1 Demostrar por inducci´on la siguiente desigualdad:
n2+ 2n≤2n,∀n≥6
Para esto la demostraci´on consistir´a en dos partes ya que esta desigualdad necesita otra desigualdad
por inducci´on para ser demostrada como se ver´a a continuaci´on:
1.1 Demostraci´on por inducci´on hasta un punto que es donde hay que
demostrar la otra desigualdad:
Para esto el primer caso posible es n= 6 que se cumple ya que:
62+ 2(6) ≤26=⇒36 + 12 ≤64 =⇒48 ≤64
Ahora como hip´otesis de inducci´on para n=kse tiene:
k2+ 2k≤2k,∀k≥6
Se quiere probar para n=k+ 1 que esto es:
(k+ 1)2+ 2(k+ 1) ≤2k+1 ,∀k≥6
Lo cual expandiendo lo del lado izquierdo es:
k2+ 2k+ 1 + 2k+ 2
Como por hip´otesis de inducci´on se tiene k2+ 2k≤2k,∀k≥6 esto se puede cambiar por:
k2+ 2k+ 1 + 2k+ 2 ≤2k+ 2k+ 3,∀k≥6
1.2 Razonamiento para la desigualdad a demostrar:
Ahora para culminar lo que se quiere demostrar es la siguiente desigualdad 2k+ 3 ≤2k,∀k≥6 ya que
si se demuestra esta desigualdad se obtendr´ıa:
(k+ 1)2+ 2(k+ 1) ≤2k+ 2k,∀k≥6
que esto implica
(k+ 1)2+ 2(k+ 1) ≤2k+1 ,∀k≥6
que es lo que se quiere demostrar.
1.3 Demostraci´on por inducci´on de la desigualdad a demostrar para ter-
minar:
Para demostrar la desigualdad que se quiere 2k+ 3 ≤2k,∀k≥6 se har´a por inducci´on tambi´en esto
ser´ıa:
Para esto el primer caso posible es k= 6 que se cumple ya que:
2(6) + 3 ≤26=⇒12 + 3 ≤64 =⇒15 ≤64
Ahora como hip´otesis de inducci´on para k=ase tiene:
2a+ 3 ≤2a,∀a≥6
Se quiere probar para k=a+ 1 que esto es:
2(a+ 1) + 3 ≤2a+1 ,∀a≥6
Lo cual expandiendo lo del lado izquierdo es:
2a+ 2 + 3
Como por hip´otesis de inducci´on se tiene 2a+ 3 ≤2a,∀a≥6 esto se puede cambiar por:
2a+ 2 + 3 ≤2a+ 2,∀a≥6
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