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Distribución de Probabilidad Normal
Es una de las principales distribuciones de variable CONTINUA^1.
Si consideramos una variable continua tendremos por ejemplo valores medibles de: pesos, masas, temperaturas, longitudes, presiones, etc. susceptibles a ser medidas con un instrumento.
De acuerdo a la medición de alguna de estas variables de puede considerar estadísticamente que el comportamiento de una variable continua cumple con la forma de una distribución normal. Por lo que su gráfica se vería de la siguiente manera (Walpole et al., 2012).
¿Cuál es la fórmula 𝑓(𝑥) de la distribución Normal?
Se determina la fórmula de la función por,
𝑓(𝑥) =
𝑒−^
1 2𝜎^2 (𝑥−𝜇)
2
Donde 𝜎 = 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝜇 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
(^1) Recordar que los valores que toma una variable continua son valores que se pueden medir.
Dado que tenemos entonces un comportamiento como en el de la forma de campana de Gauss, entonces se deben tener por conocidos el valor de su media poblacional 𝜇 y el de su desviación estándar poblacional 𝜎.
Ejemplo 1:
Al seguir un régimen alimenticio durante todo un año, asistido por un nutriólogo, para un estudiante que lleva registro mensual de su peso, se considera el comportamiento de su peso como una distribución normal, de los cuales tiene por dados los valores, promedio 𝜇 = 63 𝑘𝑔. y desviación estándar 𝜎 = 5 𝑘𝑔.
Ejemplo 2:
El profesor de Probabilidad y Estadística, luego de haber evaluado el primer parcial, determina el comportamiento de las calificaciones como una distribución normal, de la cual calcula el valor promedio 𝜇 = 73 y una desviación estándar de 𝜎 = 4.
Ahora bien si deseamos hacer cálculos de probabilidad para cada uno de estos ejemplos, debemos hacer primeramente las siguientes consideraciones para cualquier distribución continua:
Á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
∞
−∞
Y si deseamos calcular la probabilidad de un segmento o rango de los datos de una variable continua se debe entender que el área será igual al área bajo la curva entre los valores de ese segmento:
𝑃(𝑥 1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 2 ) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥 2
𝑥 1
Esto se puede apreciar en el gráfico que nos muestra Walpole (2012) p. 176
Si deseamos transformar la edad de un paciente de 𝑥 1 = 50 entonces al aplicar la fórmula tendríamos,
𝑧 1 = 50−48 2 = 22 = 1 Por tanto, 𝑥 1 = 50 → 𝑧 1 = 1
Si deseamos transformar la edad de un paciente de 𝑥 2 = 42 años, entonces al aplicar la fórmula tendríamos,
𝑧 2 = 42−48 2 = −6 2 = −3 Por tanto, 𝑥 2 = 42 → 𝑧 2 = −
Ahora podemos pasar al momento de calcular probabilidades, para lo cual consideraremos el siguiente ejemplo de Walpole (2012) p. 184:
Para clarificar lo anterior, reconsideramos el eje X de la primera curva a la derecha como un continuo de valores de las resistencias donde justo en el medio se encuentra la 𝜇 = 40 y 𝜎 = 2 será un valor que nos iremos dispersando hacia la derecha y hacia a la izquierda, es decir, a partir del 40 si le sumo 2 llegaré al 42 ((𝜇 + 𝜎) = (40 + 2) = 42, luego si le vuelvo a sumar 2 llegaré al
44 (𝜇 + 2𝜎) = (40 + 4) = 44, si le vuelvo a sumar 2 llegaré al 46 (𝜇 + 3𝜎) = (40 + 6) = 46 y ahí casi ya se va cerrando la curva hacia la derecha.
Mismo procedimiento puedo aplicar hacia la izquierda del promedio, es decir, a partir del 40 si le resto 2 llegaré al 38 ((𝜇 − 𝜎) = (40 − 2) = 38, luego si le vuelvo a restar 2 llegaré al 36 (𝜇 − 2𝜎) = (40 − 4) = 36, si le vuelvo a restar 2 llegaré al 34 (𝜇 − 3𝜎) = (40 − 6) = 34 y ahí casi ya se va cerrando la curva hacia la izquierda.
Lo anterior se puede apreciar en la siguiente gráfica
Ahora lo que queremos es estandarizar la variable, de manera que debemos transformar cada valor 𝑥 a un valor 𝑧.
Lo que se vería de la siguiente manera en la presente gráfica
Lo que sigue a continuación es contestar la pregunta del problema:
¿qué porcentaje de resistencias tendrán una resistencia que exceda de 43 ohms?
pero traduciéndola de la siguiente manera:
¿cuál es la probabilidad de que las resistencias sean mayores que 43?
Y volviéndola a traducir en términos de cálculo
¿cuál es el área bajo la curva de 43 hacia la derecha?
Lo que se contesta de la siguiente manera:
Como deseamos conseguir el área sombreada a la derecha de 43, entonces debemos hacer una resta pues toda el área bajo la curva es 1 y sabemos que a la izquierda del 43 el área bajo la curva es 0.9332.
Las tablas completas para 𝑧 valores positivos y negativos se encuentran a continuación, respectivamente:
Esta siguiente tabla ofrece el área hacia la izquierda de todos los valores que se encuentran de la media 𝜇 hacia la derecha.
Luego la siguiente tabla ofrece el área hacia la izquierda de todos los valores que se encuentran de la media 𝜇 hacia la izquierda.
M. en C. Patricia Alejandra Lamas Huerta 10
Vamos a buscar las áreas a la izquierda de los valores -0.2 y de 0.2 y luego al área más a la derecha (a la de 0.2) le restamos la de su izquierda (-0.2)
𝑃(62 ≤ 𝑥 ≤ 64) = 𝑃(−0.2 ≤ 𝑧 ≤ 0.2) = 𝑃(𝑧 ≤ 0.2) − 𝑃(𝑧 ≤ −0.2) = .5793 − .4207 =. = 15.86%
O bien el área a la izquierda del 𝑥 = 50
c) ¿cuál es la probabilidad de que el peso del estudiante sea menor que 50 kg. -en una próxima pesada-? 𝑃(𝑥 < 50) = 𝑃(𝑧 ≤ −2.6) = .0047 = 47%
Todo lo que debemos hacer es ir a buscar el área en la tabla, misma que representa el área a la izquierda del -2.6.
Referencias:
Walpole, R., Myer, R., y S. Myer.(2012). Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias .(9a. ed.) México:Pearson
