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Prof. Claudio del Pino O.
SECCI ´ON 9
Superficies param´etricas
9.1 Introducci´on
En este curso ya se han estudiando superficies S que corresponden a gr´aficos de funciones
de dos variables con dos tipos de representaciones:
- Representaci´on expl´ıcita de S, cuando la ecuaci´on que define a S es del tipo z = f (x, y),
como por ejemplo, el paraboloide de ecuaci´on z = x
2
2 , y
- Representaci´on impl´ıcita de S, cuando la ecuaci´on que define a S es del tipo F (x, y, z) =
0, como por ejemplo, la esfera de ecuaci´on x
2
2
2 = a
2
En esta sesi´on se estudia otra forma de presentar una superficie, llamada forma param´etrica.
9.2 Representaci´on param´etrica de superficies
Prof. Claudio del Pino O.
Sea D una regi´on del plano U V y
r =
r (u, v) = x(u, v)
i + y(u, v)
j + z(u, v)
k (9.1)
una funci´on vectorial de D en R
3
. Cuando (u, v) var´ıa en D, los puntos im´agenes (x, y, z)
con
x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) (9.2)
describen una superficie S, llamada superficie param´etrica, la ecuaci´on (9.1) se denomina
ecuaci´on vectorial de S y las ecuaciones (9.2) se denominan ecuaciones param´etricas de S.
Ejemplo 9.1. Considerar la superficie con las siguientes ecuaciones param´etricas:
x = x(u, v) = 2 cos u y = y(u, v) = 2 sin u z = z(u, v) = v (9.3)
con u ∈ [0, 2 π] y v ∈ [0, 3].
En este caso, es f´acil verificar que x
2
2 = 4. Luego esta superficie corresponde a una
porci´on de este cilindro con z (= v) entre 0 y 3.
Ejemplo 9.2. Representaci´on param´etrica de una esfera.
Usando las coordenadas esf´ericas, se tiene que
x = x(u, v) = a sin u cos v y = y(u, v) = a sin u sin v z = z(u, v) = a cos u (9.4)
con u ∈ [0, π] y v ∈ [0, 2 π], corresponden a ecuaciones param´etricas de una esfera centrada
en el origen y de radio a. Verificarlo!.
Ejemplo 9.3. Representaci´on param´etrica de un cono.
Una ecuaci´on param´etrica del cono
x
2
2 = a
2 z
2
viene dada por
S :
x = av cos u
y = av sin u
z = v
con 0 ≤ u ≤ 2 π, v ∈ R.
Prof. Claudio del Pino O.
An´alogamente, la imagen del segmento de ecuaci´on u = v 0 (en D), es una curva C 2 :
r (u, v 0 )
sobre S que tiene a
−→ r (^) u = xu(u 0 , v 0 )
i + yu(u 0 , v 0 )
j + zu(u 0 , v 0 )
k
como vector tangente en P 0.
Luego, si
N =
r (^) u ×
r (^) v es un vector no nulo, es un vector normal a la superficie S en P 0.
Cuando este vector nunca se anula, se dice que la superficie es suave. As´ı entonces, para una
superficie suave el plano tangente es el plano que pasa por le punto P 0 y tiene como vector
normal al vector
N =
r (^) u ×
r (^) v.
Ejemplo 9.4. Determinar la ecuaci´on del plano tangente a la superficie x = u
2 , y = v
2 , z =
uv en su punto correspondiente a u = 1 y v = 1.
Desarrollo: Es claro que:
r (u, v) = u
2 ̂ ı + v
2 ̂ + uv
k
r (^) u(u, v) = 2û ı + v
k
r (^) v(u, v) = 2v ̂ + u
k
r (^) u(1, 1) ×
r (^) v(1, 1) = (2̂ ı +
k) × (2 ̂ +
k) = − 2 ̂ ı − 2 ̂ + 4
k
Luego, el plano tangente buscado es el plano que pasa por el punto (1, 1 , 1) y es perpendicular
al vector (− 2 , − 2 , 4). Luego su ecuaci´on es:
−2(x − 1) − 2(y − 1) + 4(z − 1) = 0
es decir,
x + y − 2 z = 0.
9.4 Area de una superficie param´etrica
Definici´on. El ´area de una superficie S suave, definida param´etricamente, con ecuaciones
param´etricas (9.1), viene dada por
Area de S =
D
r (^) u ×
r (^) v||dA (9.6)
Ejemplo 9.5. Verificar que el ´area de una esfera de radio a es 4πa
2 .
Desarrollo: Trabajando con las ecuaciones (9.4), se tiene:
r (^) u = (−a sin v cos u, a sin v cos u, 0)
r (^) v = (a cos v cos u, a cos v sin u, −a sin v)
Luego, ||ru × rv|| = a
4 sin
2 v. Luego,
A(S) =
D
r (^) u ×
r (^) v||dA =
π
0
2 π
0
a
4 sin
2 v dudv = 4πa
2 .
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9.5 Actividades
- Verificar que las ecuaciones param´etricas:
x = x(u, v) = u sin α cos v y = y(u, v) = u sin α sin v z = z(u, v) = u cos α
con u ≥ 0 y v ∈ [0, 2 π], representan un cono.
- Encontrar una representaci´on param´etrica de las siguientes superficies
a) z = x
2
2 .
b) 3x + 2y − z = 4
c) y
2
2 = 4
d) x
2
2
2 = 2z
- Hallar una ecuaci´on del plano tangente a las superficies param´etricas:
a) x = u + v, y = 3u
2 , z = u − v; en su punto (2, 3 , 0).
b) x = u
2 − v
2 , y = u + v, z = u
2
- 4v; en su punto (− 1 / 4 , 1 / 2 , 2).
c) x = u
2 , y = v
2 , z = u
2
2 ; en su punto correspondiente a u = 1 y v = 1.
Respuesta. (a) 3x − y + 3z = 3
- Verificar que la ecuaci´on del plano tangente a la superficie S de funci´on vectorial
−→ r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) en su punto P = (u 0 , v 0 ), se puede presentar por
x − x(u 0 , v 0 ) y − y(u 0 , v 0 ) z − z(u 0 , v 0 )
∂x
∂u
(u 0 , v 0 )
∂y
∂u
(u 0 , v 0 )
∂z
∂u
(u 0 , v 0 )
∂x
∂v
(u 0 , v 0 )
∂y
∂v
(u 0 , v 0 )
∂z
∂v
(u 0 , v 0 )
- Comprobar, a partir de (9.6), que ´area de una superficie con ecuaci´on expl´ıcita z =
f (x, y) con dominio D, viene dada por
D
1 + (fx)
2
2 dA
- Comprobar que el ´area del cono z =
x
2
2 para 0 ≤ z ≤ a es π
2 a
2 .
- Verificar que el ´area del paraboloide S : z = x
2
2 , para 0 ≤ z ≤ 6 es 62π/3.
- Comprobar que el ´area de la parte del plano x + 2y + z = 4 que se encuentra al interior
del cilindro x
2
2 = 4 es igual a 4
6 π.
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Elipsoide
Hiperboloide de una hoja
Hiperboloide de dos hojas
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Cilindro
Helicoide
Toro
