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3.1. Campos magnetostáticos 3.1.1. Ley de Biot-Savart
Poco tiempo después del descubrimiento de Oersted en 1819, donde la aguja de la brújula se desviaba a causa de la presencia de un conductor portador de corriente, Jean Baptiste Biot y Felix Savart informaron que un conductor de corriente estable produce fuerzas sobre un imán. De sus resultados experimentales, Biot y Savart fueron capaces de llegar a una expresión de la que se obtiene el campo magnético en un punto dado del espacio en términos de la corriente que produce el campo.
3.1.2. Ley de Apere de los circuitos (Ecuación de Maxwell).
Si suponemos que el solenoide es muy largo y estrecho, el campo es
aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide, y es nulo
fuera del solenoide. En esta aproximación es aplicable la ley de Ampère.
El primer miembro, es la circulación del campo magnético a lo largo de un camino
cerrado, y en el segundo miembro el término I se refiere a la intensidad que
atraviesa dicho camino cerrado.
Para determinar el campo magnético, aplicando la ley de Ampère, tomamos un
camino cerrado ABCD que sea atravesado por corrientes. La circulación es la
suma de cuatro contribuciones, una por cada lado.
Examinaremos, ahora cada una de las contribuciones a la circulación:
- Como vemos en la figura la contribución a la circulación del lado AB es cero ya que bien y son perpendiculares, o bien es nulo en el exterior del solenoide.
- Lo mismo ocurre en el lado CD.
- En el lado DA la contribución es cero, ya que el campo en el exterior al solenoide es cero.
- En el lado BC, el campo es constante y paralelo al lado, la contribución a la circulación es Bx, siendo x la longitud del lado.
La corriente que atraviesa el camino cerrado ABCD se puede calcular fácilmente:
Si hay N espiras en la longitud L del solenoide en la longitud x habrá Nx/L espiras
por las que circula una intensidad I. Por tanto, la ley de Ampère se escribe para el
solenoide.
En el laboratorio, se emplean limaduras de hierro para hacer visibles las líneas del
campo magnético, este procedimiento es muy limitado y requiere bastante cuidado
por parte del experimentador.
En el programa de ordenador se calcula, aplicando la ley de Biot-Savart, el campo
magnético producido por cada espira en un punto de su plano meridiano, mediante
procedimientos numéricos. Posteriormente, determina el campo magnético
resultante, sumando vectorialmente el campo producido por cada espira en dicho
punto. Posteriormente, se trazan las líneas del campo magnético que pasan por
puntos equidistantes a lo largo del diámetro del solenoide.
Podemos ver el mapa de las líneas del campo magnético de:
- Una espira circular
- Dos espiras, esta disposición simula las denominadas bobinas de Helmholtz, utilizadas en el laboratorio para producir campos magnéticos aproximadamente uniformes en la región entre las dos bobinas.
- Muchas espiras iguales y equidistantes, que simula el solenoide.
- La dirección del campo en un punto P, es perpendicular al plano determinado por la corriente y el punto.
- Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r , centrada en la corriente rectilínea, y situada en una plano perpendicular a la misma.
- El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r , paralelo al vector dl.
- El módulo del campo magnético B tiene tiene el mismo valor en todos los puntos de dicha circunferencia.
La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale
- La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r.
- Despejamos el módulo del campo magnético B.
Llegamos a la expresión obtenida aplicando la ley de Biot.
Campo magnético producido por una corriente que
circula a lo largo de un cilindro hueco.
En el siguiente applet se representa mediante flechas el campo magnético producido por
una corriente rectilínea indefinida, perpendicular al plano del applet y dirigida hacia el
lector.
Pulsando en el botón titulado Siguiente , se representa el campo magnético producido por
dos, tres, cuatro, etc, corrientes rectilíneas indefinidas situadas sobre la superficie lateral y
paralelas al eje de un cilindro de radio a.
Cuando el número de corrientes equidistantes es grande, se anula el campo magnético en el
interior, (para r<a ), en el exterior el campo magnético es tangente a circunferencias
concéntricas de radio r > a. Vamos a ver cómo en esta situación es aplicable la ley de
Ampère.
Apliquemos la ley de Ampère a una corriente rectilínea indefinida uniformemente distribuida en su sección y que circula a lo largo de un cilindro hueco de radio interior a y exterior b.
- Como hemos observado en el applet, la dirección del campo magnético en el punto P es perpendicular al plano determinado por el eje de la corriente cilíndrica y el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro en el eje y que pasa por el punto P. 2. La simetría de la distribución de corrientes nos indica que el camino cerrado que tenemos que elegir es una circunferencia de radio r , centrada en el eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo. La circulación del campo magnético B a lo largo de dicha circunferencia tiene la misma expresión que para la corriente rectilínea
B·2 π r
- Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en color azul) en los tres casos siguientes.
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r>b es la intensidad i. El módulo del campo magnético B en un punto P situado a una distancia r del eje de la corriente cilíndrica es
3.1.3. Densidad de flujo magnético (Ecuación de Maxwell).
El flujo magnético generalmente representado con la letra griega Φ , es una
medida de la cantidad de magnetismo, a partir de la fuerza y la extensión de un
campomagnético
El flujo ( Φ ) a través de un área perpendicular a la dirección del campo magnético,
viene dado por el producto de la densidad de campo magnético o número de
líneas de fuerza por unidad de superficie ( B ) por la superficie ( S ).
Si la superficie no es perpendicular a la dirección del campo sino que forma con
este un ángulo (φ), la expresión anterior se transforma en:
De forma más general, el flujo magnético elemental, cuando el campo no es
uniforme, viene definido por:
de donde, Φ es igual a:
La unidad de flujo magnético en el Sistema Internacional de Unidades es el weber
Flujo magnético
El flujo magnético está representado por líneas de fuerza magnética. El número
total de líneas de fuerza creadas por un campo magnético se llama flujo magnético
(representado por la letra griega ). La unidad de flujo magnético es una sola línea
de fuerza, designada maxwell. En el sistema mks, se usa una unidad mayor, el
weber; 1 weber = 100.000.000 o 10^8 maxwells. El número de líneas de fuerza que
pasan perpendicularmente por un área de 1 centímetro cuadrado se denomina
densidad de flujo (B) y se mide en gauss (1 gauss = 1 maxwell/cm^2 ). La unidad de
densidad de flujo en el sistema mks es el weber/m^2 , el cual es equivalente a
10.000 gauss. De estas definiciones se deduce que, FLUJO TOTAL= DENSIDAD
DE FLUJO X AREA DE LA SECCION
Ф = B cdot A
Flujo magnético
El flujo magnético está representado por líneas de fuerza magnética. El número total de líneas de fuerza creadas por un campo magnético se
llama flujo magnético (representado por la letra griega ). La unidad de flujo magnético es una sola línea de fuerza, designada maxwell. En el sistema mks, se usa una unidad mayor, el weber ; 1 weber = 100.000.000 o 10^8 maxwells. El número de líneas de fuerza que pasan perpendiculaimente por un área de 1 centímetro cuadrado se denomina densidad de flujo (B) y se mide en gauss (1 gauss = 1 maxwell/cm^2 ). La unidad de densidad de flujo en el sistema mks es el weber/m^2 , el cual es equivalente a 10.000 gauss. De estas definiciones se deduce que,
PROBLEMA. Computar la densidad de flujo en la bobina de un parlante cuya área es 6,45 cm^2 , si el flujo total en la región es de 15.000 líneas (maxwells).
SOLUCIóN.
(curva B-H ). En el aire o en el vacío, μ = 1 , y por lo tanto, la intensidad de campo (H) y la densidad de flujo (B) son numéricamente iguales. Consecuentemente, la permeabilidad puede definirse también como la relación de la intensidad de flujo que se obtiene con un determinado espécimen magnético, a la que se produce en el aire o en el vacío.
PROBLEMA 58. La curva de magnetización (B-H) de un material magnético indica una densidad de flujo de 8.500 gauss a una intensidad de campo de 35 oersteds (Fig. 2-3). ¿Cuál es la permeabilidad del material para esa intensidad de campo?
Circuitos magnéticos
El camino que cierra los lazos de flujo magnético se denomina circuito magnético. Los cálculos en circuitos magnéticos son similares a los de los circuitos eléctricos. Por ejemplo, se ha establecido que la intensidad de campo en el centro de un solenoide recto ( o a lo largo del eje de un solenoide en anillo) es
Si se introduce un núcleo magnético en el solenoide (o se devana un solenoide toroidal alrededor de un anillo de material magnético) , el flujo total en el núcleo es,
donde A es la sección recta del núcleo y μ su permeabilidad. Reordenando esta expresión, se obtiene la ley del circuito magnético:
El flujo es análogo a la corriente que circula en un circuito eléctrico, la fuerza
magnetomotriz (fmm) , a la fem y la reluctancia ( ) a la resistencia de un circuito. La
fuerza magnetomotriz es directamente proporcional al número de amper-
vueltas (NI) y se mide en gilberts; 1 amper-vuelta crea una fmm de 0,4πn = 1,
gilberts. La reluctancia ( = l/ μA ) es directamente proporcional a la longitud ( l ) en cm del circuito magnético y es inversamente proporcional al producto de la permeabilidad ( μ ) y a la sección (A) en cm^2 del camino magnético. Un centímetro cúbico de aire tiene la unidad de reluctancia.
Fig. 2-4. Ilustración del Problema 59.
3.1.4. Potenciales magnéticos escalares y vectoriales. Un conductor que circula corriente suspendida en un campo magnético, como ilustra la fig. 36-1, experimentara una fuerza magnética dado por
F = BIlsen θ = BI ⊥ l (36-1)
Donde I┴ se refiere a la corriente perpendicular al campo B , y donde l es la longitud del conductor. La dirección de la fuerza se determina por medio de la regla del tornillo de rosca derecha.
Con un razonamiento similar se demuestra que en los otros dos lados también actuan fuerzas iguales y opuestas. Estas fuerzas tienen una magnitud de
F = BIbsen a
Donde a es un angulo que los lados np y mo forman con el Campo magnetico.
Es evidente que la espira se encuentra en equilibrio traslacional, pues la fuerza resultante sobre la espira tiene un valor de 0, sin embargo las fuerzas no congruentes sobre los lados de longitud a producen un momento de torsión que tiende a hacer giran la bobina en el sentido de las manesillas del reloj. Como se puede ver en la fig. 36-3, cada fuerza produce un momento de torsión igual a.
a
b
BIa cos
τ =
En virtud de que el momento de torsión es igual al doble de este valor,l el momento de torsión resultante se puede determinar a partir de
τ = BI ( a × b ) cos a (36-3)
Puesto a que a x b es el area A de la espira, la ecuación (36-3) pueden escribirse como
τ = BIA cos a (36-4)
Obseve que el momento de torsión es maximo cuando a = 0º, osea cxuando en el mplano de la espira es paralela al campo agnetico. Cuando la bobina gira alrededor de su eje el angula a se incrementa, reduciendo asi al efecto rotacional de las fuerzas magneticas. Cuando el plano de la espira es perpendicular al campo, el angulo a = 90º y el momento de torsión resultante es 0. La camntidad de movimiento de la bobina ara que esta rabase ligeramente este punto; si embargo la direccion de las fuerzas magneticas asegura su oscilación hasta que enlace el equilibrio con el plano de la espira perpendicular al campo.
Si la espira se desplaza con una bobina devanada en forma muy compacta con N espiras de alambre, la ecuación general para calcular al momento de torsión resultante es
τ = BIA cos a (36-5)
Figura 36-3 calcula es momento de torsión sobre una espira por la que fluye corriente.
En esta ecuación se aplica a cualquier circuito completo de area A , y su uso no se restringe a espira rectangulares. Cualquier espira plana obedece las mismas relación.
EJEMPLO 36-
Una bobina rectangular formada por 100 espiras de alambre tiene un ancho de 16 cm y una longitud de 20cm. La bobina esta montada en un campo magnetico uniforme de densidad de flujo de 8 mT, y una corriente de 20 A circula a través del devanado. Cuando la bobina forma un angulo de 30º con el campo magnetico, ¿Cuál es el momento de torsión que tiende a hacer girar la bobina?
Figura 36-4 Momentos de torsión magnetico sobre un solenoide.
3.2. Fuerzas en materiales y aparatos magnéticos. 3.2.1. Fuerzas debidas a los campos magnéticos.
FUERZA SOBRE UN CONDUCTOR POR EL QUE CIRCULA UNA CORRIENTE.
Cuando una corriente eléctrica circula por un conductor que hace de un campo magnético, cada carga q que fluye a través del conductor experimenta una fuerza magnética. Estas fuerzas se transmiten al conductor como un todo, originando que cada unidad de longitud experimente una fuerza. Si la cantidad total de carga Q pasa a través de la longitud I del alambre (fig.35-17) con la
velocidad media v , perpendicular al campo magnético B , la fuerza neta sobre ese segmento del
alambre es:
F = Qv B
La velocidad media para cada carga que recorre la longitud l en al tiempo t es l/t****. entonces, la fuerza neta sobre la longitud completa es
B
t
F = Q^ l
Figura 35-17 fuerza magnética sobre un conductor por el cual fluye una corriente.
Figura 35-18 Reordenando y simplificando, obtenemos.
lB I lB
t
Q
F = =
Donde I representa la corriente en el alambre.
Del mismo, modo que la magnitud de la fuerza sobre una carga en movimiento varia según la dirección de la velocidad, así la fuerza sobre el conductor por el que fluye corriente depende del ángulo que forma la corriente con respecto a la densidad de flujo. En general si un alambre de longitud l forma un Angulo θ con el campo B , como ilustra la figura 35-18, dicho alambre experimente una fuerza dada por:
Si el alambre se toma con la mano derecha de modo que le pulgar apunte en la dirección de la corriente convencional, los demás dedos que sujetan al conductor iniciaran la dirección del campo magnético.
La inducción magnética, o densidad de flujo, a una distancia perpendicular d de un alambre largo y recto por el que circula una corriente I , como se muestra en la fig. 35-20, se puede calcular a partir de
d
B^ I
π
μ
= Alambre largo (35-11)
Figura 35-19 campo magnético que rodea a un conductor recto por el cual circula una corriente
d
B^ I
π
μ
Figura 35-20 campo magnético B, a una distancia perpendicular d de un conductor
Largo por el cual fluye corriente.
Donde μ es la permeabilidad del medio que rodea al alambre. En los casos especiales del vacío el aire, y los medios no magnéticos, la permeabilidad μ 0 es
μ 0 = 4п x 10-7^ T∙ m/A
Las unidades quedan determinadas por la ecuación (35-11).
La dirección de la inducción magnética se determina por medio de la regla del pulgar de la mano derecha. Para el caso que se ilustra en la fig. 35-20, la inducción saldría hacia arriba desde la superficie del papel.
Para llevar a cabo la inducción de la ecuación (35-11) y otras relaciones que se exponen mas adelante, se debe utilizar la ley de Biot-Svart o la ley de Ampere muchos textos convencionales de física presentan análisis completos, que generalmente influyen los métodos de cálculo.
Ley de Biot - Savart
Ley de BIOT Y SAVART , ley que permite hallar el campo magnético producido por una corriente eléctrica estacionaria. A partir de esta ley se obtuvo el campo magnético debido a una carga móvil.
Los físicos franceses jean baptiste biot y félix savart hallaron la relación que existe entre la intensidad de una corriente rectilínea e indefinida y el campo magnético creado por ella a una distancia r. Demostraron que el módulo del campo magnético, B, es directamente proporcional a la intensidad de la corriente e inversamente proporcional a la distancia r:
