











































Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Una introducción a las transformadas de laplace y z, herramientas matemáticas esenciales para el análisis y resolución de ecuaciones diferenciales e integrales en sistemas continuos y discretos. Se explica la aplicación de estas transformadas en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales, incluyendo ejemplos y pasos detallados para su implementación. El documento también aborda la importancia de la transformada de laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden y en la resolución de ecuaciones de difusión-reacción.
Tipo: Resúmenes
1 / 51
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Carlos Eduardo Amado Rodríguez
Emmanuel Elias Toscano
Hector Ignacio Cano Ontamucha
Durante el transcurso de este libro, nos dedicaremos a desarrollar una guía
exhaustiva y accesible para cualquier persona interesada en el marco matemático
de la dinámica de sistemas. Esta guía permitirá a los lectores comprender desde un
nivel básico cómo funcionan las ecuaciones diferenciales, así como los
procedimientos necesarios para resolverlas. Además, se enfocará en mostrar cómo
aplicar estos conocimientos en diversas áreas, desde la ingeniería hasta problemas
que puedan surgir en la vida cotidiana, proporcionando un entendimiento práctico
de las ecuaciones diferenciales en contextos reales.
El objetivo principal es ofrecer las herramientas matemáticas necesarias para llevar
a cabo la transformada de Laplace, un recurso crucial para la resolución de
ecuaciones diferenciales en sistemas continuos. A lo largo de la guía, se explicará
paso a paso su importancia, su aplicación y el porqué de su relevancia en la
resolución de problemas complejos. De igual manera, la guía abordará el uso de la
transformada Z en sistemas discretos, un concepto clave en el análisis de datos
digitales. En este apartado, se presentará el uso de la transformada Z de forma clara
y simplificada, para que cualquier lector, independientemente de su experiencia
previa, pueda comprender su utilidad y aplicar los conocimientos adquiridos en la
resolución de ecuaciones diferenciales discretas.
La metodología empleada en esta guía estará orientada a facilitar el aprendizaje de
manera accesible, evitando complicaciones innecesarias y enfocándose en los
aspectos más importantes para la comprensión del material. Para ello, se
desarrollarán explicaciones claras, apoyadas por ejemplos prácticos, que permitan
a los estudiantes abordar la resolución de problemas de manera efectiva. La guía
estará estructurada como un libreto, donde cada tema será tratado de manera
didáctica, progresiva y sin asumir conocimientos previos sobre ecuaciones
diferenciales.
2.1 Ecuaciones diferenciales y de diferencia
¿Qué es una ecuación diferencial?
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una derivada. Es decir,
describe cómo cambia una cantidad en función de otra. Las derivadas nos dicen la
tasa de cambio de algo.
Por ejemplo, si tienes una función y(x) que te esta describiendo la posición de algún
objeto en un tiempo, entonces la derivada que estará en función de x te va a
describir la velocidad, en cambio si se deriva de nuevo el resultado nos dará la
aceleración, en otras palabras, es una ecuación que implica una función
desconocida y = f(x) y una o varias de sus derivadas. Una solución de una ecuación
diferencial es una función y = f(x) que satisface la ecuación diferencial cuando f y
sus derivadas se sustituyen en la ecuación.
Partes básicas de una ecuación diferencial
Una ecuación diferencial sencilla puede lucir así
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
Donde tenemos que encontrar la función y(x), la fracción dy/dx nos dice que es la
derivada de y respecto a x que prácticamente nos describe el cambio de y con
respecto a x. mientras tanto f(x, y) nos muestra una relación entra la derivada y los
valores de x y y.
La fórmula dada anteriormente es una versión de primer orden de sistemas
dinámicos (es decir, las ecuaciones no involucran xt−2, xt−3xt−3, ..., od2x/dt2,
d3x/dt3, ...). Pero estas formas de primer orden son lo suficientemente generales
como para cubrir todo tipo de dinámicas que son posibles en los sistemas
dinámicos. La integración de un modelo de tiempo continuo t da una trayectoria del
Diferencia con las ecuaciones diferenciales:
ejemplo, la velocidad en cada instante de tiempo).
en el clima de un día a otro).
valores previos, incluso de aquellos que ocurrieron hace mucho tiempo.
Ejemplo sencillo de ecuación de diferencias:
𝑛
(el valor en el paso n) depende del valor anterior
𝑛
𝑥
= 0. 5 ∙ 𝑥
− 1
Esto describe una secuencia donde cada valor es la mitad del anterior. Si
𝑛
1
1
1
Y así sucesivamente. Cada paso depende solo del paso anterior.
Ejemplo de ecuación de diferencias infinitas:
En este caso, el valor actual 𝑥 𝑛
podría depender no solo del valor anterior, sino de
una combinación de todos los valores anteriores, es decir:
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
Donde los coeficientes a1, a2, a3 describen como influye cada valor pasado en el
presente. Aquí entramos en terreno de memoria infinita, es decir, eventos que
ocurrieron hace mucho tiempo y todavía influyen en el presente.
Linealidad
¿Qué significa que una ecuación sea lineal?
En términos sencillos, una ecuación es lineal si la variable (o las variables) y sus
derivadas o diferencias:
derivadas de manera no lineal (como 𝑦 ∙ 𝑦´, 𝑦
2
, etc.).
En resumen, una ecuación lineal involucra funciones (o secuencias) y sus derivadas
o diferencias de manera directa y sin multiplicarlas entre sí ni elevarlas a potencias
mayores.
Propiedades de la linealidad:
En general, una ecuación se considera lineal si cumple con dos propiedades clave:
ecuación como
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 , entonces es una ecuación
homogénea. Si no es cero, es una ecuación no homogénea
entonces cualquier combinación con ellas, como c1y1(t) + c2y2(t), también
es una solución.
Métodos de solución para ecuaciones diferenciales lineales
1. Forma estándar
Primero, escribe la ecuación diferencial en su forma estándar:
2. Factor integrante
Calcula el factor integrante, que es una función que nos ayudará a
simplificar la ecuación. El factor integrante se define como:
∫ 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥
3. Multiplicar por el factor integrante
Multiplica ambos lados de la ecuación diferencial por el factor integrante:
4. Simplificación
La ecuación se puede simplificar a:
5. Integración
Integra ambos lados de la ecuación respecto a (x):
Donde (C) es la constante de integración
6. Solución general
Finalmente, despeja (y):
Ejemplo práctico:
Supongamos que tenemos la ecuación diferencial:
𝒙
2) Factor integrante:
∫ 𝟐 𝒅𝒙
𝟐𝒙
3) Multiplicar por el factor integrante:
𝟐𝒙
𝟐𝒙
𝟐𝒙
𝒙
2.2 Transformada de Laplace y transformada z.
Transformada de Laplace:
La transformada de Laplace es una de las herramientas matemáticas utilizadas para
la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. La variable s se
denomina el operador de Laplace, que es una variable compleja, esto es, s = σ + jo.
Tiene dos características atractivas:
sola operación.
algebraica en s. Entonces es posible manipular la ecuación algebraica mediante
reglas algebraicas simples, para obtener la solución en el dominio s. La solución
final se obtiene tomando la transformada inversa de Laplace.
El matemático francés P. S. de Laplace (1749-1827) descubrió una forma de
resolver ecuaciones diferenciales: multiplicar cada término de la ecuación por e y,
así, integrar cada uno de esos términos respecto al tiempo desde cero hasta infinito;
s es una constante con unidades de 1/tiempo. El resultado es lo que hoy día se
conoce como la transformada de Laplace.
Dada una función, real f(t) que satisface la condición:
Para alguna función f(t) real finita, la transformada de Laplace de f(t) se define
como:
La variable s se denomina operador de Laplace, una variable compleja tal que s =
σ + jω. Ejemplo. Sea f(t) una función escalón unitario el cual se define como:
La transformada de Laplace de f(t) está dada por:
Transformada z:
La transformada de Fourier tiene una importancia fundamental en la representación
y análisis de señales y sistemas discretos. Una generalización de ella es la
transformada Z. El motivo principal para tratar con la transformada Z consiste en
que la transformada de Fourier no converge para todas las secuencias; lo que hace
necesario plantear una transformación que cubra una más amplia gama de señales.
Adicionalmente, la transformada Z presenta la ventaja de que, en problemas
analíticos, el manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más
conveniente. El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su
equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de
ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier.
Propiedades de la transformada de Laplace.
Linealidad
La transformada de Laplace tiene la propiedad de linealidad es decir, en una
ecuación con varias funciones, se puede calcular la transformada de Laplace de
cada término y de cada una de las funciones por separado como lo muestra la
ecuación , cabe mencionar que las constantes salen de la transformada de Laplace.
Teorema de traslación
Cuando se quiera realizar la transformada de Laplace de una función multiplicado
por una exponencial, se puede usar el teorema de traslación como lo muestra la
ecuación.
Donde la transformada de Laplace de una función en el tiempo es igual a la función
pero en el dominio de la frecuencia como lo muestra la ecuación.
Aplicando este teorema para la segunda derivada se obtiene la ecuación, donde se
ve que ahora se multiplica F(s) por s
2
para así eliminar la segunda derivada y se le
restan las condiciones iniciales, de la misma manera si no existen condiciones
iniciales esos términos son igual a cero.
Teorema de la transformada de la Integral
La ecuación muestra cómo se aplica este teorema cuando se calcula la
transformada de Laplace a una integral, esto es, se multiplica por 1 entre s la
transformada de la función.
El teorema de la transformada de la derivada como el de la integral son muy
importantes ya que se utilizarán para aplicar el método de solución de ecuaciones
diferenciales utilizando el método de la transformada de Laplace. Hay muchas más
propiedades y teoremas de la transformada de Laplace sin embargo las que acabas
de aprender son las más importantes en cuanto a la solución de ecuaciones
diferenciales por el método de la transformada de Laplace.
Tabla de propiedades: