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Una introducción a las distribuciones de probabilidad discretas, incluyendo la binomial, hipergeométrica y poisson. Se explica el concepto de variable aleatoria discreta y se detallan las características, fórmulas y ejemplos de cada distribución. Útil para estudiantes de estadística que buscan comprender los conceptos básicos de las distribuciones de probabilidad discretas.
Tipo: Resúmenes
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CONCEPTOS DISTRIBUCIONES DISCRETAS ANDREA DEL ROCIO AREVALO VARGAS - ID: 910481 KELLY TATIANA BONILLA LOPEZ– ID: 882988 FABIAN ALFONSO QUIROGA COLORADO – ID: 796957 NRC 65- Docente: Jorge Luis Bustos Galindo Corporación Universitaria Minuto de Dios - UNIMINUTO Contaduría Pública Estadística Inferencial
Una distribución de probabilidad discreta es aquella distribución que define las probabilidades de una variable aleatoria discreta. Por lo tanto, una distribución de probabilidad discreta solo puede tomar un número finito de valores (generalmente enteros). Imagina que lanzas un dado. Los posibles resultados son números enteros del 1 al 6, ¿cierto? No hay resultados intermedios como 1.5 o 2.7. Este tipo de variable, que solo puede tomar valores enteros y contables, se llama variable aleatoria discreta. Por ejemplo, la distribución binomial, la distribución de Poisson y la distribución hipergeométrica son distribuciones de probabilidad discretas. En una distribución de probabilidad discreta se asocia cada valor de la variable discreta que representa (xi) a un valor de probabilidad (pi) que va desde 0 hasta 1. De manera que la suma de todas las probabilidades de una distribución discreta da como resultado uno. Ejemplos de distribuciones de probabilidad discretas:
Probabilidad constante de éxito: La probabilidad de éxito (p) es la misma en cada ensayo. Independencia: Los resultados de cada ensayo son independientes entre sí, es decir, el resultado de un ensayo no afecta al resultado de los siguientes. Ejemplo:
Por otro lado, la probabilidad acumulada de la distribución binomial se calcula sumando las probabilidades del número de casos de éxito en cuestión y todas las probabilidades anteriores. De modo que la fórmula para calcular una probabilidad acumulada de una distribución binomial es la siguiente: Ejercicio resuelto: Lanzamos un total de 10 veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener 6 veces cara? La variable de este problema sigue una distribución binomial porque todos los lanzamientos son independientes entre sí y, además, tienen la misma probabilidad de éxito. En concreto, la probabilidad de éxito es del 50%, ya que solo uno de los dos posibles resultados se considera como éxito. Por lo tanto, la distribución de este ejercicio es una binomial con un total de 10 experimentos y una probabilidad de 0,5. Entonces, para determinar la probabilidad de obtener seis veces cara, debemos aplicar la fórmula de la distribución binomial.
Formula: La fórmula de la distribución hipergeométrica es el producto del número combinatorio de K sobre x por el número combinatorio de N-K sobre n-x dividido por el número combinatorio de N sobre n. Donde: C(a, b): Combinación de a elementos tomados de b en b. N: Tamaño de la población. K: Número de éxitos en la población. n: Tamaño de la muestra. k: Número de éxitos en la muestra. Características de un experimento hipergeométrico: Población finita: Se tiene un conjunto finito de elementos (N). Dos categorías: Los elementos se pueden clasificar en dos categorías: éxitos y fracasos. Muestra sin reemplazo: Se extrae una muestra de tamaño n sin devolver los elementos a la población. Orden no importa: El orden en que se extraen los elementos no es relevante.
¿Cuándo se utiliza? La distribución hipergeométrica es especialmente útil en situaciones como: Control de calidad: Al seleccionar una muestra de productos de un lote para verificar si hay defectos. Juegos de azar: Al extraer bolas de colores de una urna sin reposición. Estudios de opinión: Al realizar encuestas a una muestra de una población pequeña. Ejemplo: En una bolsa metemos 20 bolas de color azul y 30 bolas de color rojo, es decir, en total hay 50 bolas dentro de la bolsa. Si extraemos 12 bolas sin reponer ninguna, calcula cuál es la probabilidad de sacar 4 bolas de color azul.
La distribución de Poisson tiene un parámetro característico, que se representa con la letra griega λ e indica el número de veces que se espera que ocurra el evento estudiado durante un intervalo dado. En general, la distribución de Poisson se usa para modelizar estadísticamente sucesos cuya probabilidad de ocurrencia es muy baja. Más abajo puedes ver varios ejemplos de este tipo de distribución de probabilidad. Ejemplos:
Donde: e: La constante de Euler (aproximadamente 2.71828). λ: La tasa promedio de ocurrencia. k: El número de eventos. k!: El factorial de k. Como la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta, para determinar una probabilidad acumulada se deben hallar las probabilidades de todos los valores hasta el valor en cuestión y luego sumar todas las probabilidades calculadas. Ejercicio Resuelto: El número de productos vendidos por una marca sigue una distribución de Poisson de λ=5 unidades/día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día haya vendido justo 7 unidades? ¿Y la probabilidad de que en un día haya vendido 3 unidades o menos? Para sacar las diferentes probabilidades que nos pide el problema tenemos que aplicar la fórmula de la distribución de Poisson (vista más arriba). Así pues, utilizando dicha fórmula calculamos la probabilidad de vender 7 unidades en un día: En segundo lugar, nos piden determinar la probabilidad acumulada de vender 3 unidades o menos. Por lo tanto, para encontrar esta probabilidad tenemos que calcular la probabilidad de vender 1 unidad, 2 unidades y 3 unidades por separado y, posteriormente, sumarlas. Por lo tanto, primero calculamos cada probabilidad por separado:
