Calculo para uso estudiantil, Apuntes de Ingeniería Civil

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GUÍA DE COORDENADAS

POLARES, INTEGRALES DE LÍNEA

E INTEGRALES DE SUPERFICIE

PARA ESTUDIANTES DE

INGENIERÍA CIVIL – UNAM 2023

Ingeniería Civil

IV CICLO - SECCIÓN B

Diciembre del 2023

UNAM

Moquegua

DEDICATORIA

Para los futuros estudiantes de Cálculo

les dejamos esta guía de apoyo, para

que se puedan desempeñar de manera

eficaz en el curso.

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo fue elaborado por los estudiantes del curso “Cálculo III - B” de la

escuela profesional de Ingeniería Civil en el 2023-II a cargo del docente Juan Alberto

Florindez Huamán, en esta presente guía se ha recopilado información que tal vez no es

muy fácil de encontrar en libros o internet. Incorpora una sección teórica, ejercicios

resueltos y principalmente, de demostraciones.

Esta guía se ha diseñado con la intención de ofrecerte un material de apoyo que facilitará

la asimilación de conceptos clave y que te será de ayuda en los primeros ciclos de tu

carrera.

ÍNDICE GENERAL:

• 1. COORDENADAS POLARES
  • 1.1. Definiciones básicas
  • 1.2. Teoremas
    • 1.2.1. Ecuación de la Recta
    • 1.2.2. Ecuación de la Circunferencia
    • 1.2.3. Ecuación de la Parábola
    • 1.2.4. Ecuación de la Elipse
    • 1.2.5. Ecuación de la Hipérbola
    • 1.2.6. Cardioides
    • 1.2.7. Caracol sin Rizo
    • 1.2.8. Caracol con Rizo
    • 1.2.9. Rosas de Pétalos Par
    • 1.2.10. Rosas de Pétalos Impar
    • 1.2.11. Lemniscatas
    • 1.2.12. Espirales
    • 1.2.13. Área de Región Plana
    • 1.2.14. Longitud de Arco
    • 1.2.15. Volumen de un Sólido de Revolución
    • 1.2.16. Área de Revolución
  • 1.3. Ejercicios desarrollados
• 2. INTEGRALES DE LÍNEA
  • 2.1. Trabajo
  • 2.2. Teorema de Green
  • 2.3. Centro de Masa y Momento de Inercia
  • 2.4. Ejercicios Desarrollados
• 3. INTEGRALES DE SUPERFICIE
  • 3.1. Parametrización de Superficie
  • 3.2. Integral de Superficie: Demostración

Representación de un Punto en el Sistema de Coordenadas

Polares

A continuación, se representan en un sistema de coordenadas polares los puntos 𝑃 ( 2 ,

𝜋

3

−𝜋

6

11 𝜋

6

El punto 𝑃 ( 2 ,

𝜋

3

) pertenece a la intersección de una circunferencia de r = 2 y un rayo que

es el lado en que acaba el ángulo 𝜃 =

𝜋

3

. Figura 2-a.

El punto 𝑄 ( 3 ,

−𝜋

6

), está en el cuarto cuadrante, a 3 unidades del polo.

Al medir ángulos negativos se hace en sentido horario. El punto es la intersección de una

circunferencia de r = 3 y un rayo que es el lado en que acaba el ángulo 𝜃 = −

𝜋

6

. Figura

2 - b.

El punto 𝑄 ( 3 ,

−𝜋

6

), coincide con el punto 𝑅 ( 3 ,

11 𝜋

6

), Figura 2-c.

Se observa que no hay correspondencia biunívoca entre pares de números y puntos (r,Ɵ)

en el sistema polar. Por ejemplo, los puntos Q y R del ejemplo anterior. En general, (r, Ɵ)

y (-r, Ɵ +𝜋representan el mismo punto. Además, hay otros infinitos pares que representan

al mismo punto (r, Ɵ) estos son (r, Ɵ +2n𝜋) у (-r, Ɵ +(2n+1)𝜋) donde n es un número

entero cualquiera.

Si los ángulos Ɵ 𝑦 Ɵ + 𝜋 están entre 0 y 2𝜋 los pares (𝑟, Ɵ ) 𝑦 (−𝑟, Ɵ + 𝜋), se llaman

representaciones principales del punto.

En el caso de que P sea el polo, la semi recta OB de la Figura 1, se reduce a un punto,

puesto que r = 0. Debido a que en este caso no hay ningún ángulo polar definido con

claridad, se conviene en que puede usarse un ángulo polar arbitrario, así para cualquier

Ɵ , ( 0 , Ɵ ) representa el polo.

Relación entre Coordenadas Polares y Coordenadas

Cartesianas

Si la figura 1 se hace coincidir con el eje x del sistema rectangular con el eje polar, se

tiene Figura 3.

Figura 3

Una vez hecho esto, todo punto P tiene coordenadas polares (r, Ɵ) y coordenadas

rectangulares (x.y).

En la figura se puede trazar el triángulo rectángulo OPA de modo que

OP = r, es la hipotenusa del triángulo OPA

OA = x, es un cateto del triángulo OPA

PA = y, es un cateto del triángulo OPA

Ɵ =< POA

De lo anterior se tiene que 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 ( 1. 1 ) , 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 (1.2) y también utilizando el

Teorema de Pitágoras 𝑟 = √𝑥

2

2

𝑦

𝑥

) + 𝑘𝜋 𝑘 ∈ 𝑍 (2.2). El valor

de 𝜃 en el cuadrante correcto se determina por los signos de x y de y.

𝑜

𝑜

La primera de estas ecuaciones representa una recta vertical y la segunda una recta

horizontal. Las equivalentes en coordenadas polares de estas ecuaciones tienen la forma:

0

0

La primera de estas ecuaciones representa una circunferencia. Su centro está en el origen

y tiene radio |𝑟 0

|. La segunda representa una recta. Dicha recta pasa por el origen de

coordenadas formando un ángulo 𝜃

0

, con el eje polar.

En general, cualquier curva en el Sistema de Coordenadas Polares tiene por ecuación la

expresión 𝑟 = 𝑓(𝜃) o también 𝑓(𝑟, 𝜃) = 0 , siendo 𝜃 la variable independiente y r la

variable dependiente.

1.2. Teoremas

1.2.1. Teorema de la recta en el centro y fuera del centro

La ecuación de la recta se basa en la relación entre las coordenadas de los puntos

en un plano cartesiano, fue desarrollada por primera vez por René Descartes en el siglo

XVII.

La forma más común de la ecuación de la recta es la forma pendiente-intersección, y se

expresa como:

Donde:

➢ m: pendiente de la recta

➢ k: punto de intersección con el eje y, parámetro de la familia, k ∈ R.

Rectas que pasan por el punto

Figura 1. Muestra rectas que pasan por el punto. Fuente: libro “Geometría Analítica para Ciencia e

Ingenierías (S. Raichman – E. Totter)”

Y su ecuación cartesiana es:

0

0

Ahora bien ¿cómo demostramos la ecuación de la recta en coordenadas polares?

Figura 2. Muestra la gráfica que nos ayudara con la demostración.

Si al ver la gráfica se pregunta de dónde sale la coordenada:

1

cos

1

Para entender mejor ello, recordemos las coordenadas rectangulares, de donde:

obtenemos los valores para “x” y “y”:

Figura 3. Muestra un punto arbitrario en el plano cartesiano. Fuente:

https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/7- 3 - coordenadas-polares

P

En nuestra resolución esto es:

1

1

cos(𝜃

1

1

Reemplazando este valor en la ecuación 1, tenemos que:

1

1

1

cos

1

1

1

1

1

1

(cos(𝜃

1

1

1

1

(cos

1

1

1

1

1

1

(cos(𝜃

1

1

1

1

1

(cos

1

1

1

1

(cos(𝜃

1

1

1

𝟏

1

1

cos

1

1

1

1

cos (𝜃

1

1

1

1

1

𝟏

1

1

1

(cos(𝜃

1

1

(cos(𝜃

1

1

1

(cos(𝜃

1

1

1

2

𝟐

𝟏

Y esto vendría a ser nuestra ecuación de la recta en coordenadas polares.

Algunas aplicaciones de la ecuación de la recta son, en:

➢ Economía: En las ecuaciones de oferta y demanda, se representan mediante rectas.

➢ Ingeniería Civil: Se utiliza para representar perfiles topográficos, pendientes y

alineaciones de carreteras y vías férreas. Estas representaciones gráficas ayudan a los

ingenieros a diseñar y construir infraestructuras de manera precisa y eficiente.

Ejemplo:

Teniendo presente las siguientes rectas:

1

2

Determinar si son paralelas o perpendiculares y el punto de corte en el caso de que

sean perpendiculares

RESOLUCIÓN:

Para identificar si dos rectas son paralelas o perpendiculares se requiere establecer sus

respectivas pendientes.

Identificando la pendiente m1 de la recta L1 , es decir, despejando la variable y:

Comparándolo con nuestra ecuación de la recta

Obtenemos que La pendiente 𝑚

1

de la recta 𝐿

1

es el coeficiente que acompaña a la

variable x

1

Identificando la pendiente 𝑚 2

de la recta 𝑙

2

, es decir, despejando la variable y

Figura 5. Muestra la gráfica del ejercicio

Resolución:

𝑟 ∗ co s(𝜃 − 𝜔) = 𝑃

co s(𝜔 − 𝜃) =

𝑃 = 𝑟 ∗ co s

𝑃 = 4 ∗ co s (

1.2.2. Ecuación de la circunferencia

1.2.2.1 Circunferencia con centro el polo.

Se sabe que:

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑦 = 𝑟 sen 𝜃

La ecuación cartesiana de una circunferencia es:

2

2

2

Reemplazando en coordenadas polares tenemos:

2

2

2

(𝑟 cos 𝜃)

2

• (𝑟 sen 𝜃)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Finalmente tenemos:

1.2.2.2 Circunferencia con centro en un punto cualquiera que pasa por el polo

De ahí el triángulo

c.- Una circunferencia con centro el punto (0; a ) y radio r = a

d.-Una circunferencia con centro el punto ( 0; - a) y radio r = a

EJEMPLO

Graficar r=

Podemos observar que es una circunferencia con centro el polo y con radio 2

Graficar 𝑟 = 4 cos (𝜃 −

𝜋

3

En esta circunferencia tal que el polo pertenece y su centro es ( 2 ,

𝜋

3

1.2.3. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

a) En un plano cartesiano:

Partamos desde la ecuación de la parábola, pero en coordenadas cartesianas:

Tenemos la forma general: 𝐶𝑦

2

2

Donde: C o D serán igual a 0, dependiendo de donde se empiece a dibujar la parábola.

Posterior a ello, de dicha ecuación surge las ecuaciones canónicas las cuales son como

casos especiales de la parábola.

Caso 1: La parábola se va para la derecha del plano cartesiano respecto al eje X, mirar

imagen 1.

2

2