¡Descarga Capítulo 5 de mecánica de sólidos y más Ejercicios en PDF de Mecánica de Sólidos Aplicados solo en Docsity!
Mecánica de Solidos
Ejemplos del Capítulo V: Deformación Axial
Ejemplo 1
Se aplica una carga de P = 50 kN a un miembro axial compuesto. El segmento (1) es una varilla de
latón sólido [E = 100 GPa] de 20 mm de diámetro. El segmento (2) es una varilla de aluminio sólido [E
= 70 GPa]. Determine el diámetro mínimo del segmento de aluminio si el desplazamiento axial de C
con respecto al soporte A no debe exceder de 5 mm.
Como es una única fuerza aplicada en todo el segmento, se procede a determinar las deformaciones en
los segmentos involucrados:
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
𝑡
1
2
2
2
2
2
2
2
Ejemplo 2
El elemento axial compuesto mostrado consta de un segmento de aluminio sólido [E = 70 GPa] (1) de
20 mm de diámetro, un segmento de aluminio sólido (2) de 24 mm de diámetro y un segmento de
acero sólido [E = 200 GPa] (3), 16 mm de diámetro. Determine los desplazamientos de los puntos B, C
y D en relación con el extremo A.
Se busca la fuerza interna en cada segmento:
Equilibrio:
Se realiza el diagrama de fuerzas axiales:
Se calcula la deformación en cada uno de los segmentos:
1
1
2
2
2
Ejemplo 4
El conjunto mostrado consta de una barra rígida ABC, dos varillas de plástico reforzado con fibra de
vidrio (FRP) (1) y (3), y un poste de FRP (2). El módulo de elasticidad para el FRP es E = 18 GPa.
Determine la desviación vertical de la junta D en relación con su posición inicial después de aplicar la
carga de 30 kN.
Mediante un diagrama de cuerpo libre se determina las fuerzas en cada uno de los elementos
Como F
3
= P = 30 kN, entonces se resuelve las ecuaciones como sigue:
1
3
= 22. 5 𝑘𝑁 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛)
2
1
3
F
2
= 52.5 kN hacia arriba (Compresión)
Ahora se determina las deformaciones en cada uno de los elementos:
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
Se dibuja la geometría de las deformaciones
resultantes:
Se determina que:
𝐴
𝐶
𝐶
𝐵
Se resuelve la regla de 3, para el desplazamiento de C
𝐴
𝐶
𝐶
𝐵
𝐴
𝐶
𝐶
𝐵
𝑐
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
De la figura:
1
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
1
𝐴
1
𝐴
𝐴
1
2
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
2
𝐵
2
𝐵
𝐵
2
𝐶
𝐴
𝐵
Por lo que la deflexión del punto D es:
𝐷
𝐶
3
Ejemplo 5
Una barra de acoplamiento (1) y un puntal de tubo (2) se utilizan para soportar una carga de 50 kN,
como se muestra. Las áreas de la sección transversal son A
1
= 650 mm
2
para la barra de acoplamiento
(1) y A
2
= 925 mm
2
para el puntal de la tubería (2). Ambos miembros están hechos de acero estructural
que tiene un módulo elástico E = 200 GPa.
a) Determine los esfuerzos normales en la barra de acoplamiento (1) y el puntal de la tubería
b) Determine el alargamiento o contracción de cada miembro.
c) Dibuje un diagrama de deformación que muestre la posición desplazada de la articulación B.
d) Calcule los desplazamientos horizontales y verticales de la junta B
Angulo
𝜃 = tan
− 1
A partir de la articulación B se determina las fuerzas en los miembros (1) y (2)
Para la estructura considerada, el diagrama de deformación es de forma cuatro
lados. El ángulo entre el miembro (2) y el eje x es 42.61 °; por lo tanto, el ángulo
obtuso en B debe ser igual
Dado que la suma de los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero debe ser
igual a 360 ° y dado que los ángulos en B 1 y B 2 son cada uno 90 °, el ángulo agudo
en B' debe ser igual
Usando este diagrama de deformación,
podemos determinar las distancias
horizontal y vertical entre la posición
inicial de la junta B y la posición
desplazada de la junta B'.
1
para determinar los valores de a y b:
1
cos 42. 61 = 0. 5226 ∗ cos 42. 61 = 0. 3846 𝑚𝑚
2
Entonces, de la figura:
sin 42. 61 =
sin 42. 61
sin 42. 61
Ejemplo 6
Una viga rígida ABC de 1.5 m de largo está soportada por tres miembros axiales, como se muestra en
la figura que sigue. Se aplica una carga concentrada de 220 kN a la viga rígida directamente debajo de
B. Los miembros axiales (1) conectados en A y en C son barras de aleación de aluminio idénticas [E =
70 GPa], cada una con un área de sección transversal A
1
= 550 mm
2
y una longitud L
1
= 2 m. El
miembro (2) es una barra de acero [E = 200 GPa] con un área de sección transversal A
2
= 900 mm
2
y
una longitud L
2
= 2 m. Todos los miembros están conectados con los pernos simples. Si las tres barras
están inicialmente sin esfuerzos, determine:
a) Los esfuerzos normales en las barras de aluminio y acero
b) La deflexión de la viga rígida después de la aplicación de la carga de 220 kN
Se busca las reacciones para la viga rígida, tomando cada uno de los elementos como apoyo simple
Si simplifica las ecuaciones del momento se obtiene el mismo resultado en ambos casos, por lo que no
se pueden usar como ecuaciones simultaneas:
1
2
Ahora usamos la geometría de las deformaciones para añadir una ecuación más al sistema de
ecuaciones, el desplazamiento de los puntos A y C son iguales debido a que los elementos poseen el
mismo material:
Ahora vamos a determinar la deformación interna de cada elemento:
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
Ejemplo 7
Un tubo de acero (1) está unido a un tubo de aluminio (2) en la unión B. Los tubos están unidos a
soportes rígidos en A y C, respectivamente. El miembro (1) tiene un área de sección transversal A
1
3,600 mm
2
, un módulo de elasticidad E
1
= 200 GPa y un esfuerzo normal permitido de 160 MPa. El
miembro (2) tiene un área de sección transversal A
2
= 2,000 mm
2
, un módulo elástico E
2
= 70 GPa y un
esfuerzo normal permitido de 120 MPa. Determine la carga máxima P que se puede aplicar a la unión
en B sin exceder ninguno de los esfuerzos permitidos.
En primer lugar, se hace la ecuación de equilibro en el eje x
La geometría aporta la siguiente ecuación
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
Esta última ecuación se sustituye en la ecuación de arriba, para obtener:
1
1
1
1
2
2
2
2
Despejamos a F
2
, F
1
por separado.
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
Se sustituye en la ecuación de equilibrio, cada una a parte:
1
1
2
2
1
2
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
Entonces se sustituye a F 1
y F 2
por los esfuerzos máximos permitidos y encontramos a P
1
1
2
2
1
2
1
1 𝑚𝑎𝑥
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2 𝑚𝑎𝑥
2
2
1
1
2
1
2
Entonces se elige P =720 kN
Factor común F
1
y se despeja
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
Por lo tanto, F 2 es:
2
1
Esfuerzos:
1
1
1
2
2
2
Volvamos de nuevo a la relación de triángulos y para ello primero calculamos las deformaciones en las
barras:
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
𝐵
𝐶
𝐷
𝐶
𝐷
𝐷
2
Ejemplo 9
Una varilla de aluminio (1) [E = 70 GPa; α = 22.5 × 10
− 6
/°C] y una barra de latón (2) [E = 105 GPa; α =
18.0 × 10
− 6
/°C] están conectados a soportes rígidos, como se muestra. Las áreas transversales de las
varillas (1) y (2) son 2,000 mm
2
y 3,000 mm
2
, respectivamente. La temperatura de la estructura
aumentará.
a) Determine el aumento de temperatura que cerrará el espacio inicial de 1 mm entre los dos
miembros axiales.
b) Calcule el esfuerzo normal en cada varilla si el aumento de la temperatura total es de 60 ° C.
Para los dos elementos la deformación térmica será de:
Por lo que la temperatura necesaria para unir los elementos será limitada por la separación de 1 mm.
Por lo que se despejara el incremento de temperatura
1 ,𝑇
2 ,𝑇
1
1
2
2
1
1
2
2
[
( 22. 5 × 10
− 6
)( 900 ) + ( 18 × 10
− 6
]
Si la temperatura es de 60 grados, como la separación entre las barras es de 1 mm, esta dilatación
tendrá limitante de 1 mm, por lo que el resto deberá asumirlo los materiales en forma de esfuerzo
interno (que tiende a comprimirlo)
Ayudándonos con las ecuaciones de equilibrio:
Por geometría:
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
Ejemplo 10
Una estructura conectada mediante pin se carga y se soporta como se muestra. El miembro BCDF es
una placa rígida. El miembro (1) es un acero [E = 200 GPa; A
1
= 310 mm
2
; α = 11.9 × 10
− 6
/ ° C] barra, y
el miembro (2) es un aluminio [E = 70 GPa; A
2
= 620 mm
2
; α = 22.5 × 10
− 6
/°C] barra. Se aplica una carga
de 6 kN a la placa en F. Si la temperatura aumenta en 20 °C, calcule los esfuerzos normales en los
miembros (1) y (2)
Aplicar las ecuaciones de equilibrio:
1
2
No es conveniente aplicar ninguna otra ecuación para no complicar
el problema, es decir introducir las reacciones del apoyo C.
Ahora aplicamos la geometría de la deformación:
𝐵
𝐷
Por lo tanto:
1
2
La deformación teniendo en cuenta la temperatura:
Sustituyendo en la ecuación de compatibilidad:
1
2
[
1
1
1
1
1
1
] = −
[
2
2
2
2
2
2
]
En esta ecuación conviene colocar del lado izquierdo las fuerzas y del lado derecho las demás relaciones:
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
Recordar la ecuación de equilibrio es, (ya despejada y reducida):
1
2
Vamos a despejar a F 1 , y a sustituir en la ecuación por compatibilidad:
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
En este paso vamos a sustituir cada uno de los valores conocidos, para trabajar mejor la ecuación resultante:
2
2
) = − [
22. 5 × 10
− 6
] − [
11. 9 × 10
− 6
]
2
2
) = − 1. 79 × 10
− 3
2
2
) = − 1. 79 × 10
− 3
− 1. 6935 × 10
− 3
2
) = − 3. 48355 × 10
− 3
2
− 3. 48355 × 10
− 3
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
+ ( 11. 9 × 10
− 6
) ∗ 20 ∗ 500 = − 0. 0207 mm
2
2
2
2
2
2
2
+ ( 22. 5 × 10
− 6
) ∗ 20 ∗ 400 = 0. 0622 mm
