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59. El desplazamiento vertical de una larga cuerda fija en el origen pero cayendo bajo su propio peso está dado por
Vea la FIGURA 13.3.5. a ) Determine Interprete para b ) Determine Interprete para
60. Para la función de área de la piel que se discutió en el ejemplo 3 encuentre en Si una niña crece de 36 a 37 pulg, mien- tras su peso se mantiene en 60 lb, ¿cuál es el aumento aproximado en el área de la piel?
Piense en ello
61. Formule una definición de límite que sea análoga a la definición 13.3.1 para las derivadas parciales de segundo orden
a ) b ) c )
62. Encuentre una función tal que 63. ¿Es posible que una función con derivadas parciales continuas en un conjunto abierto, se encuentra de manera tal que 64. a ) Suponga que la función tiene derivadas parciales de tercer orden continuas. ¿Cuántas deriva- das parciales de tercer orden diferentes hay? b ) Suponga que la función tiene derivadas parciales continuas de n -ésimo orden. ¿Cuántas deri- vadas parciales diferentes de n -ésimo orden hay? 65. a ) Suponga que tiene la propiedad de que y para todo ¿Qué puede usted afirmar acerca de la forma de f? b ) Suponga que tiene derivadas parciales de segundo orden continuas y ¿Qué puede usted afirmar acerca de la forma f? 66. Algunas curvas de nivel de una función se muestran en la FIGURA 13.3.6. Emplee estas curvas de nivel para conjeturar respecto a los signos algebraicos de las derivadas parciales y en el punto que se indi- ca en rojo en la figura. 67. Un clásico matemático Una función quizá no sea continua en un punto aunque es posible que siga teniendo derivadas parciales en ese punto. La función
no es continua en (Vea el problema 38 en los ejer- cicios 13.2.) Emplee (1) y (2) de la definición 13.3.1 para mostrar que
68. Un clásico matemático Considere la función z = f ( x , y ) definida por
a ) Calcule
b ) Muestre que 02 z 0 y 0 x
`
(0, 0)
Þ
02 z 0 x 0 y
`
(0, 0)
f ( x , y ) 5 •
xy ( y^2 2 x^2 ) x^2 1 y^2
( x , y ) Þ (0, 0)
( x , y ) 5 (0, 0).
f ( x , y ) 5 •
xy 2 x^2 1 2 y^2
( x , y ) Þ (0, 0)
( x , y ) 5 (0, 0)
z 5 f ( x , y )
10
18
16 14
10
x
y
20
FIGURA 13.3.6 Curvas de nivel del problema 66
0 z > 0 x 0 z > 0 y
z 5 f ( x , y )
02 z > 0 x 0 y 5 0.
z 5 f ( x , y )
0 z > 0 x 5 0 0 z > 0 y 5 0 ( x , y ).
z 5 f ( x , y )
z 5 f ( x , y )
w 5 f ( x , y , z )
z 5 f ( x , y ),
z 5 f ( x , y )
02 z 0 x 0 y
02 z 0 y^2
02 z 0 x^2
w 5 60, h 5 36.
0 S > 0 h
S 5 0.1091 w 0.425 h 0.
x
u
cuerda 1 at , 2 12 gt^22 FIGURA 13.3.5 Cuerda que cae del problema 59
0 u > 0 x. x 7 at.
0 u > 0 t. x 7 at.
u ( x , t ) 5 •
g 2 a^2
(2 axt 2 x^2 ),
212 gt^2 ,
0 # x # at
x 7 at.
13.4 Linealización y diferenciales 703
13.4 Linealización y diferenciales
Introducción En la sección 4.9 se vio que una linealización de una función de una sola variable en un número x 0 está dada por Esta ecuación puede utilizarse para aproximar los valores de la función en la vecindad de x 0 , esto es, L ( x ) < f ( x )para valores de x cercanos a x 0. De manera similar puede definirse una linealización
f ( x )
y 5 f ( x ) L ( x ) 5 f ( x 0 ) 1 f ¿( x 0 )( x 2 x 0 ).
L ( x )
0 z 0 x x^2 y^2 y
0 z 0 y x^2 y^2?
0 z 0 x 2 xy^3 2 y
x y 0 z 0 y 3 x^2 y^2 2 x 1. 0 z 0 x
`
(0, 0)
0 y 0 z 0 y
`
(0, 0)
0 z 0 x
`
(0, y )
y
0 z 0 y
`
( x , 0)
de una función de dos variables en un punto En el caso de una función de una sola variable se asumió que era diferenciable en x 0 , esto es,
(1)
existe. Recuerde también que si f es diferenciable en x 0 , también es continua en ese número. Al repetir la suposición en (1), deseamos que sea diferenciable en un punto Aunque hemos considerado lo que significa que posea derivadas parciales en un punto, aún no formulamos una definición de diferenciabilidad de una función de dos variables f en un punto.
Incremento de la variable dependiente La definición de diferenciabilidad de una función de cualquier número de variables independientes no depende de la noción de un cociente de dife- rencia como en (1), sino más bien de la noción de un incremento de la variable dependiente. Recuerde que para una función de una variable el incremento en la variable dependien- te está dado por
De manera análoga, para una función de dos variables definimos el incremento de la variable dependiente z como (2) La FIGURA 13.4.1 muestra que produce la cantidad de cambio en la función cuando cam- bia a
EJEMPLO 1 Determinando Encuentre para la función polinomial ¿Cuál es el cambio en la función de (1, 1) a Solución De (2),
Con x = 1, y = 1, ¢ x = 0.2 y
Una fórmula de incremento fundamental Una breve reinspección del incremento en (3) muestra que en los primeros dos términos los coeficientes de y son y res- pectivamente. El importante teorema que sigue muestra que esto no es un accidente.
¢x ¢y 0 z> 0 x 0 z> 0 y,
¢z
¢z 5 (1)(0.2) 2 (1)( 2 0.3) 1 (0.2)^2 2 (0.2)( 2 0.3) 5 0.6.
¢y 5 20.3,
5 (2x 2 y)¢x 2 x¢y 1 (¢x)^2 2 ¢x¢y.
¢z 5 [(x 1 ¢x)^2 2 (x 1 ¢x)(y 1 ¢y)] 2 (x^2 2 xy)
¢z z 5 x^2 2 xy.
¢ z
(x 1 ¢x, y 1 ¢y).
¢z (x, y)
z 5 f (x, y),
¢y 5 f (x 1 ¢x) 2 f (x).
y 5 f (x)
z 5 f (x, y)
z 5 f (x, y) (x 0 , y 0 ).
y 5 f (x)
L(x, y) (x 0 , y 0 ).
704 CAPÍTULO 13 Derivadas parciales
FIGURA 13.4.1 Incremento en z
ƒ(x 1 x, y 1 y )
y (x^1 x,^ y^^1 y )
x x
z 5 ƒ(x, y )
y
z
(x, y )
ƒ(x, y )
z
Teorema 13.4.1 Una fórmula del incremento Considere que tiene derivadas parciales continuas y en una región rectangular abierta que está definida por Si ( x , y ) es cualquier punto en esta región, entonces existen e 1 y e 2 , las cuales son funciones de y tales que (4) donde e 1 S 0 y e 2 S 0 cuando ¢x S 0 y ¢y S 0.
¢x ¢y,
a 6 x 6 b, c 6 y 6 d.
z 5 f (x, y) fx(x, y) fy(x, y)
DEMOSTRACIÓN Al sumar y restar en (2), tenemos,
Al aplicar el teorema del valor medio (teorema 4.4.2) a cada conjunto de corchetes, se llega a ¢z 5 fx(x 0 , y 1 ¢y)¢x 1 fy(x, y 0 )¢y, (5)
f (x, y 1 ¢y)
f ¿(x 0 ) (^) ¢límxS 0
f(x 0 ¢x) f(x 0 ) ¢x
¢z f(x ¢x, y ¢ y ) f(x, y ).
¢z fx(x, y )¢x f y (x, y )¢ y e 1 ¢x e 2 ¢ y ,
¢z [ f(x ¢x, y ¢ y ) f(x, y ¢ y )] [ f(x, y ¢ y ) f(x, y )].
EJEMPLO 2 Diferenciabilidad Si (3) del ejemplo 1 se escribe como
podemos identificar = ¢ x y = -¢ x. Puesto que y cuando S la función es diferenciable en todo punto en el plano xy.
Como se advirtió en el ejemplo 2, la función dada es un polinomio. Cualquier función poli- nomial de dos o más variables es diferenciable en todas partes.
Linealización Si es diferenciable en y es un punto muy cercano a se deduce de la definición 13.4.1 que ¢ x = x - x 0 y ¢ y = y - y 0 son ambas cercanas a cero, e igualmente lo son y En vista de (4) esto significa que
Empleando la última línea es lo mismo que
Esto nos lleva a definir la linealización de f en (x 0 , y 0 )de la siguiente manera.
f (x, y) < f (x 0 , y 0 ) 1 fx(x 0 , y 0 )¢x 1 fy(x 0 , y 0 )¢y.
x 5 x 0 1 ¢x, y 5 y 0 1 ¢y
f (x 0 1 ¢x, y 0 1 ¢y) 2 f (x 0 , y 0 ) < fx(x 0 , y 0 )¢x 1 fy(x 0 , y 0 )¢y.
e 1 ¢x e 2 ¢y.
(x 0 , y 0 ),
z 5 f (x, y) (x 0 , y 0 ) (x, y)
z 5 x^2 2 xy
e 1 e 2 e 1 S 0 e 2 S 0 (¢x, ¢y) (0, 0),
706 CAPÍTULO 13 Derivadas parciales
Definición 13.4.2 Linealización Si una función es diferenciable en un punto entonces la función (7) se dice que es una linealización de f en Para un punto cercano a la apro- ximación (8) se denomina una aproximación lineal local de f en (x 0 , y 0 ).
(x 0 , y 0 ). (x, y) (x 0 , y 0 ),
z 5 f (x, y) (x 0 , y 0 ),
EJEMPLO 3 Linealización Encuentre una linealización de en Solución Las primeras derivadas parciales de f son
Utilizando los valores fx (4, 3) = y se deduce de (7) que una linealiza- ción de f en (4, 3) es
(9)
La última ecuación es equivalente a pero con fines de cálculo (9) es más con- veniente.
EJEMPLO 4 Aproximación lineal local Utilice la aproximación lineal local para aproximar Solución Primero observe que se está pidiendo una aproximación del valor de la función donde Debido a que el punto es razonablemente cercano al punto (4, 3) es factible utilizar la linealización en (9) para formar una aproximación lineal local De
L(4.01, 2.98) 5 5 1
f (x, y) < L(x, y).
f (4.01, 2.98), f (x, y) 5 2 x^2 1 y^2. (4.01, 2.98)
2 (4.01)^2 1 (2.98)^2.
L(x, y) 5 45 x 1 35 y
L(x, y) 5 5 1
(x 2 4) 1
(y 2 3).
f (4, 3) 5 5,^45 fy(4, 3) 5 35 ,
f (x, y) 5 2 x^2 1 y^2 (4, 3).
¢z (2x y )¢x ( x)¢ y (¢x)(¢x) ( ¢x)¢ y ,
fx f y e 1 e 2 s^ r^ r^ r
f(x, y ) L(x, y )
L(x, y ) f(x 0 , y 0 ) fx(x 0 , y 0 )(x x 0 ) f y (x 0 , y 0 )( y y 0 )
fx(x, y ) x 2 x^2 y^2
y f y (x, y )
y 2 x^2 y^2
se sigue que la aproximación deseada es o
Suponga que se deja y se reescribe (7) como (10)
Al relacionar (10) término a término con (2) de la sección 11.6 se demuestra que una linealiza- ción de una función en es una ecuación de un plano.
Plano tangente En la sección 4.9 vimos que la linealización de una función f de una sola variable en un número x 0 no es más que una ecuación de la recta tan- gente a la gráfica de en En tres dimensiones el análogo de una recta tangen- te a una curva es un plano tangente a una superficie. Veremos en la sección 13.7 que la fórmula de linealización en (7) es una ecuación del plano tangente a la gráfica de en el punto
Diferenciales Recuerde también que para una función f de una sola variable independiente hay dos diferenciales y La diferencial dx es simplemente el cambio en la variable independiente x. La diferencial dy es el cambio en la linealización en el número x 0 tenemos
En el caso de una función f de dos variables tenemos naturalmente tres diferenciales. Los cam- bios en las variables independientes x y y son dx y los cambios en la linealización se denotan por medio de dz. En el punto el cambio en la linealización es
Empleando el resultado en (11) definimos a continuación la diferencial dz de una función f en un punto arbitrario en el plano xy. Si denota el punto, entonces un punto cercano es o La diferencial dz se llama comúnmente diferencial total de la función.
(x 1 ¢x, y 1 ¢y) (x 1 dx, y 1 dy).
(x, y)
5 fx(x 0 , y 0 )¢x 1 fy(x 0 , y 0 )¢y.
5 f (x 0 , y 0 ) 1 fx(x 0 , y 0 )(x 0 1 ¢x 2 x 0 ) 1 fy(x 0 , y 0 )(y 0 1 ¢y 2 y 0 ) 2 f (x 0 , y 0 )
¢L 5 L(x 0 1 ¢x, y 0 1 ¢y) 2 L(x 0 , y 0 )
(x 0 , y 0 )
dy; L(x, y)
5 f ¿(x 0 ) dx 5 dy.
5 [ f (x 0 ) 1 f ¿(x 0 )¢x] 2 [ f (x 0 ) 1 f ¿(x 0 ). 0]
¢L 5 L(x 0 1 ¢x) 2 L(x 0 )
L(x);
¢x 5 dx dy 5 f ¿(x) dx.
(x 0 , y 0 , f (x 0 , y 0 )).
z 5 L(x, y) z 5 f (x, y)
y 5 f (x) (x 0 , f (x 0 )).
L(x) 5 f (x 0 ) 1 f ¿(x 0 )(x 2 x 0 )
z 5 f (x, y) (x 0 , y 0 )
fx(x 0 , y 0 )(x 2 x 0 ) 1 fy(x 0 , y 0 )(y 2 y 0 ) 2 (z 2 f (x 0 , y 0 )) 5 0.
z 5 L(x, y)
2 (4.01)^2 1 (2.98)^2 < 4.996.
f (4.01, 2.98) < L(4.01, 2.98)
13.4 Linealización y diferenciales 707
Definición 13.4.3 Diferenciales Sea una función para la cual las primeras derivadas parciales fx y fy existen. Entonces las diferenciales de x y y son y La diferencial de z ,
(12)
también se denomina diferencial total de z.
dx 5 ¢x dy 5 ¢y.
z 5 f (x, y)
EJEMPLO 5 Diferencial total
Si entonces
De (12) la diferencial total de la función es
dz 5 (2x 2 y) dx 2 x dy.
z 5 x^2 2 xy,
dz fx(x, y ) dx f y (x, y ) d y 0 z 0 x dx 0 z 0 y d y ,
0 z 0 x 2 x y y 0 z 0 y x.
Por último, la diferencial total de f es
(17)
EJEMPLO 8 Diferencial total: función de tres variables
Si entonces las tres primeras derivadas parciales son
Por (17) la diferencial total es
dw 5 2 x dx 1 6 y^2 dy 1 12 z^3 dz.
w 5 x^2 1 2 y^3 1 3 z^4 ,
13.4 Linealización y diferenciales 709
NOTAS DESDE EL AULA
i ) Puesto que siempre que exista y es cercana a 0, parece razonable espe- rar que será una buena aproximación a cuando y son ambas cercanas a 0. Pero la vida no es tan sencilla para funciones de varias variables. La garantía de que para incrementos cercanos a 0 proviene de la continuidad de las derivadas parciales y fy ( x , y ) y no simplemente de su existencia. ii ) Cuando trabaje en los problemas 27-30 en los ejercicios 13.4 descubrirá que las funcio- nes e 1 y e 2 introducidas en (4) del teorema 13.4.1 no son únicas.
fx(x, y)
dz < ¢z
dz 5 fx(x, y)¢x 1 fy(x, y)¢y ¢z ¢x ¢y
dy < ¢y f ¿(x) ¢x
z
x
Fundamentos
En los problemas 1-6, encuentre una linealización de la fun- ción dada en el punto indicado.
En los problemas 7-10, emplee una aproximación lineal para aproximar la cantidad indicada.
7. 8. 9. para 10. para f ( x , y ) 5 cos p xy
En los problemas 11-22, calcule la diferencial total de la fun- ción dada.
20. G (r, u, f) = r sen f cos u 21. 22.
En los problemas 23-26, compare los valores de y dz para la función dada cuando ( x , y ) varía del primero al segundo punto. **23.
26.** En los problemas 27-30, encuentre funciones y de como se define en (4) del teorema 13.4.1.
**27. 28.
- 30.**
Aplicaciones
31. Cuando la sangre fluye a través de tres resistencias R 1 , R 2 , R 3 , en paralelo, la resistencia equivalente R de la red es
Dado que el error porcentual en la medida de cada resis- tencia es 6 0.9%, calcule el error porcentual máximo aproximado en R.
R
R 1
R 2
R 3
z 5 x^2 y^2 z 5 x^3 2 y^3
z 5 5 x^2 1 3 y 2 xy z 5 10 y^2 1 3 x 2 x^2
e 1 e 2 ¢z
z 5 x^2 1 x^2 y^2 1 2; (1, 1), (0.9, 1.1)
z 5 (x 1 y)^2 ; (3, 1), (3.1, 0.8)
z 5 2 x^2 y 1 5 y 1 8; (0, 0), (0.2, 2 0.1)
z 5 3 x 1 4 y 1 8; (2, 4), (2.2, 3.9)
¢z
w 5 ln a w 5 2 u^2 1 s^2 t^2 2 y^2 uy st b
F(r, s, t) 5 r^3 1 s^22 2 4 t^1 >^2
f (0.52, 2.96)
f (1.95, 2.01) f (x, y) 5 (x^2 1 y^2 )^2
A
Ejercicios 13.4 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la página RES-41.
d w 0 w 0 x dx 0 w 0 y d y 0 w 0 z dz.
0 w 0 x 2 x, 0 w 0 y 6 y^2 y 0 w 0 z 12 z^3.
6. f(x, y ) e 2 y^ sen 3x; (0, p>3)
f(x, y ) ln(x^2 y^3 ); ( 1, 1)
f(x, y ) 3 sen x cos y ; (p>4, 3p>4)
f(x, y ) x 2 x^2 y^2 ; (8, 15)
f(x, y ) 2 x^3 y ; (2, 2)
f(x, y ) 4 x y^2 2 x^3 y ; (1, 1)
11. z = x^2 sen 4 y 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18. w e z
2 w x^2 y^4 z 5 cos(x^2 y^4 )
f(s, t) g(r, u) r^2 cos 3u 2 s t s 3 t
z 22 x^2 4 y^3 z (5x^3 y 4 y^5 )^3
z xex
(^2) y 2
