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Este trabajo académico explora la teoría de conjuntos numéricos, proporcionando un marco formal para la construcción de los distintos conjuntos numéricos. Se analizan las propiedades de los conjuntos, sus tipos, operaciones y propiedades que los rigen, incluyendo conjuntos finitos, infinitos, iguales, vacíos, unitarios, universales y potencia. Se destaca la importancia de la teoría de conjuntos para comprender conceptos matemáticos avanzados y modelar fenómenos del mundo real.
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Cuevas Alejandra N° De Expediente: 2024100054 González Rossy N° De Expediente: 2024100055 Mayora Paola N° De Expediente: 2024100040 Puello Victoria N° De Expediente: 2024100045 Silva Javier N° De Expediente: 2024100047 DOCENTE: Viloria Edison Guarenas, abril 2024
Índice General…………………………………………………………………………………… Introducción……………………………………………………………………………………. Conjuntos……………………………………………………………………………………….. Teoría de los Conjuntos Numéricos………………………………………………………...…. Tipos de Conjuntos……………………………………………………………………………... Subconjuntos……………………………………………………………………………….…... Por Extensión o Forma Tabular…………………………………………………………...…. Por Comprensión o Forma Constructiva…………………………………………………..... Conclusión………………………………………………………………………………………. Referencias Bibliográficas……………………………………………………………………….
Los conjuntos son una recopilación de elementos que comparten características y que se señalan con corchetes “{}”. Estas pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, figuras, entre otras. Por ejemplo: el conjunto de números primos o el conjunto de planetas del sistema solar. TEORÍA DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Es una rama de las matemáticas y de la lógica que se centra en el estudio de las propiedades de los conjuntos y las operaciones que se pueden realizar entre ellos. Fue incluida como disciplina por el matemático ruso Georg Cantor, quien explicó al conjunto como la recopilación de elementos finitos o infinitos y lo utilizó para explicar las matemáticas. Este estudió el conjunto de números racionales y naturales siendo así su descubrimiento de los conjuntos de números infinitos innovador, ya que reveló la existencia de infinitos de diferentes tamaños al asegurar que siempre se puede encontrar un infinito mayor. TIPOS DE CONJUNTOS ● Los conjuntos numéricos: son las distintas agrupaciones en las que se clasifican los números en función de sus distintas características. Se trata de una construcción abstracta que tiene una importante aplicación en las matemáticas. Los conjuntos numéricos son los complejos, imaginarios, reales, irracionales, racionales, enteros y naturales. ● Los conjuntos finitos: es el conjunto que tiene números de elementos distintos y determinados. Por ejemplo:
A= {x/x es una ciudad de Colombia} B= {x/x es un color del arcoíris} ● Conjunto infinito: cuando no se puede llevar una forma de conteo a los elementos significa que es infinito. Por ejemplo: A= {1, 2, 3, 4, 5, …} ● Conjuntos Iguales: Dos o más conjuntos son iguales, cuando tienen los mismos elementos, tanto en número como en tipo. La igualdad se denota A = B. En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa. Por ejemplo: A = {3, 9,17, 22} y B = {22, 9, 3, 17} A = B ● Conjunto Vacío: Conjunto vacío o nulo, es aquel que no tiene ningún elemento. Se denota por el símbolo ø o {}. Por ejemplo: A = {Los caimanes que vuelan} A = {} A = Ø B = {x / x es un mes que tiene 53 días} B = {} B = Ø ● Conjunto Unitario: Es el conjunto que solo tiene un elemento. Por ejemplo: A = {4} ● Conjunto Universal: Es el conjunto que contiene a todos los elementos del espacio muestral existente. Se denota por la letra U. Por ejemplo: A = {Aves], P = {Peces}, M = {Mamíferos}, D= [Reptiles]. Existe un conjunto que incluye a los conjuntos A, P, M y D. Y este es el conjunto U = {animales}, o conjunto universal.
“El conjunto A = {1, 3, 5} es subconjunto de B = {1, 2, 3, 4, 5} porque los elementos de A están también dentro de B, entonces A ⊆ B.” “El conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros, pues todo número natural es también un número entero, entonces N ⊆ Z” Un conjunto es subconjunto propio de otro si todos los elementos del primero son también elementos del segundo, pero existen elementos del segundo que no están en el primero, es decir que no pueden ser conjuntos iguales; esta relación se simboliza con ⊂ y un ejemplo de ello es: “El conjunto A = {a, b} es subconjunto propio de B = {a, b, c, d} porque los elementos de A están también dentro de B y hay elementos de B que no están en A ("c" y "d”)” Si existe al menos un elemento de A que no está en B, u ocurre que A y B son iguales, entonces se dice que A no es un subconjunto propio de B y se simboliza como A ⊄ B. Como, por Ejemplo: “El conjunto K = {-6, 6} es no es un subconjunto propio de J = {6, -6} porque ambos conjuntos son iguales, entonces M ⊄ N. Sin embargo, ocurre que K ⊆ J, es decir, K es subconjunto de J, pero no es un subconjunto propio” POR EXTENSIÓN O FORMA TABULAR Consiste en nombrar todos y cada uno de los elementos que comprende el conjunto; se escribe separando sus elementos por comas y encerrados entre llaves. Aquí se muestran algunos ejemplos de conjuntos por extensión: “B = {a, e, i, o, u} es un conjunto en el que se indican todos sus elementos, por lo tanto se trata de un conjunto por extensión”
“C = {2, 4, 6, 8, 10} es un conjunto en el que se indican todos sus elementos, por lo tanto es un conjunto por extensión” POR COMPRESIÓN O FORMA CONSTRUCTIVA Es cuando se enuncian las propiedades o características que deben tener sus elementos; se emplea una letra (en la mayoría de ocasiones es x) para representar un elemento cualquiera y se coloca una barra inclinada o el slash ( / ) entre ambas x, Y se lee “tal que”. Su esquema sería de esta manera: Es decir un conjunto está determinado por comprensión cuando menciona las características de los elementos. Aquí se muestran algunos ejemplos de conjuntos por comprensión: “E = {vocales} o E = {x / x son vocales} es un conjunto que viene definido de manera general sin indicar cada uno de sus elementos, por lo tanto se trata de un conjunto por compresión” Otro ejemplo sería: En este primer caso nos dice que el conjunto a está compuesto por todos los elementos que aún no conocemos pero que sus características son: “A = {x | x ∈ N a x >2} el conjunto A está expresado por los elementos pertenecientes al conjunto de los naturales y además que esos elementos son mayores a dos, ”
