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Circulo de Mohr
¿Qué es?
Los círculos de Mohr son un método para representar gráficamente el estado
tensional que padece un punto de un sólido en un instante determinado.
Aunque actualmente, gracias a los ordenadores, es posible calcular las tensiones
con gran precisión sin recurrir a estos métodos, siguen siendo de gran validez
puesto que de un solo golpe de vista hacen comprensible la situación tensional del
sólido.
Para poder comprender el tema es necesario conocer los siguientes conceptos
que van de la mano con el tema:
*ESFUERZO
El esfuerzo o tensión se define como una fuerza por unidad de área, con unidades
en psi o MPa. En una pieza sujeta a algunas fuerzas, los esfuerzos se distribuyen
como una función continuamente variable dentro del continuo del material
Cada material puede experimentar esfuerzos distintos al mismo tiempo, por lo que
debemos considerar los esfuerzos como actuando sobre elementos
infinitesimalmente pequeños dentro de la pieza.
El esfuerzo es un tensor de segundo orden y por lo tanto requiere nueve valores
componentes para describirlo en tres dimensiones. El tensor de esfuerzos en tres
dimensiones se puede expresar como la matriz:
[
𝑥𝑥
𝑥𝑦
𝑥𝑧
𝑦𝑥
𝑦𝑦
𝑧𝑥
𝑧𝑦
]
donde la notación para cada componente de esfuerzos contiene tres elementos,
una magnitud (ya sea σ o τ), la dirección de una normal a la superficie de
referencia (primer subíndice) y en una dirección de acción (segundo subíndice).
Usáremos a σ para referirnos a los esfuerzos normales y τ para los esfuerzos
cortantes.
*DEFORMACIÓN
En la región elástica de la mayor parte de los materiales de ingeniería el esfuerzo
y la deformación están relacionados de manera lineal mediante la ley de Hooke.
La deformación es también un tensor de segundo orden y se puede expresar para
el caso tridimensional de la forma
[
𝑥𝑥
𝑥𝑦
𝑥𝑦
𝑦𝑥
𝑦𝑦
𝑦𝑧
𝑧𝑥
𝑧𝑦
𝑧𝑧
]
donde ε representa tanto una deformación normal como una deformación
producida por el esfuerzo cortante, quedando ambas diferenciadas por sus
subíndices.
*ESFUERZOS PRINCIPALES
Los sistemas de ejes tomados en las Figuras son
arbitrarios y, por lo general, se eligen por comodidad al
calcular los esfuerzos aplicados Los esfuerzos normales y
cortantes en el punto variarán con la dirección en cualquier
sistema de coordenadas que se escoja. Siempre habrá
planos sobre los cuales las componentes de esfuerzo
cortante sean igual a cero. Los esfuerzos
normales que actúan sobre esos planos se conocen como
esfuerzos
principales.
* ESFUERZO PLANO Y DEFORMACIÓN PLANA
Esfuerzo Plano
El estado de esfuerzos en dos dimensiones, es decir biaxial,
también se conoce como esfuerzo
plano. El esfuerzo plano requiere que un esfuerzo principal
sea igual a cero. Esta situación es
común en algunas aplicaciones. Por ejemplo, una placa o
un cascarón delgado puede también tener
un estado de esfuerzos plano lejos de sus bordes o de sus
puntos de sujeción
Deformación plana
Hay deformaciones principales asociadas con los esfuerzos principales. Si una de
las deformaciones principales (digamos ε3) es igual a cero, y las deformaciones
restantes son independientes de la dimensión a lo largo de su eje principal, n3,
éste se conocerá como deformación plana.
Ahora bien, una vez que sabemos esto podemos adentrarnos en los círculos de
Mohr que si vienen son una gran herramienta para representar gráficamente el
estado tensional, ya existen distintos softwares y maquinas nos hacen el trabajo.
Cada punto en el círculo de Mohr representa las dos componentes de esfuerzo
𝑥´
𝑥´𝑦´
, que actúan sobre el lado del elemento definido por el eje x´, cuando está
en dirección especifica θ.
Método para graficar el círculo de Mohr
A continuación, describiremos un procedimiento para graficar el
círculo de Mohr para un elemento diferencial sometido a un estado plano de
esfuerzos.
Su tomarán la siguiente convención:
- Los esfuerzos normales se representarán en la abscisa y los esfuerzos
cortantes en la ordenada.
- Los esfuerzos normales de tracción (positivos) se ubicarán en la parte
derecha de la abscisa.
- Los esfuerzos cortantes se tomarán como positivos si en su plano de
acción hacen girar al elemento en sentido contrario a las agujas del reloj.
- Los esfuerzos cortantes positivos se ubicarán en la parte superior de las
ordenadas.
Los pasos a seguir son:
- Graficar los puntos (𝜎 𝑥´
𝑥𝑦
𝑦
𝑦𝑥
) que indican los esfuerzos que actúan
sobre los planos x e y respectivamente.
Note que en este
caso, 𝜏 𝑥𝑦
hace girar al elemento en
sentido antihorario y 𝜏
𝑦𝑥
lo hace girar en
sentido contrario, por lo cual el primero
se ubica en el sector positivo de las
ordenadas, siguiendo la convención
establecida.
- Trazar una línea que una los puntos (𝜎 𝑥
𝑥𝑦
𝑦
𝑦𝑥
)y definir la
Dirección x, como se muestra. Observe que la línea trazada corta el eje de
las abscisas en el valor (𝜎 𝑝𝑟𝑜𝑚
- Con centro en el punto(𝜎
𝑝𝑟𝑜𝑚
, 0 ), trazar una circunferencia que pase por los
puntos(𝜎 𝑥
𝑥𝑦
𝑦
𝑦𝑥
Para determinar el esfuerzo normal y cortante de cualquier plano con dirección
θ, se traza un radio que corte el círculo y esté inclinado un ángulo igual a 2 θ
respecto al eje x
Es importante acotar que se considerarán positivos los
ángulos medidos en sentido antihorario.
Los esfuerzos principales son los cortes de la circunferencia con el
Fuentes:
*Brown, M. A. (2016, 15 julio). REPRESENTACIÓN DEL ESTADO TENSIONAL
DE UN SÓLIDO. CÍRCULOS DE MOHR. PDF. http://lim.ii.udc.es/docencia/din-
sismec/circulos.pdf
*Universidad de los Andes. (2018, 25 febrero). Mecánica de Materiales I. Facultad
de Ingeniería. http://www.ula.ve/facultad
ingenieria/images/mecanica/Mecanica_Materiales/I/Tema4.pdf
*Ruselli, H. (2020). MECANICA DE MATERIALES (8.a ed.). PEARSON
EDUCACION DE MEXICO - 75.
