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Cálculo I

Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Decana de América

Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Sesión 0 9

Motivación

¿Qué tan rápido cambia algo en el tiempo?

¿Cuál es la pendiente exacta en un punto de una curva?

¿Qué información útil podrías obtener si supieras exactamente cómo cambia tu ritmo cardíaco en

el instante en que empiezas a correr?

¿Cuándo se alcanza la máxima altura en un salto? ¿O el mínimo costo de producción? ¿Cómo

podemos encontrar esos momentos clave?

Introducción

En matemáticas, muchas veces no solo nos

interesa saber el valor de una función, sino

cómo cambia. Por ejemplo, si estamos

observando cómo sube la temperatura durante

el día, no basta con saber que a las 10 a.m. hace

18 °C; queremos saber si está subiendo

rápidamente, lentamente o si se está

estabilizando.

Aquí entra el concepto de derivada: una

herramienta matemática que nos permite medir

el cambio instantáneo de una función en un

punto determinado. Es, en términos simples, la

pendiente de la recta tangente a una curva en

un punto específico.

1. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

1. Definición (Derivada de una función en un punto): Sea 𝐀: ℝ → ℝ una

función real. La derivada de la función 𝐀 en el punto 𝐀 ∈ Dom(𝐀) es el límite:

′

(𝐀) = lim

ℎ→ 0

𝐀

( 𝐀+ℎ

) −𝐀(𝐀)

ℎ

Si este límite existe.

En caso el límite no existe decimos que no es derivable en el punto 𝐀.

Su equivalente es:

𝐀′(𝐀) = lim

𝐀→𝐀

𝐀

( 𝐀

) −𝐀(𝐀)

𝐀−𝐀

Notaciones

Lagrange : 𝐀′(𝐀)

Cauchy : 𝐀

𝐀

Leibniz :

𝐀=𝐀

Newton :

Ejemplo 1:

Calcule la derivada de la función 𝐀(𝐀) = 𝐀

2

en el punto 𝐀 = 2 , utilizando la definición.

Solución:

Calculando 𝐀′( 2 )

ℎ→ 0

ℎ→ 0

2

2

ℎ→ 0

Ejemplo 2:

Calcule la derivada de la función 𝐀(𝐀) = 𝐀 en el punto 𝐀 = 2 , utilizando la definición.

Solución:

Calculando 𝐀′( 2 )

= lim

ℎ→ 0

= lim

ℎ→ 0

= lim

ℎ→ 0

Ejemplo 2:

Sea 𝐀

2

, demuestre que 𝐀′(𝐀) = 2 𝐀 , ∀𝐀 ∊ ℝ.

Solución:

ℎ→ 0

𝐀

( 𝐀+ℎ

) −𝐀(𝐀)

ℎ

ℎ→ 0

(𝐀+ℎ)

2

−𝐀

2

ℎ

ℎ→ 0

2 𝐀ℎ+ℎ

2

ℎ

ℎ→ 0

Por lo tanto, 𝐀

′

Ejemplo 3:

Si 𝐀

= 𝐀, demuestre que 𝐀′(𝐀) =

1

2 𝐀

Solución:

ℎ→ 0

𝐀

( 𝐀+ℎ

) −𝐀(𝐀)

ℎ

ℎ→ 0

𝐀+ℎ− 𝐀

ℎ

ℎ→ 0

( 𝐀+ℎ− 𝐀)( 𝐀+ℎ+ 𝐀)

ℎ( 𝐀+ℎ+ 𝐀)

ℎ→ 0

(𝐀+ℎ−𝐀)

ℎ( 𝐀+ℎ+ 𝐀)

ℎ→ 0

1

( 𝐀+ℎ+ 𝐀)

1

2 𝐀

. Por lo tanto, 𝐀′(𝐀) =

1

2 𝐀

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

• Observe la gráfica de la función y = 𝐀

( 𝐀

) .

• Un punto fijo 𝐀

( 𝐀

1

, 𝐀(𝐀

1

)

) y un punto móvil

𝐀(𝐀

2

, 𝐀(𝐀

2

)), la recta secante 𝐀𝐀

• Pendiente de la recta secante

𝐀

𝐀𝐀

=

Δ𝐀

Δ𝐀

• Aproximamos el punto móvil 𝐀 al punto fijo 𝐀, es

decir 𝐀

2

→ 𝐀

1

obtendremos la pendiente de la

recta tangente ℒ

𝐀

𝐀

𝐀

= lim

Δ𝐀→ 0

Δ𝐀

Δ𝐀

• Hacemos ℎ = Δ𝐀

𝐀

𝐀

= lim

ℎ→ 0

𝐀

( 𝐀

1

• ℎ

) − 𝐀(𝐀

1

)

ℎ

= 𝐀′(𝐀

1

)

Por tanto, 𝐀

′

(𝐀

1

) es la pendiente de ℒ

𝐀

en el

punto 𝐀 𝐀

1

, 𝐀

( 𝐀

1

) .

DERIVADAS LATERALES

2. Definición: Sea 𝐀: ℝ → ℝ una función definida en el punto 𝐀, 𝐀 es derivable por la

izquierda del punto 𝐀 si el siguiente límite existe y es finito:

lim

ℎ→ 0

−

𝐀

( 𝐀+ℎ

) −𝐀(𝐀)

ℎ

′

−

1. Definición: Sea 𝐀: ℝ → ℝ una función definida en el punto 𝐀, 𝐀 es derivable por la

derecha del punto 𝐀 si el siguiente límite existe y es finito:

lim

ℎ→ 0

𝐀(𝐀+ℎ)−𝐀(𝐀)

ℎ

′

3. Proposición: Sea 𝐀: ℝ → ℝ una función definida en el punto 𝐀, 𝐀 es derivable en el punto

𝐀 si y solo si 𝐀

′

′

−

Ejemplo:

Determine si

es derivable en el punto 𝐀 =− 4.

Solución

REGLAS DE DERIVACIÓN

Sean 𝐀 y 𝐀 funciones derivables en 𝐀 y sea 𝐀 una constante. Entonces, las siguientes

funciones son derivables en 𝐀; se verifica:

Función Su derivada

′

′

′

2

Derivada de las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son derivables en todo su dominio. Se verifica:

Función Su derivada

𝐀 = sen 𝐀 ⟹ 𝐀´ = cos 𝐀

𝐀 = cos 𝐀 ⟹ 𝐀´ =− sen 𝐀

𝐀 = tan 𝐀 ⟹

𝐀´ = sec

2

𝐀 = cot 𝐀 ⟹

𝐀´ =− csc

2

𝐀 = sec 𝐀 ⟹ 𝐀´ = sec 𝐀tan 𝐀

𝐀 = csc 𝐀 ⟹ 𝐀´ =− csc 𝐀cot 𝐀

Recta Tangente y Recta Normal a una Curva

Sea 𝐀′(𝐀) la pendiente de la recta tangente

a la curva 𝐀 en el punto 𝐀

Ecuación de la recta tangente

Si 𝐀

′

( 𝐀

) ≠ 0 ⟹ 𝐀

𝐀

: 𝐀 − 𝐀

( 𝐀

)

− 1

𝐀′(𝐀)

( 𝐀 − 𝐀

)

Si 𝐀

′

(𝐀) = 0 ⟹ 𝐀

𝐀

: 𝐀 − 𝐀 = 0

𝐀

Ecuación de la recta normal

Ejemplo:

Dada 𝐀

3

𝐀

, Halle las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la

gráfica de 𝐀 en el punto 𝐀( 3 , 1 ).

Solución:

Graficando la función 𝐀.

Derivando la función: 𝐀

′

− 3

𝐀

2

La pendiente de la recta tangente es:

′

2

La ecuación de la recta tangente es:

𝐀

La ecuación de la recta normal es:

𝐀