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FUNCIONES
Contenido: Definición, dominio, rango y gráfica; Gráfico de funciones elementales: Lineal, afin,
constante, identidad, raíz cuadrada, Vlor absoluto, mayor entero, Exponencial. Logarítmica,
polinómicas, racionales.
VARIABLES - FUNCIONES; DOMINIO; RANGO Y GRÁFICA
Definición: Sean A y B dos conjuntos no vacíos contenidos en R. Decimos que f es una
función de A en B y con dominio 𝐷 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝐴 si y solo si ∀𝑥 ∈ 𝐷, ∃! 𝑦 ∈ 𝐵 tal que
Donde:
𝐷 ⊂ 𝐴 = Dominio de f.
𝐸 ⊂ 𝐵 = rango de f
𝑓(𝑥) = regla de correspondencia (ecuación)
f(x)
𝐴 ⊂ 𝑅
x
y = f(x)
𝐸 ⊂ 𝐵
𝐷 ⊂ 𝐴
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜
También tenemos la representación usando las coordenadas cartesianas:
Definición : Consideremos dos conjuntos cualesquiera A y B, a la relación binaria f de A en B
le llamamos función de A en B, si se cumple que:
i) 𝑓 ⊆ 𝐴 × 𝐵
ii) Si (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑓 ∧ (𝑎, 𝑐) ∈ 𝑓 → 𝑏 = 𝑐
Observaciones :
- Una función de A en B se denota por 𝑓: 𝐴 → 𝐵, donde al conjunto A le llamaremos
“conjunto de partida” y al conjunto B “conjunto de llegada”.
- Simbólicamente se representa por
2
Nota: Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.
𝑓
𝑓
APLICACIONES DE A EN B
Una función f sellama APLICACIÓN de A en B si y solo si 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐴
Observaciones: Dada una función de A en B:
- No puede haber dos pares ordenados distintos en f con la misma primera
componente.
- Puede existir en f varios pares ordenados con la misma segunda componente.
Ejemplo. Halle el valor de k para que el conjunto de pares ordenados
2
- 1 ), ( 6 , 2 𝑘 − 7 )} sea una función. Escriba los elementos
de f.
𝐴 ⊂ 𝑋 = 𝑅
𝐵 ⊂ 𝑌 = 𝑅
0
Dominio: D
R
a
n
g
(x , y)
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑆(𝑥) = 2 ( 6 − 𝑥)𝑥 para 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 (𝑆) = ( 0 , 6 ). Así hemos obtenido 𝑆 = 𝑆(𝑥)
Ahora busquemos 𝑥 0
donde “S”, obtiene su máximo. Completando cuadrados en 𝑆 tenemos:
2
- 18 representa una parábola de 𝑉
Del grafico, observamos que 𝑆(𝑥) toma su valor máximo cuando 𝑥 = 𝑥 0
Es decir 𝑆(𝑥
0
Finalmente observamos también de que 𝑅𝑎𝑛
]
]
CONJUNTO IMAGEN (RANGO ) ⊂
Dada una función 𝑓: 𝐴 → 𝑌 , y un subconjunto 𝑀 ⊂ 𝐴, se define el cojunto imagen de M (vía f)
como el conjunto denotado por 𝑓(𝑀) y descrito por 𝑓
⊂ 𝑌 y viene a ser
el conjunto de todas las imágenes correspondientes a los elementos del conjunto
Ejemplo. Si 𝑀 = ]− 1 , 2 ] hallar 𝑓(𝑀) para le función 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
SOLUCIÓN:
Tenemos que si 𝑥 ∈ 𝑀, entonces
− 1 < 𝑥 ≤ 2 de aquí formemos la función 𝑥
2
Elevo al cuadrado: 0 ≤ 𝑥
2
Sumo 1 : 1 ≤ 𝑥
2
Entonces temos : 1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 5
Es decir, 𝑓(𝑥) ∈ [ 1 , 5 ] para 𝑥 ∈ ]− 1 , 2 ]
Por tanto 𝑓(𝑀) = [ 1 , 5 ]
FUNCIONES CON VARIAS REGLAS DE CORRESPONDENCIA
Se representan mediante:
𝑆 = 𝑆(𝑥)
𝑋
𝑌
0
3 6
18
1
1
2
2
con 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
Entonces, se tiene que:
1
2
1
2
Ejemplo: Halle el dominio, el rango y la gráfica de 𝐹(𝑥) = {
2
1
2
SOLUCIÓN:
a) Tenemos que 𝑓
1
2
- 9 para 𝑥 ∈ (−∞, 3 ) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓
1
Es decir 𝑥 < 3 , elevo al cuadrado ambos miembros
2
Multiplico por – 1: −𝑥
2
Sumo 9 : −𝑥
2
De lo cual se deduce que 𝑅𝑎𝑛
1
]
]
b) Para 𝑓
2
= − 3 𝑥 + 7 con 𝑥 ∈ ( 3 , +∞) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓
2
Es decir, tenemos 𝑥 > 3 de aquí formo 𝑓
2
Multiplico por - 3 : − 3 𝑥 < − 9
Sumo 7 : − 3 𝑥 + 7 < − 2
De lo cual se deduce que 𝑅𝑎𝑛
2
Por tanto de a) y b) se deduce que
1
2
Gráfica:
1
2
Gráfica:
- Función Raíz cuadrada. Notación 𝑦 = √
[
[
[
[
Gráfica:
- Función Valor Absoluto: Notación 𝑦 =
𝐷𝑜𝑚(𝑦) = 𝑅 𝑅𝑎𝑛(𝑦) = [ 0 , +∞[
Esta función está definida por 𝑦 =
Gráfica:
Ejemplo. Grafique la función 𝑦 =
− 2 , luego exprese du dominio y su rango.
SOLUCIÓN:
Usando la definición, tenemos 𝑦 =
Entonces tendremos 𝑦 =
Luego se toma por partes:
a) 𝑦
1
Entonces , si {
b) 𝑦
2
Entonces, si
c) Gráfico:
d) Del gráfico se observa que: 𝐷𝑜𝑚(𝑦) = 𝑅 y 𝑅𝑎𝑛(𝑦) = [− 2 , +∞[
- Función Mayor Entero : Notación: 𝑦 =
Y está definida por 𝑦 = ⟦𝑥⟧ = 𝑛, ↔ 𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1
Por ejemplo: si consideramos el intervalo 2 ≤ 𝑥 < 3 , tenemos que:
Si 𝑥 = 2. 1 , → ⟦ 2. 1 ⟧ = 2 ; 𝑠𝑖 𝑥 = 2. 5 , → ⟦ 2. 5 ⟧ = 2 ; 𝑠𝑖 𝑥 = 2. 8 , ⟦ 2. 8 ⟧ = 2
Para trazar su gráfica, trabajamos por intervalos:
Si − 2 ≤ 𝑥 < − 1 ;
Si − 1 ≤ 𝑥 < 0 ;
Si 0 ≤ 𝑥 < 1 ; ⟦𝑥⟧ = 0 ; 𝑓(𝑥) = 0
Si 1 ≤ 𝑥 < 2 ;
y así sucesivamente…….
( 4 , − 1 ) = 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑜
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑜( 0 , 1 )
- Función Signo. Notación 𝑦 = 𝑠𝑔𝑛(𝑥)
Y se define por 𝑦 = 𝑠𝑔𝑛(𝑥) = {
Gráfica:
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
- Función Seno : Notación 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐷𝑜𝑚(𝑦) = 𝑅 𝑅𝑎𝑛(𝑦) = [− 1 , 1 ]
Es una función impar, pues se cumple que 𝑠𝑒𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥
Período:
[
]
- Función Coseno. Notación: 𝑦 = 𝐶𝑜𝑠(𝑥)
𝐷𝑜𝑚(𝑦) = 𝑅 𝑅𝑎𝑛(𝑦) = [− 1 , 1 ]
Período
[
]
Es una función para, pues se cumple que cos(−𝑥) = cos(𝑥)
Grafica
- Función Tangente : Notación 𝑦 = tan(𝑥)
𝜋
2
3 𝜋
2
5 𝜋
2
Período: 𝜋 que es equivalente a considerar [−
𝜋
2
𝜋
2
]
Es una función impar, pues se cumple que tan(−𝑥) = −tan(𝑥)
Gráfico:
- Función Cotangente : Notación 𝑦 = 𝐶𝑜𝑡(𝑥)
Es una función impar, pues se cumple que: 𝐶𝑜𝑡(−𝑥) = −𝐶𝑜𝑡(𝑥)
Período 𝜋
Gráfica:
- esteban
SEMANA 8 PRÁCTICA
Ejemplo. 1: Halle le dominio, el rango y trace el gráfico de 𝑦 =
2
Solución:
- Dominio: Tenemos 𝑦 = √ 21 − 5 𝑥 − 6 𝑥
2
Se trata de la función raíz cuadrada, luego
2
2
Cuyos valores críticos son 𝑥 =
3
2
7
3
Como 𝑃(𝑥) ≤ 0 , entonces tenemos que el 𝐶 𝑠
= [−
7
3
3
2
] = 𝐷𝑜𝑚(𝑦)
- Rango : Despejo “x”: tenemos 𝑦 = √ 21 − 5 𝑥 − 6 𝑥
2
, que al elevar al cuadrado
tendremos
2
2
, la cual la escribimos como 6 𝑥
2
2
De donde 𝑥 =
5 ± √
(− 5 )
2
− 4 ( 6 )(𝑦
2
− 21 )
2 ( 6 )
5 ±√ 529 − 24 𝑦
2
12
Luego 𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 529 − 24 𝑦
2
2
529
24
529
24
; es decir −√
529
24
529
24
pero nos han
dado 𝑦 =
2
que por definición de raíz cuadrada su valor es mayor o igual a
cero; entonces
= [ 0 ;
529
24
]
- Gráfico: Tenemos 𝑦 = √ 21 − 5 𝑥 − 6 𝑥
2
que al elevar al cuadrado tendremos
6 x
2
2
− 21 ) = 0 ; Donde completando cuadrados tenemos
(𝑥−
5
12
)
2
529
144
𝑦
2
529
24
= 1 Elipse; con
23
√ 24
23
√ 24
5
12
−
7
3
3
2
R
_
Ejemplo. 3: Halle el dominio. El rango y trace el gráfico de 𝑦 = ⟦ √
SOLUCIÓN:
a) Dominio:
Para hallar el dominio, debemos despejar la variable “y”:
Tenemos 𝑦 = ⟦ √
𝑦 ∈ 𝑅 si y solo si: 𝑥 ≥ 0 , 𝑦 𝑛 ∈ 𝑍
0
elevamos al cuadrado: 𝑛
2
2
Luego tomamos intervalos en los cuales la función tenga raíz cuadrada exacta:
Si 0 ≤ √
𝑥⟧ = 0 , → 𝑦 = 0 , para 0 ≤ 𝑥 < 1
Si 1 ≤ √
𝑥⟧ = 1 , → 𝑦 = 1 , para 1 ≤ 𝑥 < 4
Si 2 ≤ √
𝑥⟧ = 2 , → 𝑦 = 2 , para 4 ≤ 𝑥 < 9
Si 3 ≤ √
𝑥⟧ = 3 , → 𝑦 = 3 , para 9 ≤ 𝑥 < 16 y así
sucesivamente……
Por tanto se deduce que 𝐷𝑜𝑚(𝑦) = 𝑅
0
Gráfico:
b) Rango: Del gráfico se observa que 𝑅𝑎𝑛
0
Ejemplo. 4: Halle el dominio, el rango y trace el gráfico de 𝑦 = 𝑥
2
𝑋
𝑌
0
𝑥 = − 2
𝑦 = 3
9
𝑋
𝑌
0 1
1
2
4
(− 3 , 10 )
(− 1 , − 4 )
SOLUCIÓN :
a) Dominio:
Tenemos 𝑦 = 𝑥
2
Que puede escribirse como 𝑦 = (
2
Y que por ser una función entera, entonces su 𝐷𝑜𝑚
b) Rango:
Observamos que (
2
Por tanto deducimos que 𝑦 ≥ − 4
Lo cual implica que 𝑅𝑎𝑛(𝑦) = [− 4 , +∞[
c) Gráfico:
Para éste caso hacemos uso de la definición de valor absoluto:
*: si 𝑥 ≥ 0 ;
2
− 4 ; parábola de 𝑉( 1 , − 4 ); ↑
**: si 𝑥 < 0 ;
2
2
Parábola de 𝑉(− 1 , − 4 ); ↑
Ejemplo. 5 : Halle el dominio, el rango y la gráfica de 𝑦 = 𝑥 − ⟦𝑥⟧
SOLUCIÓN:
a) Dominio:
Sabemos que
Luego:
Si − 2 ≤ 𝑥 < − 1 ;
Si − 1 ≤ 𝑥 < 0 ;
Si 0 ≤ 𝑥 < 1 ;
Si 1 ≤ 𝑥 < 2 ;
= 1 ; 𝑦 = 𝑥 − 1 y así sucesivamente……
Se deduce, entonces que 𝐷𝑜𝑚
b) Rango:
Tenemos por ejemplo, para − 2 ≤ 𝑥 < − 1 ;
Es un segmento de recta, donde
Si 𝑥 = − 2 , → 𝑦
− 4
𝑋
𝑌
0
1
− 1
Luego:
i) Para 𝑥 ∈ (−∞, − 3 ) : → (−𝑥 − 3 )(−𝑥 + 1 ); → (𝑥 + 1 )
2
ii) Para 𝑥 ∈ [− 3 , 1 [ : → (𝑥 + 3 )(−𝑥 + 1 ); → −(𝑥 + 1 )
2
iii) Para 𝑥 ∈
[
[
2
Por tanto se deuce 𝐷𝑜𝑚(𝑦) = 𝑅
b) Rango: Dado que tenemos 𝑦 = √ su 𝑅𝑎𝑛
[
[
c) Gráfico:
Para la parte i) y iii) tenemos que se escribe como
(𝑥+ 1 )
2
4
𝑦
2
4
= 1 la cual representa una
hipérbola de 𝐶(− 1 , 0 ); 𝑎 = 2 = 𝑏 Asíntotas {
Pero solo se toma la rama superior.
Para la parte ii) se escribe: (𝑥 + 1 )
2
2
= 4 , la cual representa una circunferencia de
𝐶(− 1 , 0 ) 𝑦 𝑟 = 2. De la cual también solo se considera la “mitad superior”
Ejemplo. 8: Exprese el rango y trace el gráfico de 𝑦 = {
𝑥+ 5
𝑥− 2
2
[
]
SOLUCIÓN:
Grafiquemos por partes:
a) 𝑦
1
𝑥+ 5
𝑥− 2
Si y solo si 𝑥 − 2 > ± 3 {
Es decir, aquí: 𝑥 ∈ (−∞, − 1 ) ∪ ( 5 , +∞) constituye el 𝐷𝑜𝑚(𝑦
1
Aquí 𝑥 = − 2 es asíntota vertical
Así mismo 𝑦 = 1 es asíntota horizontal
Además {
1
4
3
4
3
2
10
3
10
3
𝑋
𝑌
0
2
Así mismo {
1
3
4
3
4
1
11
4
11
4
b) 𝑦
2
2
Tenemos 𝑥
2
- 4 𝑥 − 1 ≥ 0 se puede escribir
(𝑥+ 2 )
2
5
𝑦
2
5
= 1 la cual
representa una hipérbola de 𝐶(− 2 , 0 ) , con asíntotas {
y se considera la
rama que está en (0, 1),
Escribiendo 𝑦 = 𝑥
2
- 4 𝑥 − 1 , si 𝑦 = 0 , la curva corta al eje X,
− 4 ±√ 16 + 4
2
− 4 ± 2 √ 5
2
Además 𝑦
2
c) 𝑦
3
= 2 + | 2 𝑥 − 5 |, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [ 2 , 3 ]
Escribimos 𝑦
3
5
2
| + 2 , podemos considerar “𝑉 (
5
2
Donde {
3
3
Grafico:
d) Luego el gráfico, se observa que 𝑅𝑎𝑛(𝑦) = (−
4
3
Ejemplo. 9 : Grafique y escriba el dominio, el rango y trace el gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑔𝑛 (
𝑥+ 3
4 −𝑥
)
SOLUCIÓN:
Usamos la definición e función signo:
𝑦 = 𝑆𝑔𝑛 (
𝑥+ 3
4 −𝑥
) =
{
− 1 , 𝑠𝑖
𝑥+ 3
4 −𝑥
< 0
0 , 𝑠𝑖
𝑥+ 3
4 −𝑥
= 0
1 , 𝑠𝑖
𝑥+ 3
4 −𝑥
0
Resolvamos un caso:
5
2
𝑋
𝑌
0
1
1
2
2
3
3
4
5
−
4
3
𝑦
3
𝑦
1
𝑦
1
𝑦
2
𝑦
3
