Diseños Muestrales (Teoría y Ejercicios Resueltos), Monografías, Ensayos de Estadística

¡Descarga Diseños Muestrales (Teoría y Ejercicios Resueltos) y más Monografías, Ensayos en PDF de Estadística solo en Docsity!

Diseños Muestrales

Valeria C. Garrido R.

Facultad de Humanidades y Educación, Universidad Católica Andrés Bello

01244: Estadística II M.Sc. Omar Castro Julio 07, 2020

Índice

• Introducción P.p.
• Objetivos
• Contenido
  • PARTE I – TEORÍA
    • Diseños Muestrales.
    • Tamaño de la Población para el tamaño de una Muestra.
    • Selección de una mala Muestra.
  • PARTE II – EJERCICIOS
• Conclusión
• Bibliografía

Objetivos

General

Introducir al lector a la teoría de diseños muestrales y muestreo.

Específicos

 Explicar los tipos de diseños muestrales.  Analizar la relación entre el tamaño de la población y el tamaño de la muestra.  Justificar los métodos de selección de una mala muestra.  Interpretar mediante ejercicios prácticos el uso y aplicación del nivel de confianza.

Contenido

PARTE I – TEORÍA

Diseños Muestrales

Muestreo Aleatorio Simple.

Como lo establece Kelmansky (2009), una muestra aleatoria simple es la que se obtiene a partir de un mecanismo que le da a cada una de las unidades muestrales la misma probabilidad de ser elegida. Esto se refiere a que todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados. Por ejemplo, uno de los mecanismos es utilizar una tabla de números aleatorios, o también con un ordenador generar números aleatorios, comprendidos entre cero y uno, y multiplicarlos por el tamaño de la población (Ferrer, 2010).

Muestreo Sistemático.

Como lo establece Kelmansky (2009), este muestreo comienza con una unidad elegida al azar y a partir de allí continúa cada k unidades. Si n es el tamaño muestral y N es el tamaño de la población, entonces k es aproximadamente N/n. En pocas palabras, se toman los individuos de k en k, siendo k el resultado de dividir el tamaño de la población entre el tamaño de la muestra (Ferrer, 2010).

Muestreo Estratificado.

Como lo establece Kelmansky (2009), la población se divide en grupos homogéneos llamados estratos. Luego se realiza un muestreo aleatorio simple de unidades muestrales dentro de cada estrato. También se debe tener en cuenta el establecimiento de la proporción de unidades, o fracción de muestreo, que se incluirá para cada estrato.

Muestreo por Conglomerados.

Como lo establece Kelmansky (2009), la población se divide en grupos heterogéneos llamados conglomerados. Luego se realiza un muestreo aleatorio simple en el que las unidades muestrales son los conglomerados. Para este, se debe recordar también establecer la proporción de unidades que se incluirá.

PARTE II – EJERCICIOS

Ejercicio 1. Una fábrica produce dardos con diámetros que tienen un desvío estándar σ= 0.25mm. De un lote grande, se seleccionó una muestra aleatoria simple de 40 dardos, y se obtuvo un promedio de 3.09mm en sus diámetros. a) Obtenga un intervalo de confianza de aproximadamente el 95% para la media de los diámetros de todos los dardos producidos de la misma forma. 𝜇 ∈ [𝑥̅ ± 𝑍𝛼 2⁄ ∙ √𝑛𝜎] = [3.09 ± 1.96 ∙ 0.25√40] = [3.09 ± 0.08] = [3.01 − 3.17] La verdadera media de los diámetros de todos los dardos estará comprendida entre [3.01 − 3.17] 𝑚𝑚 con una probabilidad del 95%, existiendo una probabilidad de que 2.5% tengan un diámetro por debajo de 3.01mm y 2.5% por encima de 3.17mm. b) Ídem a pero con una confianza aproximada del 99.7%.

𝑃[𝑍 < 𝑍𝛼 2⁄ ] = 𝑃[𝑍 < 0] + (^) 2 ∙ 100 99.7 = 0.5 + 0.4985 = 0.9985 ⟹ 𝒁𝜶 𝟐⁄ = 𝟐. 𝟗𝟔

𝜇 ∈ [𝑥̅ ± 𝑍𝛼 2⁄ ∙ √𝑛𝜎] = [3.09 ± 2.96 ∙ 0.25√40] = [3.09 ± 0.12] = [2.97 − 3.21] La verdadera media de los diámetros de todos los dardos estará comprendida entre [2.97 − 3.21] 𝑚𝑚 con una probabilidad del 99.7%, existiendo una probabilidad de que 0.15% tengan un diámetro por debajo de 2.97mm y 0.15% por encima de 3.21mm. c) De qué tamaño debe ser la muestra para que la longitud del intervalo de confianza del 95% sea 0.1mm. 2 ∙ 𝑍𝛼 2⁄ ∙ √𝑛 𝜎 = 𝐿 ⟹ 𝑛 = (2 ∙ 𝑍𝛼 2𝐿⁄ ∙ 𝜎)

2 ⟹ 𝑛 = (2 ∙ 1.96 ∙ 0.250.1 )

2 ⟹ 𝒏 = 𝟗𝟔

Ejercicio 4. Se sabe que el 82% de los alumnos del último año de las escuelas secundarias dependientes de alguna universidad planean seguir estudios superiores. Supongamos que se selecciona una muestra aleatoria simple de alumnos del último año de dichas escuelas y se obtiene un intervalo de confianza en base a la proporción que manifiesta tener interés en continuar sus estudios. Entonces: a) El centro del intervalo de confianza es 0.82. Esta es la respuesta correcta, ya que el enunciado nos asegura que el 82% de los alumnos planea seguir estudios superiores; es decir,

esto significa que tienen un nivel de confianza de 82%, por ende el centro del intervalo de confianza es 0.82.

Ejercicio 5. En general, ¿cómo cambia la longitud del intervalo de confianza si se duplica el tamaño de la muestra y todo lo demás queda igual? d) La longitud se divide por 1,414. Esta es la respuesta correcta, ya que si analizamos la fórmula

de la longitud: 𝐿 = 2 ∙ 𝑍𝛼 2⁄ ∙ (^) √𝑛𝜎, y ahora multiplicamos a n por 2, y luego aplicamos algunos conceptos matemáticos, nos queda que:

2 ∙ 𝑍𝛼 2⁄ ∙ (^) √2𝑛 𝜎 = 2 ∙ 𝑍𝛼 2⁄ ∙ (^) √𝑛 ∙ √2 𝜎 =

√2 =^

Ejercicio 8. Se realizó un muestreo aleatorio simple, de un embarque de 50.000 piezas delicadas, registrándose 16 piezas dañadas de un total de 220 observadas. Obtenga un intervalo del 95% de confianza para estimar la verdadera proporción y a partir de él la cantidad de piezas dañadas.

𝑝̂ = 220 16 = 0.

𝑝 ∈ [𝑝̂ ± 𝑍𝛼 2⁄ ∙ √𝑝̂ ∙ (1 − 𝑝̂)𝑛 ] = [0.073 ± 1.96 ∙ √0.073 ∙ (1 − 0.073) 220 ] = [0.073 ± 0.034]

= [0.039 − 0.107]

∴ 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑃𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝐷𝑎ñ𝑎𝑑𝑎𝑠 = [(0.039 ∙ 220) − (0.107 ∙ 220)] = [𝟗 − 𝟐𝟒] La verdadera proporción de piezas dañadas de un total de 220 observadas estará comprendida entre [0.039 − 0.107] con una probabilidad de 95%, lo que significa que la cantidad de piezas dañadas está comprendida entre [9 − 24] con una probabilidad de 95%, existiendo una probabilidad de 2.5% de que existan menos de 9 piezas dañadas y 2.5% de que existan más de

Ejercicio 8.3. Un investigador de mercado afirma que tiene un nivel de confianza del 95% en que la media de las ventas mensuales de un producto está entre $170,000 y $200,000. Explique el significado de su afirmación.

No tiene derecho de afirmar que los focos tienen un promedio de vida de 400 horas ya que, luego de obtener el intervalo, podemos observar que el valor de 400 horas está fuera del intervalo esperado para la media. c) ¿Debe suponerse que la vida de la población de focos se distribuye normalmente? Explique por qué. Sí, ya que, guiándonos de la definición del teorema central del límite (TCL), la distribución de muestreo de un 𝑥̅ es aproximadamente normal siempre y cuando se tomen tamaños de muestra lo suficientemente grandes. Generalmente, para afirmar esto, se utiliza un tamaño de muestra (n) que sea de al menos 30, y en este problema nuestro tamaño de muestra es 64, por ende se puede suponer que la vida de la población de focos se distribuye normalmente. d) Suponga que la desviación estándar cambió a 80 horas. ¿Cuáles son sus respuestas para los incisos a ) y b )? Para el inciso a): 𝜇 ∈ [𝑥̅ ± 𝑍𝛼 2⁄ ∙ 𝜎 √𝑛

] = [350 ± 1.96 ∙^80

] = [350 ± 19.6] = [330.4 − 369.6]

Para el inciso b): No tiene derecho de afirmar que los focos tienen un promedio de vida de 400 horas ya que, luego de obtener el intervalo, podemos observar que el valor de 400 horas está fuera del intervalo esperado para la media, el cual expone que la vida media de los focos de este embarque estará comprendida entre [330.4 − 369.6] ℎ con una probabilidad del 95%, existiendo una probabilidad de que 2.5% tengan una vida por debajo de 330.4h y 2.5% por encima de 369.6h.

Ejercicio 8.9. La división de inspección de Pesos y Medidas del condado de Lee desea estimar la cantidad real de contenido en botellas de 2 litros de bebida refrescante en la planta embotelladora local de una empresa conocida a nivel nacional. La planta embotelladora ha informado a la división de inspección que la desviación estándar poblacional para las botellas de 2 litros es de 0.05 litro. Una muestra aleatoria de 100 botellas de 2 litros en la planta embotelladora indica una media muestral de 1.99 litros. a) Construya una estimación de intervalo de confianza del 95% de la media poblacional cantidad de bebida refrescante en cada botella. 𝜇 ∈ [𝑥̅ ± 𝑍𝛼 2⁄ ∙ 𝜎 √𝑛

] = [1.99 ± 1.96 ∙ 0.

] = [1.99 ± 0.01] = [1.98 − 2.00]

Este intervalo expone que la media para la cantidad de bebida refrescante en cada botella estará comprendida entre [1.98 − 2.00] 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 con una probabilidad del 95%, existiendo una probabilidad de que 2.5% tengan una cantidad de bebida por debajo de 1.98 litros y 2.5% por encima de 2 litros. b) ¿Debe suponerse que la población de relleno de refresco se distribuye normalmente? Explique por qué. Sí, ya que, guiándonos de la definición del teorema central del límite (TCL), la distribución de muestreo de un 𝑥̅ es aproximadamente normal siempre y cuando se tomen tamaños de muestra lo suficientemente grandes. Generalmente, para afirmar esto, se utiliza un tamaño de muestra (n) que sea de al menos 30, y en este problema nuestro tamaño de muestra es 100, por ende se puede suponer que la población de relleno de refresco se distribuye normalmente. c) Explique por qué el valor de 2.02 litros para una botella sola no es inusual, aun cuando esté fuera del intervalo de confianza calculado. El valor de 2.02 litros para una botella sola no es inusual ya que, considerando que se tomó un nivel de confianza del 95%, existe un 5% de probabilidades de que el valor de la cantidad de bebida en una botella esté fuera del intervalo calculado, siendo así un 2.5% probable que esté por debajo del intervalo y otro 2.5% probable que esté por encima. Viendo el intervalo, observamos que existe un 2.5% de probabilidades de que la cantidad de bebida en una botella esté por encima de 2 litros, lo que significa que es posible que una botella tenga 2.02 litros. d) Suponga que la media muestral hubiera sido de 1.97 litros. ¿Cuál sería su respuesta al inciso a )? 𝜇 ∈ [𝑥̅ ± 𝑍𝛼 2⁄ ∙ √𝑛𝜎] = [1.97 ± 1.96 ∙ √1000.05] = [1.97 ± 0.01] = [1.96 − 1.98] Este intervalo expone que la media para la cantidad de bebida refrescante en cada botella estará comprendida entre [1.96 − 1.98] 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 con una probabilidad del 95%, existiendo una probabilidad de que 2.5% tengan una cantidad de bebida por debajo de 1.96 litros y 2.5% por encima de 1.98 litros.

Bibliografía

Carrasquedo, K. (2017, 23 de enero). Muestreo probabilístico y no probabilístico. Gestiopolis. https://www.gestiopolis.com/muestreo-probabilistico-y-no-probabilistico/ Ferrer, J. (2010). TIPOS DE MUESTREO. Blogger. http://metodologia02.blogspot.com/p/tipos-de- muestreo.html Kelmansky, D. (2009). Estadística para todos (1.a^ ed.). Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación. Instituto Nacional de Educación Tecnológica. Levine, D. M., Krehniel, T. C. y Mark L. Berenson (2006). Estadística para administración (4.a^ ed). PEARSON EDUCACIÓN. México.