
quedando como 𝑉𝑅2 =𝑅2𝐶2𝑑𝑉𝐶2
𝑑𝑡 . Por lo tanto, al derivar 𝑉𝑅2 se obtiene una segunda derivada,
quedandose los otros dos terminos como constantes. Al sustituir esto en la ecuacion de I1, se
obtiene: 𝐼1=𝐶2𝑑𝑉𝐶2
𝑑𝑡 +𝐶1(𝑅2𝐶2𝑑2𝑉𝐶2
𝑑𝑡2+𝑑𝑉𝐶2
𝑑𝑡 )
Esta ecuacion se puede usar para sustituir I1 en 𝑉𝑅1 =𝑅1𝐼1, obteniendo:
𝑉𝑅1 = 𝑅1( 𝐶2𝑑𝑉𝐶2
𝑑𝑡 +𝐶1 (𝑅2𝐶2𝑑2𝑉𝐶2
𝑑𝑡2+𝑑𝑉𝐶2
𝑑𝑡 ) )
I1
