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ACTIVIDAD 3 ETAPA 1 DEL PROYECTO INTEGRADOR MATERIA: CALCULO
VECTORIAL PROFESOR: ARIANA LABASTIDA POLITO
EǪUIPO 10
ALUMNOS: ODETH RUELAS ESPARZA
Introducción El cálculo vectorial es una herramienta fundamental en las matemáticas, utilizada para describir y analizar fenómenos tridimensionales que encontramos en diversos contextos. Este proyecto tiene como propósito aplicar los conocimientos adquiridos en esta área para representar y estudiar cuerpos geométricos tridimensionales que forman parte de nuestra vida cotidiana. A través de esta actividad, se busca comprender las propiedades matemáticas de estas formas, describir sus características principales y explorar cómo se ven afectadas por el uso de diferentes sistemas de coordenadas. Para este análisis, se seleccionaron tres objetos representativos: una lavadora, que será modelada como un prisma rectangular debido a su forma cúbica; una pelota
de fútbol, que se describirá como una esfera por su simetría perfecta en todas direcciones; y una lata de refresco, representada como un cilindro por su estructura circular y alargada. Estos objetos fueron elegidos por su simplicidad y porque ofrecen una oportunidad para estudiar diferentes tipos de cuerpos geométricos sólidos con propiedades únicas. En esta primera etapa del proyecto, se definirán las ecuaciones matemáticas que describen cada cuerpo geométrico y se analizarán sus características utilizando distintos sistemas de coordenadas: cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Este enfoque permitirá observar las diferencias y ventajas que ofrece cada sistema para representar y analizar figuras tridimensionales. Asimismo, se reflexionará sobre cómo los cambios en las coordenadas afectan las gráficas y descripciones de los objetos. Con este proyecto, se pretende reforzar los conceptos teóricos aprendidos durante el curso y desarrollar habilidades prácticas para representar y comprender fenómenos tridimensionales. Además, esta actividad fomenta la conexión entre las matemáticas y los objetos cotidianos, demostrando cómo los conceptos abstractos pueden aplicarse en situaciones reales para facilitar su análisis y comprensión. I. DESCRIPCION Y GRADICAS DE LOS CUERPOS EN 3D 1.1 CUERPOS GEOMETRICOS SOLIDOS a) Elige tres cuerpos geométricos solidos que se reconozcan en vida diaria. Lata de refresco, lavadora, pelota de futbol. b) Investiga cuales son las posibles ecuaciones que los describen, considerando que el cuerpo en primera instancia es un cuerpo sin masa.
Lata de Refresco:
Pelota de Futbol:
1. Pelota de fútbol (Esfera) En coordenadas esféricas, la ecuación que describe la esfera se representa como: r = √(x² + y² + z²) Donde: - r: distancia desde el origen hasta el punto en la superficie de la esfera. - θ: ángulo en el plano xy medido desde el eje x. - φ: ángulo medido desde el eje z hacia el plano xy. Para una esfera con radio constante, la ecuación en coordenadas esféricas queda como: r = constante (radio de la esfera). 2. Lata de refresco (Cilindro) En coordenadas cilíndricas, la ecuación que describe el cilindro se representa como: r = √(x² + y²), z = z Donde: - r: distancia radial en el plano xy. - θ: ángulo en el plano xy medido desde el eje x. - z: altura del cilindro. Para un cilindro con radio constante, la ecuación en coordenadas cilíndricas queda como: r = constante (radio del cilindro). 3. Lavadora (Prisma rectangular) En coordenadas cartesianas, el prisma rectangular se describe mediante los límites: 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c En coordenadas polares (para el plano xy), la representación es: r = √(x² + y²), 0 ≤ r ≤ √(a² + b²)
Dado que el prisma rectangular tiene una forma no curva, su representación en coordenadas cilíndricas o esféricas no es directa, pero puede interpretarse como un volumen delimitado por estas ecuaciones. Gráficas de los cuerpos geométricos en 3D Pelota de Fútbol (Esfera) Lata de Refresco (Cilindro)
2. Lata de refresco (Cilindro)
a) En equipo discutan y desarrollen las siguientes preguntas:
- ¿Existen diferencias significativas u observables en el dominio y en el contradominio de una función? Si es así, explica brevemente. Sí, existen diferencias observables. El dominio varía dependiendo del sistema de coordenadas utilizado. Por ejemplo, en cartesianas, las restricciones están basadas en x,y,z, mientras que en esféricas o cilíndricas se expresan en términos de radios y ángulos, lo que puede simplificar o cambiar la forma de describir los límites de los cuerpos. El contradominio , que representa los valores que puede tomar la función, permanece igual en esencia, pero su representación gráfica puede diferir. En coordenadas esféricas y cilíndricas, los cuerpos curvos como la esfera o el cilindro se visualizan con mayor claridad, mientras que en cartesianas, los prismas rectangulares son más intuitivos de describir.
- ¿Es posible observar diferencias en las gráficas o en las superficies de nivel? Sí, hay diferencias en las gráficas y las superficies de nivel. En coordenadas cartesianas, figuras como la esfera o el cilindro son más complicadas de representar, mientras que en cilíndricas o esféricas se describen de forma más simple y clara. Esto facilita entender sus formas y propiedades.
- Complica o facilita el uso de los distintos sistemas coordenados en la graficación y la descripción de los cuerpos en 3D.
El uso de diferentes sistemas de coordenadas puede facilitar o complicar según el cuerpo que se quiera representar. Para figuras curvas como la esfera o el cilindro, las coordenadas esféricas y cilíndricas son más sencillas porque permiten describir estas formas con ecuaciones más simples. Por otro lado, para cuerpos angulares como el prisma rectangular (lavadora), las coordenadas cartesianas son más prácticas porque sus límites se describen directamente con intervalos de x, y y z. En resumen, usar el sistema adecuado para cada figura no solo simplifica las ecuaciones, sino que también hace más claras las gráficas y las superficies de nivel. Sin embargo, elegir un sistema poco adecuado puede complicar el análisis y la representación. Referencias:
ACTIVIDAD 5 ETAPA 2 DEL PROYECTO INTEGRADOR
MATERIA: CALCULO
VECTORIAL
PROFESOR: ARIANA
LABASTIDA POLITO
EǪUIPO 10
ALUMNOS: ODETH RUELAS ESPARZA
FRANCISCO JAVIER PÉREZ ARIAS
CARLOS EDILBERO PEREZ ROMERO
RICARDO MORENO FERNANDEZ
RICARDO OLIVO GONZALEZ
Introduccion. La segunda etapa del Proyecto Integrador se enfoca en profundizar el análisis matemático y físico de los cuerpos geométricos estudiados previamente, ampliando los fundamentos establecidos en la primera fase. En esta etapa, se busca integrar conceptos avanzados del cálculo vectorial y diferencial para estudiar cómo las fuerzas externas interactúan con los cuerpos tridimensionales seleccionados. Este análisis incluirá la identificación de planos tangentes, el comportamiento de campos vectoriales, así como la determinación de puntos extremos mediante el método de multiplicadores de Lagrange. Además, se implementará el uso de herramientas computacionales como Octave, lo que permitirá proyectar y graficar las ecuaciones de los cuerpos bajo la influencia de fuerzas externas, considerando condiciones como ausencia de deformación y fenómenos físicos como el magnetismo, aire o agua. Estas simulaciones ofrecerán una representación visual de las interacciones y proporcionarán un marco práctico para entender cómo las matemáticas pueden modelar y resolver problemas físicos complejos. Con este enfoque, la etapa no solo consolida los conocimientos adquiridos durante el curso, sino que también desarrolla competencias clave en la interpretación y simulación de fenómenos tridimensionales, conectando la teoría con aplicaciones reales. Esta integración entre teoría matemática y herramientas tecnológicas reafirma la importancia del cálculo diferencial y vectorial como herramientas fundamentales para el análisis y comprensión del mundo físico.
donde r es la distancia radial en el plano xy, θ el ángulo en el plano xy desde el eje x, y z la altura.
- Prisma rectangular : Representado por una lavadora, definido en coordenadas cartesianas mediante: 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑐 Para representar en coordenadas polares en el plano xy, la relación sería: 𝑟 𝑐 donde r es la distancia radial en el plano xy.
b) Explica desde las bases matemáticas del cálculo vectorial qué sucede al aplicar diversas fuerzas sobre cada uno de los cuerpos geométricos sólidos en 3D.
1. Esfera - Campo de Fuerza Radial Una fuerza radial es aquella que apunta hacia o desde el centro de la esfera. Matemáticamente, se representa como: ⃗ ⃗ 𝑟 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 𝐹 𝑘 (^) (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3Τ Donde: ⃗
- 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 es el vector de posición.
- k es una constante proporcional a la magnitud de la fuerza. Efecto:
- La fuerza afecta la esfera de manera simétrica, con igual magnitud en cualquier punto de la superficie para un radio constante.
- En el centro de la esfera, el campo se vuelve indefinido o nulo dependiendo de la naturaleza de la fuerza. 2. Cilindro - Campo de Fuerza Uniforme Un campo uniforme aplicado al cilindro puede representarse como una fuerza constante en dirección y magnitud: ⃗ 𝐹 = 𝐹𝑥𝑖 + 𝐹𝑦𝑗 + 𝐹𝑧𝑘 Ejemplo: Si el campo es horizontal (e.g., flujo de aire), puede escribirse como:
