Distribución Binomial y Distribución Normal: Conceptos y Aplicaciones en Estadística, Resúmenes de Bioestadística

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DISTRIBUCIÓN DE

PROBABILIDADES

Dra. Tamara Jorquiera tjorquieraj@usmp.pe

BIOESTADÍSTICA

13 DE SETIEMBRE 2024

1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES DISCRETAS

EJEMPLO

• Tirar una moneda.

En este contexto, ("cara") convencionalmente denota éxito y el reverso ("sello")

denota fallo. Por definición, una moneda tiene 0.5 de probabilidad de éxito.

• Tirar un dado.

En este caso designamos un 6 como un "éxito" y todos los demás resultados como

“fracaso".

Es la repetición de un Ensayo de Bernoulli.

• Hacer independientes pero idénticos ensayos de Bernoulli en forma repetida, por

ejemplo, tirar 10 veces una moneda.

PROCESO DE BERNOULLI

Características de la DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

1. En cada ensayo ocurre 1 de 2 posibles resultados mutuamente excluyentes.
2. La probabilidad de éxito (p) permanece constante de un ensayo a otro. La probabilidad de

fracaso: (q)

3. Los ensayos son independientes.

Si nos fijamos en el ejemplo de la moneda, en este caso estaremos estudiando cuantas veces sale

cara o sale cruz, o las probabilidades de que salga:

3 veces cara de los 10 intentos intentos.

Calcular la probabilidad de 3 éxitos en 10 ensayos de Bernoulli

Calcular la probabilidad de x éxitos en n ensayos de Bernoulli

• Se representa de la siguiente manera:

B(n,p)

Siendo n y p los parámetros de dicha distribución.

• El número de pruebas (n)
• La probabilidad de éxito (p)

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

• Al estudiar la distribución binomial se tiene interés en calcular la probabilidad de obtener x

éxitos de un total de n ensayos de Bernoulli.

• Este cálculo se realiza con:

Donde: X = variable aleatoria

x = 0 , 1 , 2 , 3 ,....n

CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

x n-x p q

x!(n - x)!

n!

p(X = x) =

12 C 5

Probabilidad de tener 5 éxitos en 12

ensayos de Bernoulli

• Se demuestra que la distribución binomial es una distribución de probabilidad ya que:
  • p(x)  0
  •  p(x) = 1
• La distribución binomial tiene dos parámetros:

n y p B(n,p)

• La media de la distribución binomial es: x = np
• La desviación estándar es: x = npq

CARACTERÍSTICAS

EJEMPLO

En cierta población la prevalencia de alergia es 20%. Si se selecciona

una muestra aleatoria de 10 personas.

Calcular :

a. La probabilidad de que la muestra contenga exactamente un alérgico.

Solución:

Datos:

Éxito = tener alergia  p = 0,2 y q = 0,

n = 10

x = 1

Luego: p(X=1)=

10! (0,2)^1 (0,8)^9

1!9!

= 10 (0,2)(0,8)^9

p(X=1) = 0,

x n-x p q x!(n-x)!

n! p(X=x)=

x n-x p q x!(n- x)!

n! p(X = x)= nCx

b. La probabilidad de que la muestra incluya menos de dos alérgicos

Solución:

p = 0,

q = 0,

n = 10

p(X<2) = p(X=0) + p(X=1)

p(X=0) + p(X=1)

= 10! (0,2)^0 (0,8)^10 + 0,

0!10!

= 0,1074 + 0,

p(X<2) = 0,

x n-x p q x!(n-x)!

n! p(X =x)=

x n-x p q x!(n - x)!

n! p(X = x) = nCx

Su importancia se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales

que siguen el modelo de la distribución normal.

• Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, ejm. tallas,

pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...

• Caracteres fisiológicos , por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma

cantidad de abono.

• Caracteres sociológicos , por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de

individuos, puntuaciones de examen.

• Caracteres psicológicos , por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...
• Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
• Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media.
• Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ...
• Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.

CAMPANA DE GAUSS

• Es una distribución de probabilidad de variables continuas.
• El matemático Gauss contribuyó notablemente en el estudio y difusión de esta

distribución.

• La mayoría de las variables continuas tienen polígonos de frecuencias que permiten

visualizar un aumento gradual hasta llegar a un máximo y luego un descenso igualmente

gradual.

• Así:

DISTRIBUCIÓN NORMAL

• La curva normal tiene forma de campana con un solo pico justo en el centro de la distribución.
• La media, mediana y moda de la distribución son iguales y se localizan en el pico.
• La mitad del área bajo la curva está a la derecha del pico, y la otra mitad está a la izquierda.
• La distribución normal es simétrica respecto a su media.
• La distribución normal es asintótica - la curva se acerca cada vez más al eje x pero en realidad nunca llega a tocarlo.

CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN

NORMAL