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DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE
matemáticas - grado 10
L
i
b
e
r
t
a
d
y
O
r
d
e
n
Reconoce que no todos los números son racionales, es decir, no
todos los números se pueden escribir como una fracción de
enteros a/b. Por ejemplo, conoce una demostración del hecho de
que 2 no es racional.
Expresa un número racional con expansión decimal periódica o
finita como una fracción. Reconoce que todo número (racional
o irracional) tiene una expansión decimal y encuentra una
sucesión de racionales que lo aproxima. Por ejemplo:
Reconoce que los números racionales tienen expansión decimal
que es finita o infinita eventualmente periódica, mientras que
para los irracionales es infinita y no periódica.
Comprende el concepto de límite de una sucesión.
1
2
Reconoce la familia de funciones logarítmicas f (x) = loga(x) unto
con su dominio, rango, propiedades y gráficas.
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La razón de cambio promedio entre los meses
10 y 30 está dada por:
La razón de cambio promedio es una aproximación al cambio real
pero en muchas ocasiones no lo refleja con precisión. Por ejemplo,
entre el mes 10 y el mes 11 la población creció menos que 510
peces y entre el mes 25 y 26 la población creció más que 510
peces. Sin embargo, al cabo de los 20 meses (entre el mes 10 y el
30) el cambio en la población fue igual al que se hubiera produci-
do si la población hubiese crecido exactamente 510 peces
cada mes.
Por ejemplo, la siguiente gráfica muestra la temperatura C(t) de una
sopa que se colocó sobre un fogón durante 20 minutos y después
se retiró para que se enfriara.
La pendiente de la tangente en (30,C(30)) es aproximadamente
-1,8ºC/min, lo cual significa que la razón de cambio instantáneo de
la temperatura con respecto al tiempo en t=30 es de -1,8ºC/min. Es
decir, alrededor de t=30 minutos, la temperatura disminuyó aproxi-
madamente 1,8ºC cada minuto.
Población
(en cientos de peces)
Reconoce la noción razón de cambio instantáneo de una
función en un punto x=a:
5
a²
b²
a
b2b² a²
=
2 =2=
● Imagine que sombrea medio círculo, después la mitad de lo que
estaba sin sombrear, y así sucesivamente. ¿Qué porción del círculo
ha sombreado en cada paso y cuál es el límite si continúa
indefinidamente?
● El punto de corte con el eje x
es 1.
● A medida que x aumenta, el
valor de la función aumenta.
● El dominio es (0,∞).
● El rango es el conjunto de los
números reales.
Si continuamos este proceso indefinidamente, la porción del círculo
sombreada estará cada vez más cerca del círculo completo.
n = 1
3
4
1
2
n = 2
7
8
n = 3
n
15
16
n = 4
límite
∞
1
2...
3 4
...
n
Porción del círculo
coloreada: n
2
2 - 1
n
2
1
2
1
4
1
0,75
4
3
₊₌
₌4
3
8
1
8
7
₊₌
10
10 20 30
70
56
Tiempo (en meses)
razón de cambio
promedio
cambio en población
cambio en tiempo
=
510 peces/mes
=
5600 peces - 1000 peces
20 meses
2 2,4 2,43 2,429 2,4286 2,42857 · · ·
1 1,4 1,41 1,414 1,4142 1,41421 · · · 2
17
7
=
x
a
AP
P
P
P
Pendiente = Razón de cambio
instantáneo de f en a
t
20 30 5040
10
20
40
60
y
Pendiente = razón de cambio instantánea
≈ -1,8 °C / min
Tiempo en minutos
Temperatura en ºC
● Como la pendiente de la
recta tangente a la gráfica en
el punto A.
● Como el valor al que tienden
las razones de cambio
promedio de la función entre
x=a y puntos cada vez más
cercanos a éste.
y = c(t)
Suponer que 2 se escribe como una fracción lleva a una contradicción.
En cualquier número al cuadrado el número de primos en que se descompone es
par (si descompone cualquier número en primos y se eleva al cuadrado, entonces
cada primo se elevará al cuadrado). Por lo tanto en a² y en b² hay un número par
de 2’s. Así en el lado izquierdo de la última ecuación (2b² ) hay un número impar de
2’s, mientras que en lado derecho (a²) hay un número par de 2’s. Esto muestra que
esos dos lados no pueden ser iguales y, por lo tanto, 2 no puede inscribirse como
una fracción.
x
yy = log₂ x
y = log₃ x
y = log₄ x
21
1
4
Comprende el significado de la razón de cambio promedio
de una función en un intervalo (a partir de gráficas, tablas o
expresiones) y la calcula. Por ejemplo, la gráfica muestra la
cantidad de peces en un lago luego de haber introducido 800
especímenes.
0,874
₌8
7
16
1
16
15
₊₌
0,9375
₌
