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PROBLEMAS RESUELTOS
CAPITULO III
EXCITACIÓN DE CIRCUITOS
MAGNÉTICOS CON AC
PROBLEMAS N° 3.1 : Se proyectó un reactor con 140 láminas de 0,5 mm de
espesor que debería de presentar unas pérdidas por histéresis y corrientes
parásitas de 25 y 30 Watts respectivamente, pero por error en el núcleo se
ensambló con 140 láminas de 0,35 mm
¿Determinar los nuevos valores de pérdidas respectivamente (asumir n= 1,7)
SOLUCIÓN:
Sabemos que:
max ( / )
6
max ( / ) max
2 2 3
2 2
3 1 , 7
f B watts m
t
Pf
Ph f B Watts m f B
n
t: Espesor de cada lámina del núcleo
f: Frecuencia de magnetización
:Resistividad del material ferromagnético ( m)
d
nt
32 , 1 W
Ph
Ph
t
t
t
t
t
t
Am
Am
B max
B max
Ph
Ph
Porlocual :
Ph f Bmax Am (Watts )
Ph f Bmax Am(Watts )
*Paralaspérdidasporhistéresis :
Vol. .Am(Volumenproporcional )
t
t
B max
B max
Esdecir :
B max
B max
Pero: Eef Eef Entonces :
Eef 4 , 44 N f Bmax d 140 0 , 35 10
Eef 4 , 44 N f A B max
Eef 4 , 44 N f Bmax d 140 0 , 5 10
Eef 4 , 44 N f A B max
1
2
07 ,
1
2
2
1
1 , 7
1
2
2
1
1 , 7
2
1
2
1
2
17 ,
2 2
1
1 , 7
1 1
1
2
2
1
2
1
1 2
3
2 2
2 2 2
3
1 1
1 1 1
Pf 0 , 7 Pf 0 , 7 30 21 W
B max
B max
Pf
Pf
Dedonde :
Pf K Bmax 0 , 35 Am
Entonces:Pf K Bmax 0 , 5 Am
Pf K Bmax t Vol.(Watts )
*Paralaspérdidasporcorrientesparásitas :
2 1
2
2
2
1
2
1
2
2 2
2 2
1
2
2
1 1
2 2
PROBLEMA N° 3.2 : Un reactor de núcleo de hierro es excitado por 3
diferentes voltajes que son aplicados sucesivamente a la bobina de excitación
del núcleo mostrado en la figura. La resistencia de la bobina de excitación es
despreciable. El exponente de Steinmetz es n=1,6. Parte de los datos obtenidos
son dados en la tabla. Llenar los espacios en blanco.
Figura P3.2.
VOLTAJE APLICADO
Ph(W) Pf(W) Ptotal(W)
v (t) 140 sen 377 t
1
v (t) 280 sen 377 t
2
v
3
(t) es una onda cuadrada, cuyo
valor pico es 357V y f=120Hz
SOLUCIÓN:
a)
Entonces: Kh 60 0 , 3097 Kf 60 0 , 3097 100 .......................( )
Bmax 0 , 3097 Wb/m
99 4 , 44 f N Bmax Am 4 , 44 60 200 Bmax 60 10
2
140
Vef
Pf Kf f Bmax
Ph Kh f Bmax Kh f Bmax
1 , 6 2 2
2
4
2 2
n 1 , 6
b)
Figura P3.3.
v(t) 220 2 cos 377 t
i (t) 0 , 35 cos 377 t
p
Potencia instantánea:
P( t) v(t) i (t) 220 2 cos 377 t 0 , 35 cos 377 t
p
108 , 9 cos 377 t 54 , 45 W
Pmedia
2
0
2
b)
I I I 1 , 152 A
b 5 , 1136 10 mhos
I
V
X
I 1 , 125 A
I
i 0 , 7 sen 3 wt 2 senwt 0 , 2 cos 3 wt
0 , 2475 A
I
g 1 , 125 10 mhos
P
V
Rp
Rp
V
P
2
m
2
p
3
m
m
m
m
2
2 2
2
m
m
p
3
p
2
FE
2 2
FE
PROBLEMA N° 3.4 : Cuando un voltaje senoidal de 200V eficaces y f = 60
Hz es aplicado a la bobina de excitación de un núcleo ferromagnético, las
pérdidas por histéresis y foucault son 40 y 20 W respectivamente y la densidad
de flujo: Bmax=0,93 Wb/ m
2
. Calcular éstas pérdidas cuando un voltaje:
v (t ) 250 sen 377 t 71 , 5 sen 1131 t
es aplicado a la bobina de excitación.
El exponente de Steinmetz es 1,
SOLUCIÓN:
Figura P3.4.1 Figura P3.4.
Para: v(t) 250 sen 377 t 71 , 5 sen 1131 t
Bmax Vol
6
t f
Pf Kf f Bmax 20
Ph Kh f Bmax 40 Vol f B max
2
2 2 2
2 2
1 , 6 n
Aplicamos superposición:
a)
20 15 , 625 W
200
176 , 78
Pf ´
40 32 , 83 W
200
176 , 78
Ph
V
V ´
Ph ´
B max
B ´max
Pf
Pf ´
B max
B ´max
B max
B ´max
f
f ´
Ph
Ph ´
; (f´ f )
B max
B ´max
f B max
f´ B ´max
V
V ´
V 4 , 4 N Am f Bmax K f B max
176 , 78 V ; f´ 60 Hz ; B´?
2
250
250 sen 377 t: V´ ef
2
1 , 6 1 , 6
1 , 6 1 , 6 2
b)
Pf´´ 0 , 0639 Pf 1 , 278 W
0 , 0639
V
V ´´
f ´´
f
V
V ´´
f
f ´´
B max
B ´´max
f
f ´´
Pf
Pf ´´
Ph´´ 0 , 057 Ph 2 , 3 W
0 , 057
f ´´
f
V
V ´´
f
f ´´
B max
B ´´max
f
f ´´
Ph
Ph ´´
B max
B ´´max
f
f ´´
V
V ´´
50 , 558 V ; f´´ 180 Hz
2
71 , 5
750 sen 1131 t: V´´ ef
2
2 2 2
2
1 , 6 1 , 6
Por lo tanto:
Ph total=Ph´+Ph´´=32,83+2,3=35,13W
Pf total=Pf´+Pf´´=15,625+1,278=16,903W
PROBLEMA N° 3.5 : Se tiene un reactor de núcleo de hierro normalizado E–I
de acero silicoso H-23 que presenta las siguientes características:
Número de Láminas = 60
Voltaje nominal = 110 V
Diámetro de Núcleo=d=2´´
Densidad de Campo Bm = 1 tesla
Peso específico del Fe =
FE
= 7750 Kg/
m
b) Para un entrehierro:
Figura P3.5.
0 , 1490 H
L
46 , 266 10 amp vuelta/ Wb
4 4
2
4
7 4
3
g
eq
c)
g 0 , 5 mm 0 , 5 10 m
3
4 2
g
o g
g
4
4
A
m
m
g
B
g g
4 2
A
B
g
g
B
g
g
g
m g
2
2 g) 8 , 6 10 m
f. a
n t
; S (d/ 2 2 g) (
S
g
3 10 amp vuelta/ Wb
6 d
2 S
n t 7 , 62 10 m
d
S
Pero :
N
Entonces: L
A
A
eq
eq
eq A
A
A
eq
eq eq
I
% I
I 1 , 96 0 , 12 1 , 84 A
1 , 96 A
d n t
150 6 d
I
N
B S
N
H
I
N I H H B S
DelaleydeAmpere :
I 0
ef
ef
ef
ef
ef
eq eq
m
m
m
A
g
m
eq
m B g
m m
m
m m m B g m m m B g
P
a g B
a B
N I
G g A
_
A
_
A
PROBLEMA N° 3.6 : Se quiere construir una bobina para 110 voltios, que
tenga una reactancia de 300Ω a 60 Hz, con una pérdida en el núcleo no
superior a 25watts. Se dispone de láminas de las dimensiones indicadas,
material H-23, 0,5mm. Determinar las dimensiones del núcleo y el número de
espiras que habría que utilizar para reunir los requisitos (f.a = 0,92)
Siendo :
3
23
2
max
; 7 , 75 /
.
2 , 8 gr cm
Kg
Watts
P B
FE H
Curva B- H :
max
max
max
max
H
H
H
B
Figura P3.6.
SOLUCIÓN:
4 3 3
FE
2
N FE max
m
t 5 10 m 7 , 75 10 Kg/ m
P 25 W P 2 , 8 B W
f 60 Hz X 300
V 110 voltios f.a 0 , 92
TOTAL
b) El peso del material ferromagnético utilizado.
c) Los parámetros del circuito equivalente del reactor.
d) La inductancia.
a = 1’’
Figura P3.7.
SOLUCIÓN:
a) Primero hallaremos el número de láminas:
1 , 9812 10 Wb
Ahora: B A 1 , 2 2 ( 2 , 54 10 ) 65 ( 0 , 5 10 )
Tomamos: n 65
n 65 , 1298
4 , 44 60 208 1 , 2 2 ( 2 , 54 10 ) ( 0 , 5 10 )
110
n
4 , 44 f N B 2 a t
V
n
V 4 , 44 f N B A 4 , 44 f N B 2 a n t
3
2 3
m m
2 3
m
m m m
b)
Entonces: Peso W Vol 502 , 45 7 , 75 3894 gr 3 , 894 Kg.
Vol 502 , 45 cm
Vol ( 30 a 6 a 2 a ) n t 15 , 46 10 65 0 , 5 10
Volumen Vol Area n t
3
3 3
g
2 2
d) Con los datos se obtiene el siguiente circuito equivalente:
0 , 41 10 m
3
g
A
B A
H
B A ( H ) A
B A B A
V
I
g
o g
m m
g
m m o g g
m m g g
m g
P
Figura P3.7.
Aplicando la ley de Ampere tenemos:
2 , 1526 A
i
reemplazando en( 3 ) :
comoB 1 , 2 T delacurvaB H H 240 amp vuelta/ m
13 a 13 2 , 54 10 0 , 3302 m
A 2 a n t 1 , 651 10 m
A 1 , 7542 10 m
A ( 2 2 , 54 10 2 0 , 41 10 ) (
f. a
n t
A ( 2 a 2 ) (
A
B A
H
N
i
N i
A
B A
( 1 )en( 2 ): H
H H N i....................( 2 )
7 3
3 3
m m
2
m
3 2
m
3 2
g
3
3
2 3
g
g g g
g
o g
m m
m m
g
o g
m m
m m
m m g g
b Y g 13 , 83 10 mhos
13 , 91 10 mhos
V
I
Y
I I I 1 , 53 84
I g V 1 , 45 10 110 0 , 1595 I 0 , 1595 0
1 , 45 10 mhos
V
P
g
P 4 , 5 3 , 894 17 , 523 Watts
i 2 , 1526 90 I 1 , 5221 90
Tomandocomoreferencia. V 110 0
2 2 3
m
3 o
o P m
P
3
P
3
2 2
pérdidas
pérdidas
m
g 1 , 45 10 mhos , b 13 , 83 10 mhos
I 0 , 1595 0 , I 1 , 5221 90
V 110 0 , I 1 , 53 84
3
m
3
P m
o
d)
Figura P3.8.
2
m
3
m m m
3 2 3 2
m
2 4
g
2
m
m m m g g m m g g
m m g g m
m
3 2
g
g
g g g
B A 1 , 7952 10 B 1 , 3088 Wb/ m
A 2 n t a 2 36 0 , 5 10 1 , 5 2 , 54 10 1 , 3716 10 m
0 , 02 2 , 54 10 5 , 08 10 m
donde 12 a 12 1 , 5 2 , 54 10 0 , 4572 m
H 2 H ....................( )
N
1
H 2 H
N
1
i
H 2 H N i
PorlaleydeAmpere: H.dl N i
A 1 , 4767 10 m
2 0 , 02 0 , 00254
0 , 98
2 36 0 , 0005
A 1 , 5 0 , 0254 2 0 , 02 0 , 0254
2
f. a
2 n t
A a 2
max max max
max max max
H 325 amp vuelta/m H 325 amp vuelta/ m
DelacurvaB HparaelmaterialH 23 ( 0 , 5 mmdeespesor): B 1 , 3 T
max
m m
m
0 , 34 H
L
i 2 , 4597 A
En : i
H 9 , 674 10 amp vuelta/ m
A
B A
A
H
H
A
B A
B
A
B A
Asumiendo B
3
m
5 4
m
5
g
3 7
3
g o
m m
g o
m
g
o g
g
m m
g
m
g g
m g m
max
max
max
max max
max
b)
2 , 5566 H
L
325 0 , 4572 0 , 323 A
H
N
Con 0 i
3
g m m m
max max
c)
Vef 4 , 44 460 54 1 , 7952 10 198 V
Pt( 54 Hz) Ph Pf 17 , 07 W
Pf 54 b 8 , 380584 W
Ph 54 a 8 , 68968 W
Paraf 54 Hz
Resolviendoelsistema: a 0 , 16092 ; b 2 , 874 10
II) 58 a 58 b 19
I) 60 a 60 b 20
B B Ph a f y Pf b f Ph Pf Pt
1 , 7953 10 Wb
4 , 44 460 58
212 , 67
CASOII :
1 , 7952 10 Wb
4 , 44 460 60
220
CASOI: Vef 4 , 44 N f
3
2
3
2
2
2
mI mII
3
m
3
m
m
max
max
max
PROBLEMA N° 3.9 : Se quiere diseñar una bobina como la que se muestra,
para 110V , 60 Hz, que presenta una X
L
=137 Ohmios con pérdidas en el núcleo
no mayor de 1 Watts. Material H-23 (0,5 mm), f.a =0,9 y
mm
g
1
0 , 8
A
A
p 1 , 8 B Watts/Kg 7750 Kg/ m
g
3 m
H 23
2
FE max
¿Determinar el número de láminas y el número de espiras de la bobina?
(sugerencia:
2
N
L )
Figura P3.9.
SOLUCIÓN:
g
m
o
g m
o g m
g
m
m
A
A
A A A
Figura P3.9.
a g
a m
N I
2 ( 8 1 , 5 ) 2 ( 5 1 , 5 ) 20 cm 0 , 2 m.
m
PROBLEMA N° 3.10 : Se ha diseñado un reactor con las siguientes
características:
Vnominal = 220 V
fnominal = 60 Hz
# de espiras N =
# de placas = n = 80
Factor de apilamiento = 0,
Densidad del Fe =7,65 gr /cc
Material : H – 23
t = 0,5 mm
Figura P3.10.
a) Si circula una corriente de 0.825Amp pico a pico por el bobinado de
excitación, determinar la Inductancia L , considerando el entrehierro.
b) Determinar la Inductancia sin considerar el entrehierro, para determinar la
corriente de excitación del caso (a).
c) Si al reactor diseñado, se le somete a las siguientes pruebas:
Vef
1
= 220 voltios f
1
= 60 Hz Pt
1
= 20 watts
Vef
2
= 212.57 voltios f
2
= 58 Hz Pt
2
= 19 watts.
Determinar la tensión y potencia total ( Ph y Pf ), para f = 54 Hz
SOLUCIÓN:
a) Se sabe que:
max
max
max max
m
m
m m
i
N
L i N L
Figura P3.10.
Aplicando la ley de Ampere:
38795 , 9265 amp vuelta/ Wb
A
A 2 , 08435 10 m
A (a ) b 1 , 004 2 , 54 10
A 2 2 , 54 10 80 0 , 5 10 2 , 032 10 m
12 ´´ 0 , 3048 m
N i
B 0 H
2 A
N i
H 0 B
H 2 B A N i
B A B A
H 2 N i
H 2 H N i
o g
g
eq
3 2
g
2
3
2
g g g
2 3 3 2
m
4
g 1
m
m
m
m m
m eq
m
m m
m m m m eq m
max m m g g
m m max eq m
m m g g m
max
max max
max
max max
max max g max
max max
max g max
max max max
De la gráfica del H-23:
Figura P3.10.
b) Sin entrehierro:
1,556H
i
N B A
L
DelatablaB H: B 1,56Wb/m
H 1096,21063amp vuelta/m
N i
N i H H
max
max
max
max
max
max max max
m
m m
2
m
m
m
m
m m m m
c) Se sabe:
L 1 , 3467 H
i
N B A
L
Luego :
3
m
max m
max
Figura P3.11.
a = 1,5´´=
1 , 5 2 , 54 3 , 81 cm 0 , 0381 m
a)
3 3 2
m
max m
4
g
dondeA 2 a n t 2 0 , 0381 36 0 , 5 10 1 , 3716 10 m
I
N B A
L
0 , 02 ´´ 5 , 08 10 m
I 0 , 72 A
Figura P3.11.
Del circuito magnético:
A m
a g 3
M m 2
a m 3
N I
M g 2
a g 1
Am
A m
M m 2 M g 2
a g 3 a m 3
M m 1
536789, 7847 amp vuelta/Wb
2
533386, 4038 amp vuelta/Wb
4 π 10 7, 579 10
5,08 10
μ A
270096, 5828 amp vuelta/Wb
4 π 10 1,4967 10
5,08 10
μ A
A 7,579 10 m
10,16 10 )
0,
36 0,5 10
2 ) (0,0381 2 5,08 10 ) (
f.a
n t
A (a 2 ) (
A 1,4967 10 m
10,16 10 )
0,
36 0,5 10
2 ) (2 0,0381 2 5,08 10 ) (
f.a
n t
A (2a 2 ) (
( )
2
N I
Si B 0 H
( )
A
N I
Si H 0 B
B A ( )
2
N I H
A
B A
B
)
2
) (
2
N I (
g
g g
7 4
4
o g
g
g
7 3
4
o g
g
g
4 2
g
4
3
4
g2 g g
3 2
g
4
3
4
g1 g g
m
m
m m
m g
m m
m m g
m
m m
g
m m
m g g
g
m g
m
m m
1022 , 696 amp vuelta/ m
De( ): H
0 , 4499 0 , 45 Wb/ m
De( ): B
0 , 32385 m
9 a 9 0 , 0381 0 , 3429 m
4 a 4 0 , 0381 0 , 1524 m
m 1
2
3
m 1
m 2
m m 1
m 2
m 1
De la curva B-H:
