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Guía de actividades y rúbrica de evaluación – Tarea 1 – El Concepto de Integral
Actividades a desarrollar
Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.
Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades
matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas. Recuerde que no debe
hacer uso de los métodos de integración (sustitución, integración por partes, etc.), y
compruebe su respuesta derivando el resultado.
x
1
2
x −
1
x
dx
Se aplica la multiplicación de los términos:
x ∗ x
1
2
−
x
1
2
∗ 1
x
dx
(
x
1
2
− x
− 1 / 2
)
dx
Se suma la operación que queda en el exponente:
(
x
3
2
− x
− 1 / 2
)
dx
Se realiza la integral de cada termino:
x
3
2
3
2
−
x
− 1
2
− 1
2
x
5
2
5
2
−
x
1
2
1
2
Se realiza la regla de la oreja para los números faccionarios divididos:
(
2 x
5
2
5
− 2 x
1
2
)
Se hace el cambio del exponente fraccionario a una raíz:
RESULTADO FINAL:
(
2
x
5
5
− 2
x + C
)
- Se hace la derivación para comprobar el resultado de la integración:
(
2
x
5
5
− 2 √ x + C
)
Se pasa la raíz a exponente fraccionario:
(
2 x
5
2
5
− 2 x
1
2
)
Se realiza la derivación directa:
(
5
2
2 x
5
2
− 1
5
−
1
2
2 x
1
2
− 1
)
Se reduce la expresión:
( x
3
2
− x
− 1
2
)
Se factoriza la x a la 1/2, el ejercicio quedaría:
x
1
2
( x − x
− 1
Se pasa el exponente negativo al denominador:
x
1
2
(
x −
1
x
)
Con lo que se comprueba el resultado.
Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann
Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Rivera, F. (2014). Calculo
integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria.
(pp. 27 – 38).
Ejercicio b.
Aproxime la integral definida , mediante la suma de Riemann del
punto derecho, con 𝑛 = 6.
Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para 𝑛 = 6, 𝑛 = 12 y compara con el
resultado de la integral definida.
Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior.
¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?
Se realiza el ejercicio considerando
A =
i = 1
6
f
x
i
∗ ∆ x
Se halla el delta de x, es decir, el cambio desde un punto hasta el siguiente
∆ x =
( 4 − 1 )
6
=0,
Se tiene la siguiente fórmula para determinar xi
x
i
= a + i ∗ ∆ x
Por lo tanto, xi sería:
x
i
= 1 +0,5 i
Se aplican los elementos hallados en la formula de las sumas de Riemann
A =
i = 1
6
f ( 1 +0,5 i )∗0,
Se aplica el factor f ( 1 +0,5 i ), por lo que se toma la función inicial y se reemplaza
( 1 +0,5 i ) donde existan los valores de x
A =0,5∗
i = 1
6
( 1 +0,5 i )
2
2
−( 1 + 0,5 i ) + 3
Se aplica el binomio cuadrado y se sacan algunos términos de los paréntesis:
A =0,5∗
i = 1
6
1
2
- 2 ( 1 )( 0,5 i ) +( 0,5 i )
2
2
− 1 −0,5 i + 3
Se realizan las multiplicaciones para poco a poco ir reduciendo la expresión:
A =0,5∗
i = 1
6
1 + i +0,25 i
2
2
− 1 −0,5 i + 3
Se divide cada termino del primer elemento entre 2.
A =0,5∗
i = 1
6
0.5+0.5 i +
0,25 i
2
2
− 1 −0,5 i + 3
Se sacan las constantes de la sumatoria:
A =0,5∗
i = 1
6
0.125 i
2
+2.
A =0,5∗
(
i = 1
6
i
2
i = 1
6
)
Para resolver esta situación se aplican las siguientes formulas:
i = 1
n
k = k ∗ n
i = 1
n
i
2
=
n ( n + 1 )( 2 n + 1 )
6
Se aplican las formulas teniendo en cuenta que n=
A =0.5∗
(
(
6 ( 6 + 1 )
2 ( 6 )+ 1
6
)
)
Se hacen las sumas y multiplicaciones para reducir los elementos.
A =0.5∗
(
(
6
( 7
) ( 12 + 1
)
6
)
+( 15 )
)
A =0.5∗
(
(
6
( 7
) ( 13
)
6
)
( 15
)
)
¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?
Se puede evidenciar que al aumentar el número de rectángulos utilizados, el valor
resultante se acerca más al valor de la integral definida, lo que hace que entre más
rectángulos tenga sea más preciso el método..
Tipo de ejercicios 3 – Teoremas de integración.
Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: Guerrero, G. (2014). Cálculo
Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 14 - 16).
Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G′(𝑥) de las siguientes funciones.
Aplicar el siguiente Teorema de integración en cada ejercicio:
Ejercicio b.
Se aplica el teorema de la integración:
d
dx
(
a ( x )
b ( x )
f ( t ) dt
)
= f ( b ( x ))∗( b
'
( x ) )− f ( a ( x ) )∗( a
'
( x ) )
Se determina que:
f
( t
) =( t
3
10
a ( x )= 3 x
b
( x
) = x
3
Por lo tanto:
d
dx
(
3 x
x
3
( t
3
10
dt
)
= f
x
3
∗
x
3
' − f ( 3 x )∗( 3 x ) '
Se realiza la derivación y la sustitución de la función T:
d
dx
(
3 x
x
3
( t
3
10
dt
)
=( x
33
10
∗ 3 x
2
−(( 3 x )
3
10
∗ 3
Se realizan las operaciones básicas y se termina el ejercicio:
d
dx
(
3 x
x
3
( t
3
10
dt
)
= 3 x
2
( x
9
10
− 3 ( 27 x
3
10
Se saca la constante de la integral:
1
2
0
π
3
cos ( x ) dx
Se aplica la integral de coseno, la cual es sen(x)
1
2
[
sen ( x )
]
π / 3
0
Se evalúan los valores de la integral:
1
2
[
sen ( π / 3 )−
[
sen ( 0 )
]
]
Se aplican los valores
1
2
[
sen ( π / 3 )−[ sen ( 0 )]
]
¿ 0.
