INTEGRANTES:
•
LOPEZ OCAMPO VANESSA ISABEL
•
SAUCEDA ZAPATA DAYANA ITZEL
TRABAJO:
ACTIVIDAD 7. PROYECTO INTEGRADOR, ETAPA 1, 2 y 3
CAMPUS:
ROMA
MATERIA:
CÁLCULO VECTORIAL
PROFESOR:
IVAN TOLEDO MANUEL
FECHA DE ENTREGA:
26/ABRIL/2023
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E17_U3_A7_PROYECTO INTEGRADOR I-II-III, Ejercicios de Cálculo
Descripción y gráficas de los cuerpos en 3D. 1.1 Cuerpos geométricos sólido
Tipo: Ejercicios
2022/2023
1 / 39
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INTEGRANTES:
• LOPEZ OCAMPO VANESSA ISABEL
• SAUCEDA ZAPATA DAYANA ITZEL
TRABAJO:
ACTIVIDAD 7. PROYECTO INTEGRADOR, ETAPA 1, 2 y 3
CAMPUS:
ROMA
MATERIA:
CÁLCULO VECTORIAL
PROFESOR:
IVAN TOLEDO MANUEL
FECHA DE ENTREGA:
2 6/ABRIL/
Contenido
- Introducción:
- Objetivo:
- ETAPA I: DESCRIPCIÓN Y GRÁFICAS DE LOS CUERPOS EN 3D
- I. Descripción y gráficas de los cuerpos en 3D.
- 1.1 Cuerpos geométricos sólidos
- 1.2 Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
- 1.3 Discusión
- I. Descripción y gráficas de los cuerpos en 3D.
- Bibliografía
- LOS CUERPOS EN 3D ETAPA II: DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LOS FENÓMENOS FÍSICOS QUE AFECTAN A
- II. Describe matemáticas de los fenómenos físicos que afectan a los cuerpos en 3D
- 2.1 Aplicación de fuerzas sobre cuerpos geométricos solidos............................................
- 2.2 Método de multiplicadores de Lagrange.......................................................................
- 2.3 Proyección y graficación de ecuaciones con aplicación de fuerzas
- 2.4 Discusión
- Bibliografía
- II. Describe matemáticas de los fenómenos físicos que afectan a los cuerpos en 3D
- O MOVIMIENTOS DE MANERA AISLADA ETAPA 3. VOLUMEN Y MEDIDAS DE VOLUMEN EN LA INTERACCIÓN ENTRE CUERPOS
- manera aislada III. Volumen y medidas de volumen en la interacción entre cuerpos o movimientos de
- 3.1 Integración de superficies
- 3.2 Formulaciones (integración) de volúmenes de los cuerpos sólidos geométricos
- 3.3. Graficación de funciones
- 3.4 Discusión
- manera aislada III. Volumen y medidas de volumen en la interacción entre cuerpos o movimientos de
- Conclusión
- Bibliografía
ETAPA I: DESCRIPCIÓN Y GRÁFICAS DE LOS CUERPOS EN 3D
I. Descripción y gráficas de los cuerpos en 3D.
1.1 Cuerpos geométricos sólidos
a) Elige tres cuerpos geométricos sólidos que se reconozcan en vida diaria.
o Esfera (esfera de navidad)
o Cilindro (Bote de Basura)
o Cono (Cono de Helado)
b) Investiga cuáles son las posibles ecuaciones que los describen, considerando
que el cuerpo en primera instancia es un cuerpo sin masa
c)Utiliza el programa Octave y realiza lo siguiente:
- Utiliza un arreglo de puntos [x,y] conveniente, se sugiere de 300 puntos o más.
- Posteriormente al arreglo declara la función que se ha considerado.
- Grafica en 3D y se realizan además las curvas de nivel de la misma figura.
Importante: Generalmente este ejercicio considera a la esfera por defecto, por lo tanto,
se pide que además de la esfera se hagan otros cuerpos sólidos.
Objeto
(Esfera de Navidad)
Ecuación de una esfera
La ecuación de la esfera en el
centro en origen se debe
satisfacer en los puntos X(x, y, z) :
2
2
2
2
La ecuación de una esfera con
centro (h,k,l) y radio r es:
2
2
2
2
Gráfica
(Arreglo de 300 puntos)
Ecuación desde el origen:
[x,y]=meshgrid(0:0.1:2pi,-pi/2:0.1:pi/2););*
mesh(2cos(x).cos(y),2sin(x).cos(y),2sin(y));*
Curva de nivel de la esfera
[x,y]=meshgrid(0:0.1:2pi,-pi/2:0.1:pi/2););*
contour(2cos(x).cos(y),2sin(x).cos(y),2sin(y));*
r=1*ones(300,1);
phi=linspace(0,2*pi,300);
[r,phi]=meshgrid(r,phi);
x=r.*cos(phi);
y=r.*sin(phi);
z=repmat(linspace(0,2,300),300,1);
contour(x,y,z);
shading interp
colormap(summer);
axis equal
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
Objeto
(Cono de helado/Cono)
Ecuación de una esfera
La ecuación implícita del cono de
vértice (0,0,0) a lo largo del eje z es:
2
2
2
Cono elíptico
2
2
2
2
2
2
Gráfica
(Arreglo de 300 puntos)
pts=300; sgm=0.7; lim=1.5;
x=linspace(-lim,lim,pts); y=x;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=exp((-X.^2-Y.^2)./sgm.^2);
figure
surf(X,Y,(Z))
xlim([-lim lim]),ylim([-lim lim])
colormap(autumn)
R=300;
phi=linspace(0,pi,300);
theta=linspace(0,2*pi,300);
[phill,thetall]=meshgrid(phi,theta);
x=R.sin(phill).cos(thetall);
y=R.sin(phill).sin(thetall);
z=R.*sin(phill);
figure 1
surf(x,y,z);
figure 2
mesh(x,y,z)
Curva de nivel de la esfera
pts=300; sgm=0.7; lim=1.5;
x=linspace(-lim,lim,pts); y=x;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=exp((-X.^2-Y.^2)./sgm.^2);
figure
contour(X,Y,(Z))
xlim([-lim lim]),ylim([-lim lim])
colormap(autumn)
1.2 Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
a) Retoma los tres cuerpos geométricos sólidos que seleccionaste y utiliza ahora
coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.
b) Traslada los puntos fijados a cada tipo de coordenada, así como sus equivalencias
que surgen con las funciones en 3D, posteriormente grafícalas en Octave y obtén
sus curvas de nivel.
Importante: Considera que el cambio de coordenadas puede o no afectar de manera
substancial la forma como se realicen las gráficas.
Esfera
Coordenada esférica:
cos
[
1
2
]
[
1
2
]
2
2
2
2
de radio r=
𝑥 = 6 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑣) cos(𝑢) ;
𝑦 = 6 𝑠𝑒𝑛(𝑣)𝑠𝑒𝑛(𝑢); 𝑢𝜖[𝛼
1
, 2 𝜋], 𝑣 𝜖 [𝜃
1
, 𝜋]
Cilindro:
Coordenadas Polares:
2
2
2
𝜃 = arctan (
En el caso del eje Z que corresponde a
la altura h no tiene transformación en
coordenadas polares.
Curva de nivel sin tapa/con tapa:
Coordenada esférica sin tapa/Con tapa:
Cono
Coordenada Polar:
x = r ·cos φ ·sin θ
y = r ·sin φ ·sin θ
z=r ·cos θ
donde 0≤ r ≤1, 0≤ φ≤ 2π, 0≤ θ≤ π/
La superficie cónica se define para un valor θ fijo
Coordenada cilíndrica
2
2
2
1. 3 Discusión
a) En equipo discutan y desarrollen las siguientes preguntas:
- ¿Existen diferencias significativas u observables en el dominio y en el contra
dominio de una función? Si es así, explica brevemente.
Sin duda alguna, ya que son diferentes tipos de sistema de coordenadas en el
espacio, las variables van a cambiar, por lo que el contra dominio y condominio si
tienen una diferencia notoria, en el espacio un punto se representa de una ordenada
(r,ϕ,z) y en el caso contrario se representa por literales (x,y,z)
- ¿Es posible observar diferencias en las gráficas o en las superficies de nivel?
Podemos decir que al estar dentro de los mismos parámetros se nota la diferencia
mínima y esto dependerá del tipo de coordinada con la que estemos trabajando: polares,
cilíndricas o esféricas, consideremos el punto de utilizar las herramientas tecnológicas,
en este caso Octave nos ayuda a ver esas variaciones mínimas entre graficas.
- Complica o facilita el uso de los distintos sistemas coordenados en la graficación y
la descripción de los cuerpos en 3D.
Consideramos que esto puede variar depende la superficie, espacio y el objeto con el
que estemos trabajando, en todo caso si se dominan las indicaciones o el procedimiento
de cada uno de los sistemas de coordenadas se vuelven más fácil de identificarlos y
graficarlos, también saber cuál será más tedioso por su cálculo. Todo es cuestión de
practica y compresión de nuestras herramientas.
Bibliografía
5 COORDENADAS CILÍNDRICAS, E. Y. (06 de Julio de 2022). Chichofaim.
Recuperado el 31 de Marzo de 2023, de
https://www.youtube.com/watch?v=5fW1y_9Iico
Anónimo. (2023). Calculo Vectorial. Recuperado el 29 de Marzo de 2023, de
https://ivanacal.files.wordpress.com/2014/08/teoria-coordenadas-cilindricas-y-
polares-calculo-vectorial.pdf
Colley, S. J. (2012). Calculo Vectorial. Recuperado el 29 de Marzo de 2023, de
https://learn-us-east- 1 - prod-fleet02-
xythos.content.blackboardcdn.com/5fdc0d8108394/29116435?X-Blackboard-S3-
Bucket=learn-us-east- 1 - prod-fleet01-xythos&X-Blackboard-
Expiration=1680436800000&X-Blackboard-
Signature=3VMNLnG%2BHXtGl0tCn2Au%2BN8jYKQGFRZ4bIiiCz
Descartes 3D. (s.f.). La Esfera. Recuperado el 29 de Marzo de 2023, de
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Curvas_Sup
erficies_d3/esferayeva.htm#:~:text=La%20esfera%20puede%20definirse%20co
mo,denominamos%20centro%20de%20la%20esfera).&text=Cuando%20el%20c
entro%20es%20el,%2B%20z2%20%3D%20r2%
Gonzalez, P. (19 de Septiembre de 2022). presentacion curvas de nivel.ppt.
Recuperado el 29 de Marzo de 2023, de
https://es.slideshare.net/paolagonzalez686271/presentacion-curvas-de-nivelppt
Matemáticas y Geogebra. (02 de Marzo de 2022). Curvas de nivel en Geogebra
(Tutorial). Recuperado el 29 de Marzo de 2023, de
https://www.youtube.com/watch?v=eFga0nBzq-o
MATHei. (11 de Mayo de 2020). Funciones de varias variables 07 Curvas de nivel en
Geogebra. Recuperado el 28 de Marzo de 2023, de
https://www.youtube.com/watch?v=SNSUjbV5-1Q
Openstax. (2023). 2.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas. Recuperado el 29 de Marzo
de 2023, de https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/2- 7 -
coordenadas-cilindricas-y-esfericas
c) Para cada cuerpo geométrico sólido identifica planos tangentes y describe de
manera más detallada el comportamiento de los campos sobre cada tipo de
cuerpo elegido.
ESFERA:
El plano tangente es perpendicular al radio de la esfera en el punto de tangencia,
debemos considerar el radio que une el centro con el punto de tangencia dado. Para
encontrar el plano tangente a una esfera en un punto dado, se pueden seguir los
siguientes pasos:
- Dibuje un radio desde el centro de la esfera hasta el punto de tangencia. Este
radio será perpendicular al plano tangente en ese punto.
- Dibuje una línea horizontal que pase por el punto de tangencia, de manera que su
proyección horizontal sea perpendicular a la proyección horizontal del radio.
- La traza vertical de esta línea horizontal nos determina la traza vertical del plano
buscado, que debe ser perpendicular a la prolongación de la proyección vertical
del radio que va al punto de tangencia.
- La traza horizontal del plano se obtiene, a partir del vértice en la LT, paralela a la
proyección horizontal de la línea.
2
2
2
2
Se obtiene la ecuación del plano tangente al cilindro:
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
La ecuación del plano tangente
es:
0
0
0
0
0
0
Cilindro:
El plano tangente a un cilindro en un punto
P de su superficie queda definido por la
recta tangente a la curva generatriz en
dicho punto P y por la recta perpendicular
al eje del cilindro que pasa por dicho punto
Si dibujamos una recta que pase por el
punto de contacto entre el plano y el
cilindro y que sea perpendicular al eje del
cilindro, esa recta será una de las
normales al plano. La otra normal es la
recta que es tangente a la curva generatriz
del cilindro en el punto de contacto.
Su plano es definido por la generatriz de contacto con cilindro y recta Con base superior
de la generatriz.
2
2
2
0
0
0
2
2
2
2
2
2
0
0
0
La ecuación del plano tangente es:
0
0
0
0
Cono: El plano tangente es a lo largo de
la generatriz de manera oblicua a la base
del cono.
Debe ser a lo largo de una generatriz P y
queda definido por dos rectas.
- La generatriz de contacto.
- La traza horizontal del plano, tangente a
la base del cono.
2
2
2
Se obtiene la ecuación del plano
tangente al cono en:
0
0
0
0
Y considerando: 𝐹 = 𝑒
𝑥
2
+𝑦
2
𝜎
2
2
2
2
0
0
0
0
0
Reemplazar en 1)
2
2
2
Puntos:
Punto máximos y mínimos
) → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀á𝑥
Cilindro:
Para un cilindro consideramos la función 𝑓
2
2
2
Calculando 𝑓
Tenemos que:
𝑥
2
2
2
𝑦
2
2
2
Por lo tanto, la ecuación de Lagrange con una restricción indicada como
𝑥
𝑦
Cono:
Los puntos de la esfera son 𝑧
2
2
2
Max/Min =𝑓
2
2
2