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Capítulo 3
Flujo eléctrico y ley de Gauss zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW
3.1 CARGA NETA EN UNA REGION
A partir de la densidad de carga, tal como se definió en la sección 2.3, es posible obtener, por integración,
la carga neta que está contenida en un volumen específico. ComojihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
d Q LKJIHGFEDCBA= p d v ( C )
. entonces
Q=XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAf p d v (C) v
Por supuesto, p no necesita ser constante en todo el volumen v.
3.2 FLUJO ELECTRICO y DENSIDAD DE FLUJO
Por definición, el flu jo e lé c tr ic o. 'P, se origina en cargas positivas y termina en cargas negativas. En
ausencia de cargas negativas, el flujo 'P termina en el infinito. También por definición, un coulomb de
carga eléctrica da lugar a un coulomb de flujo eléctrico. En consecuencia
En la figura 3-1 ( a ) las líneas de flujo aban-
donan + Q y terminan en - Q. Esto supo-
ne que las d os cargas son de igual magnitud.
El caso en que hay una carga positiva y
ninguna carga negativa en la región apare-
ce ilustrado en la figura 3-1 ( b ) Aquí las
líneas de flujo están igualmente espaciadas
a través del ángulo sólido y se alejan hacia
el infinito.
M ientras que el flujo eléctrico 'P es una cantidad escalar, la d e n s id a d d e flu jo e lé c tr ic o. D, es un campo
vectorial que toma la dirección de las líneas de flujo. Si en la vecindad del punto P las líneas de flujo tienen la
dirección del ve ctor unidad a (ver figura 3-2) y si una cantidad de flujo d 'P cruza el área diferencial d S , que es
normal a a, entonces la densidad de flujo eléctrico en P es
'P=Q ( C )
+ Q.^ ~....... - Q
( a )
( b )
Fig. 3-
D
28 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS [CAP. 3
U na distribución volumétrica de carga de densidadjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( C j m ') aparece rodeada por la superficie S en la
figura 3-3. Ya que cada coulomb de carga Q , tiene por definición, un coulomb de flujo q/, se deduce que el
flujo neto que cruza la superficie cerrada S es una medida exacta de la carga neta encerrada. Sin embargo, la
densidad D puede variar en magnitud y dirección en cada punto de S. En general D no estará a lo largo de la
normal a S. Si, en el elemento de superficie d S, D hace un ángulo ()con la normal, entonces el flujo diferencial
que cruza d S está dado por
d 'l' = D d S cos ()
= D· d s « ,
= D ·d S
donde d S es el elemento vectorial de superficie, de magnitud d S y dirección 8 n • El vector unidad a, se toma
siempre apuntando hacia afuera de S, de tal manera que d 'l' sea la cantidad de flujo que pasa desde el inte-
rior hasta el exterior de S a través de d S.
3.3 LEY DE GAUSS
La integración de la expresión anterior para d '1' sobre la superficie cerrada S da, puesto que q¡ = Q ,
f D ' d S = e.,
Esta es la ley de Gauss, que establece que e l flu jo to ta l q u e s a le d e u n a s u p e r fic ie c e r r a d a e s ig u a l a la
c a r g a n e ta c o n te n id a d e n tr o d e la s u p e r fic ie. Se verá que una gran cantidad de información valiosa puede ser
obtenida mediante la aplicación de la Ley de Gauss sin llevar a cabo necesariamente la integración.
3.4 RELACION ENTRE LA DENSIDAD DE FLUJO
Y LA INTENSIDAD DEL CAM PO ELECTRICO
z
Q = f D. d S = D f d S = D (4 n r 2 )
de donde D = Q /4 n r 2 • Así pues
Q Q
D = --24 n r a n = 4 '" r,. 2 a,
Considérese una carga puntual Q (positiva, para simplificar)
localizada en el origen (figura 3-4). Si está encerrada por una super-
ficie esférica de radio r , entonces, por simetría, D debida a Q es de
magnitud constante sobre la superficie y es en todo punto normal a
ella. La ley de Gauss dice entonces que
Fig. 3-
Pero, como se estableció en la sección 2-2, la intensidad del campo eléctrico debido a Q es
Se concluye que D = { o E.
M ás en general, para cualquier campo eléctrico en un medio isotrópico de permitividad e ,
D = {E
Así pues, los campos D y E tendrán exactamente la misma forma, ya que difieren solamente por un
factor que es una constante del medio. M ientras el campo eléctrico E debido a una configuración de carga es
una función de la permitividad E, la densidad de flujo eléctrico no lo es. En problemas que involucran múlti-
ples dieléctricos se encontrará una ventaja particular al obtener D primero y luego convertir a E dentro de
cada dieléctrico.
3.5 SUPERFICIES GAUSIANAS ESPECIALES
La superficie esférica utilizada en la derivación de la sección 3.4 es una superficie gausiana especial por-
que satisface las siguientes condiciones definitorias:
30 FLUJO^ ELECTRICO^ y^ LEY^ DE^ GAUSS^ [CAP. 3
Problemas resueltos
3.1. Halle la carga en el volumen definido porO ~jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx ~ l m, O ~ Y ~ l mLKJIHGFEDCBAy O ~ z ~ l m, siXWVUTSRQPONMLKp = 3 0 x^2 y
(p. C ] m '). ¿Qué cambio ocurre para los límites - I ~ Y ~ O m?
Como d Q = p d v, z^ p (x,y,z) 1 1 1 Q = J J f 3 0 x2 yd xd yd z
o o o
= 5 J. 1. C
Para el cambio en los límites de y. I o 1 Q = J f J 3 0 x2 yd xd yd z o - 1 o = - 5 J. 1. C
x
Fig. 3-
3.2. Halle la carga en el volumen definido por I ~ r ~ 2 m en coordenadas esféricas si
Por integración,
3.3. Tres cargas puntuales, Q ¡ = 30 nC, Q 2 = 150 nC y Q 3 = -70 nC, están encerradas por una super-
ficie S.
¿Qué flujo neto cruza por S?
Como el flujo eléctrico tiene, por definición, el origen en una carga positiva y su término en una carga nega- tiva, parte del flujo de las cargas positivas termina en la carga negativa.
'I'neto= Qneto = 30 + J 50 - 70 = J 10 nC
3.4. ¿Qué flujo neto cruza la superficie cerrada S que se muestra en la figura 3-8, que contiene una distri-
bución de carga en la forma de disco plano de radio 4 m, con una densidad p , = (sen? < p ) /2 r
( C j m 2 )? 2 n 4 (sen2cjJ) '1' = Q = J f. _ - r d r d c j J = 211: C o o 2r
s
Fig. 3-8 Fig. 3-
3.5. Dos cargas de la misma magnitud pero de signos opuestos están encerrados por una superficie S.
¿Puede un flujo '1' cruzar la superficie?
M ientras el flujo puede cruzar la superficie, como se muestra en la figura 3-9, el flujo n e to fu e r a d e S será cero si las cargas son de la misma magnitud.
CAP. 3] FLUJO^ ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy^ LEY DE GAUSS
3.6. Un disco circular de radio4 m con densidad de cargajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP. = 12 sen 1 > p.XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAC I m? está encerrado por una
superficie S. ¿Qué flujo neto cruza por S?
2x 4 'P=Q= f f (12senq,)rdrdq,=OJlC o o
Como el disco contiene cantidades iguales de cargas positivas y negativas [sen (q, + 7t ) = - sen q,] no
hay un flujo neto que cruce por S.
3.7. Carga^ en la forma^ de una^ hoja^ plana^ con densidad P s = 40p.Cjm^2 está localizada
en z = - 0.5 m. U na carga lineal unifor-
me de P t = - 6 p. C j m yace a lo largo del
eje y. ¿Qué flujo neto cruza la superficie
de un cubo de 2 m de arista, centrado en el
origen, tal como se muestra en la figura
z
La carga encerrada en el plano es Q = (4 m - ) ( 4 0 J l C / m 2 ) = 160 ¡,¡C y la carga lineal Q =
(2 m)(- 6 J l C j m ) = - 12 ¡,¡C
Entonces,Qenc = 'P = 160 - 12 = 148 J 1 C
x
Fig. 3-
3.8. U na^ carga^ puntual^ Q^ está^ en^ el^ origen
de un sistema de coordenadas esféricas.
Encontrar el flujo que cruza la porción
de una concha esférica descrita por
()(~ ()S (3(figura3-II). ¿Cuál es el re-
sultado si a = O Y P = 1 t j 2?
z
El flujo total 'P = Q cruza una concha esférica completa de área 4 n r ". El área de la franja está dada por
- P A = f f r 2 sen8d8dq, o •
= 2 n r 2 ( - cos fJ + cos IX)
Entonces el flujo a través de la franja es A Q J
'f. neto - - - 4 1 t r 2 Q = - 2 ( - cos f 3 + cos IX)
Para IX = O, fJ n /2 (un hemisfe-
rio) el flujo viene a ser 'Pneto= Q f 2.
Fig. 3-
3.9. U na carga lineal uniforme, con p ( = 50 J i. C j m , yace a lo largo del eje x. ¿Qué flujo por unidad de longitud, 'l' I L, cruza la porción del plano z = - 3 m limitado por y = ± 2 m?
El flujo está uniformemente distribuido alrededor de la línea de carga. Así pues, la cantidad que cruza la franja se obtiene a partir del ángulo subtendido comparado con 2 7t. En la figura 3-12.
IX = 2arctan (~) = 1.I76-rad
Entonces
!. = 50(1.176) = 9.36 J 1 C f m L 2 n
3 1
CAP. 3] FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS 33
3.13. Dado que DLKJIHGFEDCBA= lüxa, (e/m^2 ), determine el flujo que cruza un área de 1 ms quees normal aleje xenjihgfedcbaZYXWV x = 3 m.
Como D es constante en toda el área y es perpendicular a ella,
3.14. Determine el flujo que cruza un área de 1 mm? sobre la superficie de una concha cilíndrica en r = 1 0
m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAZ = 2 m, tP = 53.2^0 si
D = 2 xa (^) x + 2(1 - y)a , + 4zaz (e/m2) z
En el punto P (ver figura 3-15),
x = 1Ocos53.2° = 6
Y = 1Osen53.2° = 8
Entonces, en P ,
D = 12a" - 14a, + 8az C/m^2
El área de 1 rnm? = 10 - 6 m>,que es muy pequeña compa-
rada con las unidades en D, puede aproximarse así:
x
Por lo tanto, Fig.^ 3-
d 'l' = D' d S = (12a" - 14ay + 8az)' 1O-^6 (0.6a" + 0.8ay) = -4.0 ¡ ,tC
El signo negativo indica que el flujo cruza esta superficie diferencial dirigiéndose hacia el eje z antes que
hacia afuera en la dirección de d S.
3.15. Dada una densidad de flujo eléctrico D = Zxa; + 3a, (Cj m-), determine el flujo neto que cruza la
superficie de un cubo de 2 m de arista centrado en el origen. (Las aristas del cubo son paralelas a los
ejes coordenados.)
'I'=fD'dS= f (2a,,+3ay)'(dSa,,)+ J (~2a,,+3ay)· (-dSa,,) x=l x=-l
f [Zxa, + 3ay). (d S ay) + f (2xa" + 3ay). (-d S ay) , = 1 y = - I
f (2xa" + 3a~).' (d S az) + f ' (2xa" + 3a,). (-d S a.) e= 1 :=-
J
= 2 f d S + 2 f d S + 3 f d S - 3 f d S + O + O
,,=1 ,,=-1 y = 1 , = - 1
= (2 + 2 + 3 - 3)(2^2 } = 16 C
3.16. Una carga lineal uniforme de p ( = 3 p.e/m yace a lo largo del eje z. y un cilindro circular concén-
trico de radio 2 m tiene P s = ( - 1.5/47t) u C ] m^2 • Ambas distribuciones son infinitas en el sentido
de z. Use la ley de Gauss para encontrar D en todas las regiones.
Utilizando la superficie gausiana especial A que aparece en la figura 3-16 y procediendo como en el ejem-
plo 1, sección 3.5,
D - P t
34
FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS
Utilizando la superficie gausiana especialXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAB.
e., = f D· jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAd S
(P t + 4 7 tp .)L = D (2 Ttr L)
de lo que se desprende que
D _ P t + 4 7 tP.
[CAP. 3
z
t
Fig. 3-
z
t
oo
Jt-
~ d Z
T
y
X t -
Fig. 3-
Una configuración de carga en coordenadas cilíndricas está dada por P = Sr e : 2 r (C/m^3 ). Utilice
la ley de Gauss para hall~r D. ".
Como P no es una función de ( j J o z. el flujo '1' es completamente radial. También es cierto que, para r constante, la densidad de flujo D debe ser de magnitud constante. Entonces la superficie gausiana especial apropiada es un cilindro circular recto cerrado. La integral sobre los planos extremos se elimina, y la ley de Gauss es .\
3.19. Un volumen que, en coordenadas cilíndricas, está entre r = 2 m y r = 4 m contiene una densidad
uniforme de carga p (C/m^3 ). Utilice la ley de Gauss para hallar D en todas las regiones.
Para los datos numéricos,
-- Sr (¡ .tC ¡ m^2 ) r D = 0. -- Sr (¡ .tC /m 2 ) r
0<r<2m
r>2m
3.17. Utilice la ley de Gauss para demostrar que D y E son igua-
les a cero en todos los puntos del plano de un anillo circu-
lar uniformemente cargado, que están dentro del anillo.
Considere, en lugar de un anillo, la configuración de carga que aparece en la figura 3-17, donde el cilindro uniformemente cargado es infinito en extensión y está formado por muchos ani- llos. Para la superficie gausiana l.
Qenc = O = D f d S
En consecuencia D = O para r < R. Puesto que '1' tiene direc-
ción radial, se puede tomar una tajada d z del cilindro de carga y el resultado que se encontró arriba se puede aplicar también a este anillo. Para todos los puntos que están dentro del anillo y en el plano del anillo, D y E son cero.
e., = f D· d S superficie lateral'
L 2ft , f f f 5 r e - 2r r d r d ( j J d z = D (2 n r L) O O O
5 n L[ e -2 r ( _ r 2 - r - 1 ) + 1 ] = D (2 n r L)
Por consiguiente D = 2.5 [1- e - 2r(r^2 + r + 1)]Sr (C/m2)
r
36 FLUJO^ ELECTRICO^ y^ LEY DE GAUSS^ [CAP. 3
dondejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA es el área. Por consiguiente,
y ELKJIHGFEDCBA=^ XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAI!!^.^ a.^ (V/m) (o
Ambos están dirigidos de la placa positiva a la negativa.
Problemas suplementarios
3.22. Halle la carga neta encerrada en cubo de 2 m de arista, paralelo a los ejes y centrado en el origen, si la densidad de carga es
R e s p. 8 4 .9 }J .C
3.23. Halle la carga encerrada en el volumen I :s; r :s; 3 m, O :s; < p :s; n ] 3, O :s; z :s; 2 m dada la densidad de carga
P = 2 z sen-' < p (C/m). R e s p. 4.91 C
3.24. Dada una densidad de carga en coordenadas esféricas,
halle las cantidades de carga en los volúmenes esféricos encerrados por, = '0' r = 5'0 Y r = co.
R e s p. 3.97 P o r ~ , 6.24 P o r ~ , 6.28 P o r~
3.25. U na superficie S contiene una distribución uniforme finita de carga, O :s; t :s; n m, con densidad de carga
¿Qué flujo neto cruza la superficie S? (^) R e s p. - 2 p o (C)
3.26. Hay una carga distribuida en, una región esférica, :s; 2 m con densidad
¿Qué flujo neto cruza las superficies, = I m, r = 4 m, y r = 500 m?
R e s p. -8001t }J .C , -l600n }J .C , -l600n}J.C
3.27. Una carga puntual Q se encuentra en el origen de las coordenadas esféricas y una distribución de concha esférica en r = a tiene una carga total de Q ' - Q uniformemente distribuida. ¿Qué flujo cruza la superficie, = k para k < a y k > a? R e s p. Q , Q '
3.28. Una carga lineal uniforme con p , = 3 }J .C /m yace a lo largo del eje x. ¿Qué flujo cruza una superficie esférica centrada en el origen con, = 3 m? R e s p. 18}J.C
3.29. Una carga puntual Q se encuentra en el origen. Halle una expresión para el flujo que cruza la porción de una
esfera, centrada en el origen, descrita por IX :s; < p :s; p. R e s p.
{ J - IX
-Q
2n
CAP. 3) FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAy LEY DE GAUSS 37
3.30. U na carga puntual dejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ (C) está en el centro de un sistema coordenado esférico. Halle el flujo 'fI que cruza un área de 41t m^2 sobre una concha esférica concéntrica de radio 3 m. R e s p .XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ 1 9 (C)
3.31. Un área de 40.2 m^2 sobre la superficie de una concha esférica de radio 4 m está cruzada por 10 J .le de flujo en dirección interna. ¿Qué carga puntual está localizada en el origen? R e s p. - 50 J .le
3.32. Una carga lineal uniforme con P t yace a lo largo del eje x. ¿Qué porcentaje de flujo de la línea cruza la franja del plano y = 6 que contiene -1 ::; z : : ; I? R e s p. 5 .2 6 %
3.33. Una carga puntual, Q = 3 rrC, está localizada en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. ¿Qué flujo
'JI cruza la porción del plazo z = 2 m para el que -4 ::; x : : ; 4 m y -4 ::; Y : : ; 4 m? R e s p. 0.5 nC
3.34. Una carga lineal uniforme con p , = 5 / J C f m yace a lo largo del eje x. Halle D en (3, 2, 1) m.
R e s p. (O.356)(2afi a.) J .le /m 2
3.35. U na carga puntual de + Q se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas esféricas, rodeado por una
distribución concéntrica uniforme de carga sobre una concha esférica en r = a para la cual la carga total es - Q.
Halle el flujo 'fI que cruza las superficies esféricas en r < a y r > a. Obtenga D en todas las regiones.
R e s p. 'fI = 4 1 t,2 D = 10+ Q r < a
1 ,>a
3.36. Dado que D = 5 0 0 e -O ' 1 x a x (J .le l m-), halle el flujo 'fI que cruza una superficie de área l rn? normal al eje x y
localizado en x = l m, x = 5m, y x = 10 m. R e s p. 4 5 2 J .tC , 3 0 3 J .le , 184 J .le
3.37. Dado que D = 5 x^2 a x + l Oza , (e l m^2 ) , halle el flujo neto saliente que cruza la superficie de un cubo de 2 m de
arista centrado en el origen. Las aristas del cubo son paralelas a los ejes. R e s p. 80 e
3.38. Dado que
en coordenadas cilíndricas, halle el flujo saliente que cruza el cilindro circular recto descrito por, = 2 b , z= O , y z = 5 b ( m ). R e s p. 1 2 9 b^2 ( C )
3.39. Dado que
sencjJ
D = 2,coscjJa.; - 3 r a.
en coordenadas cilíndricas, halle el flujo que cruza la porción del plano z =0 definido por, ::; a , O ::; c jJ : : ; 1 t/. Repita el ejercicio para 31t I 2 ::; c jJ : : ; 2/t. Suponga que el flujo positivo tiene la dirección de az' Resp.^ a^ a
3.40. En coordenadas cilíndricas, el disco, ::; a , z = O contiene carga con densidad no uniforme p ,(r , c jJ ). Utilice superficies gausianas especiales apropiadas para encontrar valores aproximados de D sobre el eje z , ( a ) muy cerca al disco (O < z ~ a ) , ( b ) muy lejos del disco ( z ~ a ).
R e s p. (a )^ p ,(O ,c jJ );^ (b ).J L^ donde^ Q^ =^ r^ fG p ,(r ,c jJ )r d r d c jJ
2 4 n z^2 o o
3.41. Una carga puntual Q = 2000 pC, está en el origen de coordenadas esféricas. Una distribución esférica concéntrica de carga en r = l m tiene una densidad de carga p s = 401t pe 1 m 2 • ¿Qué densidad superficial de carga
sobre una concha concéntrica en r = 2 m produciría D = O para, > 2 m? R e s p. -71.2 p e l m?
3.42. Dada una distribución de carga con densidad P = 5, (e l rn ') en coordenadas esféricas, utilice la ley de Gauss para hallar D. R e s p. (5r^2 /4}a, (e/m2)
