Transformadas de Laplace y Z: Aplicaciones en Ingeniería, Resúmenes de Dinámica de sistemas

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Carlos Eduardo Amado Rodríguez

Emmanuel Elias Toscano

Hector Ignacio Cano Ontamucha

Dinámica de sistemas

Marco matemático

índice

• Introducción:
• Planteamiento:
• 2.1 Ecuaciones diferenciales y de diferencia...........................................................
  • 2.1.1 Ecuaciones diferenciales
    • ¿Qué es una ecuación diferencial?
    • Partes básicas de una ecuación diferencial
  • 2.1.2 Ecuaciones de diferencias finitas
    • ¿Qué es una ecuación de diferencias infinitas?
  • 2.1.3 Ecuaciones diferenciales y de diferencias lineales
    • Linealidad
    • Ecuaciones diferenciales lineales
    • Métodos de solución para ecuaciones diferenciales lineales
• 2.2 Transformada de Laplace y transformada z.
  • 2.2.1 Definiciones
    • Transformada de Laplace:
    • Transformada z:
  • 2.2.2 Propiedades.
    • Propiedades de la transformada de Laplace.
    • Propiedades de al transformada z
  • 2.2.3 Parejas de transformadas.
  • 2.2.4 Tabla de parejas de transformadas
  • parciales. 2.2.5 Transformada inversa de Laplace mediante la expansión en fracciones
  • 2.3 Solución de E.D. Lineales mediante transformadas
  • Respuesta del sistema de primer y segundo orden
  • Solución de una ecuación diferencial de segundo orden
  • Laplace El método de resolución de las ecuaciones diferenciales por la transformada de
• Presentación del teorema para la resolución del problema
• Bibliografía

Planteamiento:

Durante el transcurso de este libro, nos dedicaremos a desarrollar una guía

exhaustiva y accesible para cualquier persona interesada en el marco matemático

de la dinámica de sistemas. Esta guía permitirá a los lectores comprender desde un

nivel básico cómo funcionan las ecuaciones diferenciales, así como los

procedimientos necesarios para resolverlas. Además, se enfocará en mostrar cómo

aplicar estos conocimientos en diversas áreas, desde la ingeniería hasta problemas

que puedan surgir en la vida cotidiana, proporcionando un entendimiento práctico

de las ecuaciones diferenciales en contextos reales.

El objetivo principal es ofrecer las herramientas matemáticas necesarias para llevar

a cabo la transformada de Laplace, un recurso crucial para la resolución de

ecuaciones diferenciales en sistemas continuos. A lo largo de la guía, se explicará

paso a paso su importancia, su aplicación y el porqué de su relevancia en la

resolución de problemas complejos. De igual manera, la guía abordará el uso de la

transformada Z en sistemas discretos, un concepto clave en el análisis de datos

digitales. En este apartado, se presentará el uso de la transformada Z de forma clara

y simplificada, para que cualquier lector, independientemente de su experiencia

previa, pueda comprender su utilidad y aplicar los conocimientos adquiridos en la

resolución de ecuaciones diferenciales discretas.

La metodología empleada en esta guía estará orientada a facilitar el aprendizaje de

manera accesible, evitando complicaciones innecesarias y enfocándose en los

aspectos más importantes para la comprensión del material. Para ello, se

desarrollarán explicaciones claras, apoyadas por ejemplos prácticos, que permitan

a los estudiantes abordar la resolución de problemas de manera efectiva. La guía

estará estructurada como un libreto, donde cada tema será tratado de manera

didáctica, progresiva y sin asumir conocimientos previos sobre ecuaciones

diferenciales.

2.1 Ecuaciones diferenciales y de diferencia

2.1.1 Ecuaciones diferenciales

¿Qué es una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una derivada. Es decir,

describe cómo cambia una cantidad en función de otra. Las derivadas nos dicen la

tasa de cambio de algo.

Por ejemplo, si tienes una función y(x) que te esta describiendo la posición de algún

objeto en un tiempo, entonces la derivada que estará en función de x te va a

describir la velocidad, en cambio si se deriva de nuevo el resultado nos dará la

aceleración, en otras palabras, es una ecuación que implica una función

desconocida y = f(x) y una o varias de sus derivadas. Una solución de una ecuación

diferencial es una función y = f(x) que satisface la ecuación diferencial cuando f y

sus derivadas se sustituyen en la ecuación.

Partes básicas de una ecuación diferencial

Una ecuación diferencial sencilla puede lucir así

𝑑𝑦

𝑑𝑥

= 𝑓(𝑥, 𝑦)

Donde tenemos que encontrar la función y(x), la fracción dy/dx nos dice que es la

derivada de y respecto a x que prácticamente nos describe el cambio de y con

respecto a x. mientras tanto f(x, y) nos muestra una relación entra la derivada y los

valores de x y y.

La fórmula dada anteriormente es una versión de primer orden de sistemas

dinámicos (es decir, las ecuaciones no involucran xt−2, xt−3xt−3, ..., od2x/dt2,

d3x/dt3, ...). Pero estas formas de primer orden son lo suficientemente generales

como para cubrir todo tipo de dinámicas que son posibles en los sistemas

dinámicos. La integración de un modelo de tiempo continuo t da una trayectoria del

Diferencia con las ecuaciones diferenciales:

• Ecuaciones diferenciales: Describen el cambio continuo de una variable (por

ejemplo, la velocidad en cada instante de tiempo).

• Ecuaciones de diferencias: Describen cambios discretos (como los cambios

en el clima de un día a otro).

• Ecuaciones de diferencias infinitas: El valor actual depende de todos los

valores previos, incluso de aquellos que ocurrieron hace mucho tiempo.

Ejemplo sencillo de ecuación de diferencias:

Supongamos que el valor de 𝑥

𝑛

(el valor en el paso n) depende del valor anterior

𝑛

𝑥

= 0. 5 ∙ 𝑥

− 1

Esto describe una secuencia donde cada valor es la mitad del anterior. Si

empezamos con 𝑥

𝑛

= 10 , entonces:

1

1

1

Y así sucesivamente. Cada paso depende solo del paso anterior.

Ejemplo de ecuación de diferencias infinitas:

En este caso, el valor actual 𝑥 𝑛

podría depender no solo del valor anterior, sino de

una combinación de todos los valores anteriores, es decir:

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

Donde los coeficientes a1, a2, a3 describen como influye cada valor pasado en el

presente. Aquí entramos en terreno de memoria infinita, es decir, eventos que

ocurrieron hace mucho tiempo y todavía influyen en el presente.

2.1.3 Ecuaciones diferenciales y de diferencias lineales

Linealidad

¿Qué significa que una ecuación sea lineal?

En términos sencillos, una ecuación es lineal si la variable (o las variables) y sus

derivadas o diferencias:

• Aparecen solo en la primera potencia.
• No están multiplicadas entre ellas ni combinadas con otras variables o sus

derivadas de manera no lineal (como 𝑦 ∙ 𝑦´, 𝑦

2

, etc.).

En resumen, una ecuación lineal involucra funciones (o secuencias) y sus derivadas

o diferencias de manera directa y sin multiplicarlas entre sí ni elevarlas a potencias

mayores.

Propiedades de la linealidad:

En general, una ecuación se considera lineal si cumple con dos propiedades clave:

• Homogeneidad: No hay términos independientes. Por ejemplo, en una

ecuación como

𝑑𝑦

𝑑𝑡

= 0 , entonces es una ecuación

homogénea. Si no es cero, es una ecuación no homogénea

• Principio de superposición : si y1(t) y y2(t) son soluciones de la ecuación,

entonces cualquier combinación con ellas, como c1y1(t) + c2y2(t), también

es una solución.

Métodos de solución para ecuaciones diferenciales lineales

1. Forma estándar

Primero, escribe la ecuación diferencial en su forma estándar:

2. Factor integrante

Calcula el factor integrante, que es una función que nos ayudará a

simplificar la ecuación. El factor integrante se define como:

∫ 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥

3. Multiplicar por el factor integrante

Multiplica ambos lados de la ecuación diferencial por el factor integrante:

4. Simplificación

La ecuación se puede simplificar a:

5. Integración

Integra ambos lados de la ecuación respecto a (x):

Donde (C) es la constante de integración

6. Solución general

Finalmente, despeja (y):

Ejemplo práctico:

Supongamos que tenemos la ecuación diferencial:

𝒙

1. Forma estándar: Ya está en la forma estándar.

2) Factor integrante:

∫ 𝟐 𝒅𝒙

𝟐𝒙

3) Multiplicar por el factor integrante:

𝟐𝒙

𝟐𝒙

𝟐𝒙

𝒙

2.2 Transformada de Laplace y transformada z.

2.2.1 Definiciones

Transformada de Laplace:

La transformada de Laplace es una de las herramientas matemáticas utilizadas para

la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. La variable s se

denomina el operador de Laplace, que es una variable compleja, esto es, s = σ + jo.

Tiene dos características atractivas:

1. La solución de la ecuación homogénea y la solución particular se obtienen en una

sola operación.

2. La transformada de Laplace convierte la ecuación diferencial en una ecuación

algebraica en s. Entonces es posible manipular la ecuación algebraica mediante

reglas algebraicas simples, para obtener la solución en el dominio s. La solución

final se obtiene tomando la transformada inversa de Laplace.

El matemático francés P. S. de Laplace (1749-1827) descubrió una forma de

resolver ecuaciones diferenciales: multiplicar cada término de la ecuación por e y,

así, integrar cada uno de esos términos respecto al tiempo desde cero hasta infinito;

s es una constante con unidades de 1/tiempo. El resultado es lo que hoy día se

conoce como la transformada de Laplace.

Dada una función, real f(t) que satisface la condición:

Para alguna función f(t) real finita, la transformada de Laplace de f(t) se define

como:

La variable s se denomina operador de Laplace, una variable compleja tal que s =

σ + jω. Ejemplo. Sea f(t) una función escalón unitario el cual se define como:

La transformada de Laplace de f(t) está dada por:

Transformada z:

La transformada de Fourier tiene una importancia fundamental en la representación

y análisis de señales y sistemas discretos. Una generalización de ella es la

transformada Z. El motivo principal para tratar con la transformada Z consiste en

que la transformada de Fourier no converge para todas las secuencias; lo que hace

necesario plantear una transformación que cubra una más amplia gama de señales.

Adicionalmente, la transformada Z presenta la ventaja de que, en problemas

analíticos, el manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más

conveniente. El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su

equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de

ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier.

2.2.2 Propiedades.

Propiedades de la transformada de Laplace.

Linealidad

La transformada de Laplace tiene la propiedad de linealidad es decir, en una

ecuación con varias funciones, se puede calcular la transformada de Laplace de

cada término y de cada una de las funciones por separado como lo muestra la

ecuación , cabe mencionar que las constantes salen de la transformada de Laplace.

Teorema de traslación

Cuando se quiera realizar la transformada de Laplace de una función multiplicado

por una exponencial, se puede usar el teorema de traslación como lo muestra la

ecuación.

Donde la transformada de Laplace de una función en el tiempo es igual a la función

pero en el dominio de la frecuencia como lo muestra la ecuación.

Aplicando este teorema para la segunda derivada se obtiene la ecuación, donde se

ve que ahora se multiplica F(s) por s

2

para así eliminar la segunda derivada y se le

restan las condiciones iniciales, de la misma manera si no existen condiciones

iniciales esos términos son igual a cero.

Teorema de la transformada de la Integral

La ecuación muestra cómo se aplica este teorema cuando se calcula la

transformada de Laplace a una integral, esto es, se multiplica por 1 entre s la

transformada de la función.

El teorema de la transformada de la derivada como el de la integral son muy

importantes ya que se utilizarán para aplicar el método de solución de ecuaciones

diferenciales utilizando el método de la transformada de Laplace. Hay muchas más

propiedades y teoremas de la transformada de Laplace sin embargo las que acabas

de aprender son las más importantes en cuanto a la solución de ecuaciones

diferenciales por el método de la transformada de Laplace.

Tabla de propiedades: