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dad cuadrada del costado, determine la función de costo donde r es el radio de la lata y h es su altura.
52. Una caja rectangular cerrada va a construirse con 500 cm^2 de cartón. Exprese el volumen V como una función de la longitud x y el ancho y. 53. Como se muestra en la FIGURA 13.1.23, una tapa cónica des- cansa sobre la parte superior de un cilindro circular. Si la altura de la tapa es dos tercios de la altura del cilindro, exprese el volumen del sólido como una función de las variables indicadas. 54. A menudo una muestra de tejido es un cilindro que se corta oblicuamente, como se muestra en la FIGURA 13.1.24. Exprese el espesor t del corte como una función de x , y y z. 55. En medicina a menudo se emplean fórmulas para el área de la superficie (vea el ejemplo 3 b ) para calibrar dosis de fármacos, puesto que se supone que la dosis del fármaco D y el área de la superficie S son directamente proporcio- nales. La siguiente función simple puede utilizarse para obtener una estimación rápida del área superficial del cuerpo de un humano: S 5 2 ht , donde h es la altura (en cm) y t es la máxima circunferencia de músculo (en cm). Estime el área de la superficie de una persona de 156 cm de altura con una circunferencia de músculo máxima de 50 cm. Estime su propia área superficial.
Proyectos
56. Factor de enfriamiento Durante su investigación del invierno de 1941 en el Antártico, el doctor Paul A. Siple
ideó el siguiente modelo matemático para definir el fac- tor de enfriamiento del viento:
donde H se mide en kcal/m^2 h, y es la velocidad del viento en m/s y T es la temperatura en grados Celsius. Un ejem- plo de este índice es: 1 000 5 muy frío, 1 200 5 implaca- blemente frío y 1 400 5 congelamiento de la carne expuesta. Determine el factor de enfriamiento en - 6.67 8 C (20 8 F) con una velocidad de viento de 20 m/s (45 mi/h). Escriba un breve informe que defina con precisión el fac- tor de enfriamiento. Encuentre al menos otro modelo matemático para el factor de enfriamiento del viento.
57. Flujo de agua Cuando el agua fluye de un grifo, como se muestra en la FIGURA 13.1.25a), se contrae a medida que se acelera hacia abajo. Eso ocurre debido a que la tasa de flujo Q , la cual se define como la velocidad por el área de la sec- ción transversal de la columna de agua, debe ser constante en cada nivel. En este problema suponga que las secciones transversales de la columna de fluido son circulares. a ) Considere la columna de agua que se muestra en la figura 13.1.25 b ). Suponga que v es la velocidad del agua en el nivel superior, V es la velocidad del agua en el nivel inferior a una distancia h unidades por debajo del nivel superior, R es el radio de la sección transver- sal en el nivel superior y r es el radio de la sección transversal en el nivel inferior. Muestre que la tasa de flujo Q como una función de r y R es
donde g es la aceleración de la gravedad. [ Sugerencia : Empiece expresando el tiempo t que tarda la sección transversal del agua en caer una distancia h en térmi- nos de u y V. Por conveniencia considere la dirección positiva hacia abajo.] b ) Determine la tasa de flujo Q (en cm^3 /s) si g 5 980 cm/s^2 , h 5 10 cm, R 5 1 cm y r 5 0.2 cm.
a ) b )
h
r
V
y (^) R
FIGURA 13.1.25 El agua fluye por el grifo del problema 57
H (y, T ) 5 A 101 y 2 y 1 10.5B(33 2 T ),
FIGURA 13.1.24 Muestra de tejido del problema 54
x y
t
z
u
h
r FIGURA 13.1.23 Cilindro con tapa cónica del problema 53
C ( r , h ),
688 CAPÍTULO 13 Derivadas parciales
13.2 Límites y continuidad
Introducción En el caso de funciones de una variable, en muchos casos es factible hacer un juicio acerca de la existencia de f ( x ) a partir de la gráfica de También se aprove- cha que f ( x ) existe si y sólo si f ( x ) y f ( x ) existe y son iguales al mismo número L , en cuyo caso f ( x ) 5 L. En esta sección veremos que la situación es más difícil en la consi- deración de límites de funciones de dos variables.
lím x S a
lím x S a x límS a (^2) x límS a 1
lím x S a y 5 f ( x ).
Q
p r^2 R^2 12 gh 2 R^4 r^4
Terminología Antes de proceder con la discusión sobre límites es necesario introducir cier- ta terminología relativa a conjuntos que se utilizará en este apartado, así como en las secciones y capítulos que siguen. El conjunto en el espacio bidimensional
(1)
consiste en todos los puntos en el interior de , pero no en , un círculo con centro y radio El conjunto (1) se denomina disco abierto. Por otro lado, el conjunto (2)
es un disco cerrado. Un disco cerrado incluye todos los puntos en el interior de y en un círculo con centro y radio Vea la FIGURA 13.2.1a). Si R es cierta región del plano xy , enton- ces un punto se dice que será un punto interior de R si hay algún disco abierto centrado en que contiene sólo puntos de R. En contraste, afirmamos que es un punto fronte- ra de R si el interior de cualquier disco abierto centrado en contiene tanto puntos en R como puntos en no R. La región R se dice que será abierta si contiene puntos no frontera y cerrada si contiene todos sus puntos frontera. Vea la figura 13.2.1 b ). Se dice que una región R está acotada si puede estar contenida en un rectángulo suficientemente grande en el plano. La figura 13.2.1 c ) ilustra una región acotada; el primer cuadrante ilustrado en la figura 13.2.1 d ) es un ejemplo de una región no acotada. Estos conceptos se llevan de manera natural al espacio tridimensional. Por ejemplo, el análogo de un disco abierto es una bola abierta. Una bola abierta consiste en todos los puntos en el interior , pero no en , una esfera con centro y radio
(3)
Una región en el espacio tridimensional está acotada si puede estar contenida en una caja rectan- gular suficientemente grande.
{( x , y , z ) 0 ( x 2 x 0 )^2 1 ( y 2 y 0 )^2 1 ( z 2 z 0 ) 6 d^2 }.
( x 0 , y 0 ) d 7 0:
( a , b )
( a , b ) ( a , b )
( a , b )
( x 0 , y 0 ) d 7 0.
{( x , y ) 0 ( x 2 x 0 )^2 1 ( y 2 y 0 )^2 # d^2 }
d 7 0.
( x 0 , y 0 )
{( x , y ) 0 ( x 2 x 0 )^2 1 ( y 2 y 0 )^2 6 d^2 }
13.2 Límites y continuidad 689
FIGURA 13.2.1 Varias regiones en el espacio bidimensional
y
R
a ) Disco abierto
( x 0 , y 0 )
d
x
b ) Región cerrada
punto frontera punto interior
R
y
x c ) Región acotada
x
R
y
d ) Región no acotada
R
x
y
Límites de funciones de dos variables Analizar un límite dibujando la gráfica de no es conveniente ni es una rutina posible para la mayor parte de las funciones de dos variables. Por intuición sabemos que f tiene un límite en un punto si los valores de la función se acercan a un número L conforme se acerca a Escribimos como o f ( x , y ) 5 L.
Para tener un poco más de precisión, f tiene un límite L en el punto si los puntos en el espa- cio pueden hacerse arbitrariamente cercanos a siempre que sea sufi- cientemente cercano a La noción de “aproximándose” a un punto no es tan simple como para funcio- nes de una variable donde significa que x puede acercarse a a sólo desde la izquierda y desde la derecha. En el plano xy hay un número infinito de maneras de aproximarse al punto Como se muestra en la FIGURA 13.2.2, para que f ( x , y ) exista, requerimos ahora
que f se aproxime al mismo número L a lo largo de cualquier trayectoria o curva posible que pase por Si se pone lo anterior de manera negativa:
- Si f ( x , y ) no se aproxima al mismo número L por dos trayectorias diferentes a ( a , b ), entonces f ( x , y ) no existe.
En la discusión de f ( x , y ) que sigue se supondrá que la función f está definida en todo
punto ( x , y )en un disco abierto centrado en ( a , b )pero no necesariamente en el propio ( a , b ).
( x , y^ lím)S( a , b )
( x , y^ lím)S( a , b )
( a , b ).
( a , b ). ( x , y lím)S( a , b )
x S a
( x , y ) ( a , b )
( a , b ).
( x , y , f ( x , y )) ( a , b , L ) ( x , y )
( a , b )
( x , y^ lím)S( a , b )
( x , y ) S ( a , b ),
( x , y ) ( a , b ). f ( x , y ) S L
( a , b ) f ( x , y )
z 5 f ( x , y )
que pasa por (0, 0), f ( x , y ) = 0. Si bien esto constituye verdaderamen-
te un número infinito de trayectorias al origen, el límite sigue sin existir, ya que
Propiedades de límites En los siguientes dos teoremas se mencionan las propiedades de límites para funciones de dos variables. Estos teoremas son las contrapartes en dos variables de los teoremas 2.2.1, 2.2.2 y 2.2.3.
y 5 x^3 :
y 5 ax^2 , a Þ 0, ( x , y lím)S(0, 0)
13.2 Límites y continuidad 691
EJEMPLO 4 Límite de una suma
Evalúe f ( x + y^2 ).
Solución De ii ) del teorema 13.2.1 advertimos primero que
x = 2 y y = 3.
Entonces de las partes i ) y ii ) del teorema 13.2.2 sabemos que el límite de una suma es la suma de los límites y el límite de un producto es el producto de los límites siempre que exista el límite:
Uso de coordenadas polares En algunos casos las coordenadas polares pueden ser de utili- dad en la evaluación de un límite de la forma f ( x , y ). Si x = r cos u, y = r sen u y r^2 =
x^2 + y^2 , entonces si y sólo si
EJEMPLO 5 Uso de coordenadas polares
Evalúe
Solución Al sustituir x = r cos u, y = r sen u en la función, obtenemos
( x , y^ lím)S(0, 0)
10 xy^2 x^2 y^2
( x , y ) S (0, 0) r S 0.
( x , y^ lím)S(0, 0)
( x , y^ lím)S(2, 3) ( x , y^ lím)S(2, 3)
( x , y^ lím)S(2, 3)
Teorema 13.2.1 Tres límites fundamentales i ) ii ) iii )
Teorema 13.2.2 Límite de una suma, producto, cociente Suponga que es un punto en el plano xy y que f ( x , y ) y g ( x , y ) existe. Si f ( x , y ) 5 L 1 y g ( x , y ) 5 L 2 , entonces
i ) ii )
iii )
( x , y^ lím)S( a , b ) ( x , y lím)S( a , b )
( a , b ) ( x , y lím)S( a , b ) ( x , y lím)S( a , b )
( x , y^ lím)S(0, 0) f ( x ,^ y )^ ( x , y lím)S(0, 0) f ( x ,^ x^3 )^ ( x , y lím)S(0, 0)
x^6 x^6 x^6 ( x , y lím)S(0, 0)
x^6 2 x^6
10 xy^2 x^2 y^2
10 r^3 cos u sen^2 u r^2
10 r cos u sen^2 u.
c una constante
( x , y^ lím)S( a , b ) cf ( x ,^ y )^ ( x , cy^ )Slím( a , b ) f ( x ,^ y )
( x , y lím)S( a , b ) x^ a ( x , y lím)S( a , b ) y^ b
( x , y^ lím)S( a , b ) c^ c , y
y
lím ( x , y )S( a , b )
f ( x , y ) g ( x , y )
L 1
L 2
, L 2 0.
lím ( x , y )S( a , b ) f ( x , y ) g ( x , y ) L 1 L 2 ,
lím ( x , y )S( a , b ) [ f ( x , y ) g ( x , y )] L 1 L 2 ,
lím ( x , y )S(2, 3)
x Q lím
( x , y )S(2, 3)
y R Q lím
( x , y )S(2, 3)
y R
lím ( x , y )S(2, 3) ( x y^2 ) lím ( x , y )S(2, 3) x lím ( x , y )S(2, 3) y^2
Puesto que r cos u sen^2 u = 0, concluimos que
En el ejemplo 8 examinaremos de nuevo el límite del ejemplo 5. Continuidad Una función es continua en si está definida, f ( x , y ) existe y el límite es el mismo que el valor de la función esto es, f ( x , y ) = f ( a , b ). (5)
Si f no es continua en se afirma que es discontinua. La gráfica de una función continua es una superficie sin quiebres. De la gráfica de la función en la FIGURA 13.2. vemos que f tiene una discontinuidad infinita en (0, 0), esto es, como Una función es continua sobre un región R del plano xy si f es continua en cualquier punto en R. La suma y el producto de dos funciones continuas también son continuas. El cociente de dos funciones continuas es continuo, excepto en el punto donde el denominador es cero. Además, si g es una función de dos variables continuas en y F es una función de una variable continua en entonces la composición es continua en
EJEMPLO 6 Función discontinua en (0, 0)
La función es discontinua en (0, 0), ya que no está definida. Sin embargo, como puede observarse en el siguiente ejemplo, f tiene una discontinuidad removible en (0, 0).
EJEMPLO 7 Función continua en (0, 0) La función f definida por
es continua en (0, 0), ya que y
Por consiguiente, advertimos que f ( x , y ) = f (0, 0).
Con la ayuda de un SAC vemos en la FIGURA 13.2.5 dos perspectivas diferentes (ViewPoint en Mathematica ) de la superficie definida por Note en los incisos a ) y b ) de la figura 13.2.5 la orientación del eje x y del eje y.
a ) Viendo hacia abajo sobre la superficie
x
z
y 21
21
22
22
2
1
1
2
2
0
b ) Viendo ligeramente hacia abajo y hacia el eje x
z
2 2
(^2 ) x
1
y
(^21 )
2122
FIGURA 13.2.5 Gráfica de la función del ejemplo 7
z 5 f ( x , y ).
( x , y^ lím)S(0, 0)
f (0, 0) 5 0
f ( x , y ) 5 •
x^4 2 y^4 x^2 1 y^2
( x , y ) Þ (0, 0) ( x , y ) 5 (0, 0)
f ( x , y ) 5 f (0, 0)
x^4 2 y^4 x^2 1 y^2
g ( a , b ), f ( x , y ) 5 F ( g ( x , y )) ( a , b ).
( a , b )
z 5 f ( x , y )
f ( x , y ) S q ( x , y ) S (0, 0).
f ( x , y ) 5 1 >(9 x^2 1 y^2 )
( a , b ),
( x , y^ lím)S( a , b )
( x , y lím)S( a , b )^ f^ ( a ,^ b );
z 5 f ( x , y ) ( a , b ) f ( a , b )
lím r S 0
692 CAPÍTULO 13 Derivadas parciales
FIGURA 13.2.4 Función con una discontinuidad infinita en (0, 0)
z
x y
z (^5 9) x (^2 11) y 2
lím ( x , y )S(0, 0)
10 xy^2 x^2 y^2
( x , y lím)S(0, 0)
x^4 y^4 x^2 y^2 ( x , y lím)S(0, 0)
( x^2 y^2 )( x^2 y^2 ) x^2 y^2 ( x , y lím)S(0, 0)( x^2 y^2 )^02 02 0.
Como se ilustra en la FIGURA 13.2.7, cuando f tiene un límite en para un sin que importe cuán pequeño, es posible encontrar un disco abierto de radio centrado en de modo que para todo punto dentro del disco. El disco abierto con radio y su centro eliminado se definen mediante la desigualdad
Como se mencionó antes, los valores de f son cercanos a L siempre que sea cercano a El concepto de “suficientemente cercano” se define mediante el número
EJEMPLO 8 Repaso del ejemplo 5
Demuestre que
Solución De la definición 13.2.1, si está dado, se desea determinar un número tal que
La última línea es lo mismo que
Como puede escribirse y
Así,
De modo que si se elige tenemos
Por la definición 13.2.1, esto demuestra
`
10 xy^2 x^2 1 y^2
2 0 ` # 102 x^2 1 y^2 # 10.^ e 10 5 e.
d 5 e>10,
10 0 x 0 y^2 x^2 1 y^2
5 10 0 x 0.^
y^2 x^2 1 y^2
10 0 x 0 5 102 x^2 # 102 x^2 1 y^2.
y^2 x^2 1 y^2
x^2 $ 0, y^2 # x^2 1 y^2
e 7 0 d 7 0
( x , y^ lím)S(0, 0)
10 xy x^2 y^2
2
d.
( x , y ) ( a , b ).
0 6 2 ( x 2 a )^2 1 ( y 2 a )^2 6 d.
d 7 0 ( a , b )
L 2 e 6 f ( x , y ) 6 L 1 e ( x , y ) Þ ( a , b )
d ( a , b )
( a , b ), e 7 0,
694 CAPÍTULO 13 Derivadas parciales
FIGURA 13.2.7 Cuando es un disco abierto, f ( x , y ) está en el intervalo ( L 2 e, L 1 e)
( x , y ) Þ ( a , b )
z
x
y
f ( x , y ) z^^5 f^ ( x ,^ y )
L 1!
L (^) 2!
( a , ( bx ),^ y ) 0 " ( x 2 a )^2 1 ( y 2 b )^2 " # #
L
Ejercicios 13.2 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la página RES-41.
Fundamentos
En los problemas 1-30, evalúe el límite dado, si existe.
10 0 x 0 y^2 x^2 y^2
6 e siempre que 0 6 2 x^2 y^2 6 d.
`
10 xy^2 x^2 y^2
0 ` 6 e siempre que 0 6 2 x^2 y^2 6 d.
( x , y^ lím)S(0, 0)
xy^2 x^2 y^2
9. 10. ( x , y lím)S(2, 3)
xy x^2 y^2 ( x , y^ lím)S(1, 2) x^3 y^2 ( x^ y )^3
( x , y^ lím)S(0, 0)
6 xy^2 x^2 y^4 ( x , y^ lím)S(0, 0)
x^2 y x^4 y^2
( x , y^ lím)S(0, 0)
2 x^2 y x^2 2 y^2 ( x , y^ lím)S(1, 1)
4 x^2 y^2 x^2 y^2
( x , y^ lím)S(1, 2)
4 x^2 y^2 16 x^4 y^4 ( x , y^ lím)S(0, 0)
5 x^2 y^2 x^2 y^2
( x , y^ lím)S(2, 1)
x^2 y x y ( x , y )^ límS(5, 1) ( x^2 y^2 )
20. (^) ( x , y lím)S(0, 3)
xy 3 y x^2 y^2 6 y 9
( x , y lím)S(1, 1)
xy x y 1 x^2 y^2 2 x 2 y 2
( x , y lím)S(1, 0)
x^2 y x^3 y^3 ( x , y^ lím)S(4, 3) xy^2 a
x 2 y x y b
( x , y^ lím)S(0, 0)
x^2 y^2 x^4 5 y^4 ( x , y^ lím)S(0, 0)
x^2 3 y 1 x 5 y 3
( x , y lím)S(2, 2) ( x , y )Slím(p, p>4) cos^ (3 x^ y )
xy x^3 y^2
( x , y^ lím)S(0, 0)
sen xy x^2 y^2 ( x , y^ lím)S(0, 0)
exy x y 1
En los problemas 31-34, determine dónde es continua la fun- ción indicada.
31. 32.
33.
34.
En los problemas 35 y 36, determine si la función indicada es continua en los conjuntos dados en el plano xy.
35.
a ) b ) c )
36.
a ) b ) c )
37. Determine si la función f definida por
es continua en (0, 0).
38. Muestre que
es continua en cada variable por separado en (0, 0), esto es, que f ( x , 0) y f (0, y ) son continuas en y respectivamente. Demuestre, sin embargo, que f es no continua en (0, 0).
Piense en ello
En los problemas 39 y 40, emplee la definición 13.2.1 para demostrar el resultado indicado; esto es, encuentre d para un e 7 0 arbitrario.
41. Determine si existen puntos en los cuales la función
es discontinua.
42. Utilice la definición 13.2.1 para demostrar que y 5 b.
( x , y lím)S( a , b )
f ( x , y ) 5 •
x^3 2 y^3 x 2 y
3 x^2 ,
y Þ x y 5 x
x 5 0 y 5 0,
f ( x , y ) 5 •
xy 2 x^2 1 2 y^2
( x , y ) Þ (0, 0)
( x , y ) 5 (0, 0)
f ( x , y ) 5 •
6 x^2 y^3 ( x^2 1 y^2 )^2
( x , y ) Þ (0, 0)
( x , y ) 5 (0, 0)
y $ 3 0 x 0 1 0 y 0 6 1 ( x 2 2)^2 1 y^2 6
f ( x , y ) 5
xy 2 x^2 1 y^2 2
x^2 1 y^2 6 1 x $ 0 y 7 x
f ( x , y ) 5 e x 1 y , 0,
x $ 2 x 6 2
f ( x , y ) 5 ln (4 x^2 1 9 y^2 1 36)
f ( x , y ) 5 tan x y
f ( x , y ) 5 1 x cos 1 x 1 y f ( x , y ) 5 y^2 e^1 > xy
13.3 Derivadas parciales 695
13.3 Derivadas parciales
Introducción La derivada de una función de una variable está dada por el límite de un cociente de diferencia
Exactamente de la misma manera, podemos definir la derivada de primer orden de una función de dos variables z 5 f ( x , y )con respecto a cada variable.
y 5 f ( x )
Definición 13.3.1 Derivadas parciales de primer orden Si es una función de dos variables, entonces la derivada parcial con respecto a x en un punto es
y la derivada parcial con respecto a y es
siempre que exista el límite.
( x , y )
z 5 f ( x , y )
29. 30. lím ( x , y )S(0, 0)
x^3 y^3 x^2 y^2
lím ( x , y )S(0, 0)
x^3 x^2 y^2
( x , y^ lím)S(0, 0)
x^2 y^2 2 x^2 y^2 ( x , y^ lím)S(0, 0)
6 xy 2 x^2 y^2
lím ( x , y )S(0, 0)
sen (3 x^2 3 y^2 ) x^2 y^2
lím ( x , y )S(0, 0)
( x^2 y^2 )^2 x^2 y^2
( x , y^ lím)S(1, 2)
sen 1 ( x > y ) cos 1 ( x y ) ( x , y lím)S(1, 1) ln(2 x^2 y^2 )
lím ( x , y )S( 2, 2)
y^3 2 x^3 x 5 xy^2
( x , y^ lím)S(0, 0)
x^3 y xy^3 3 x^2 3 y^2 x^2 y^2
39. 40. lím ( x , y )S(0, 0)
x^2 y^2 x^2 y^2
lím 0 ( x , y )S(0, 0)
3 x^2 y 2 x^2 2 y^2
dy dx lím h S 0
f ( x h ) f ( x ) h
0 z 0 y lím h S 0
f ( x , y h ) f ( x , y ) h
0 z 0 x lím h S 0
f ( x h , y ) f ( x , y ) h
