C´
alculo Integral.
Clase 2: Integrales Definidas
Fernando A. Morales 1
1Escuela de Matem´
aticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´
ın.
https://sites.google.com/a/unal.edu.co/fernando-a-morales- j/home?authuser=0
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Cálculo Integral: Integrales Definidas - Clase 2, Ejercicios de Álgebra Lineal
Una introducción a las integrales definidas en el contexto del cálculo integral. Se explica el concepto de integral definida como el límite de una suma de riemann, y se ilustran los conceptos con ejemplos numéricos y gráficos. El documento también incluye ejemplos de cómo interpretar límites como integrales definidas y cómo calcular el área bajo una curva utilizando la integral definida.
Tipo: Ejercicios
2023/2024
1 / 10
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C ´alculo Integral.
Clase 2: Integrales Definidas
Fernando A. Morales 1
(^1) Escuela de Matem ´aticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın. https://sites.google.com/a/unal.edu.co/fernando-a-morales-j/home?authuser=
Modalidad Virtual
El problema de la Distancia
Queremos resolver el problema de la distancia total recorrida por un
objeto desplaz ´andose en linea recta, cuya velocidad var´ıa de
acuerdo a una funci ´on v : [a, b] → R como se v ´e en la figura
a b
t
v
(a) Funci ´on v : (a, b) → R arbitraria.
a b
t
v
(b) Funci ´on v : (a, b) → R constante
En el segundo caso acudimos a la f´sica que dice v =
D
t
y por tanto
D = v (b − a) que es el ´area debajo de la funci ´on constante v (t) = v 0
para todo t ∈ (a, b).
La Integral Definida
Definici ´on (Integral Indefinida)
Sea f : [a, b] → R una funci ´on continua. Para todo n ∈ N
dividimos el intevalo en partes iguales, es decir, la partici ´on
P : a = x 0 < x 1 <... < xn satisface xi = a + i ∆x para todo
i = 0 , 1 ,... n; donde ∆x def =
b − a
n
. Decimos que la integral
definida de f en [a, b] viene dada por
∫ b
a
f (x)dx = lim
n → ∞
∑^ n
i = 1
f (x i∗ )(xi − xi− 1 ), x i∗ ∈ [xi− 1 − xi ].
Si el l´ımite existe, diremos que f es integrable sobre [a, b].
La Integral Definida
Comentario Sea f : [a, b] → R una funci ´on continua. Entonces (i) ∫ (^) b
a
f (x)dx = (^) n lim→ ∞
∑^ n
i = 1
f (x∗ i )(xi − xi− 1 )
f integrando a, b l´ımites de integraci ´on x variable de integraci ´on.
(ii)
∫ (^) b a f^ (x)dx^ =^
∫ (^) b a f^ (t)dt^ ∈^ R^ es un n ´umero real independiente de la variable de integraci ´on o variable muda utilizada. (iii) El valor de la integral no depende de los puntos muestreados x i∗ muestreados, siempre y cuando pertenezcan al intervalo [xi− 1 , xi ]. (iv) Si f ≥ 0 en [a, b] entonces
∫ (^) b a f^ (x)dx^ =^ area bajo´^ f^. (v) La suma
∑n i = 1
f (x i∗ )(xi − xi− 1 ) es conocida como suma de Riemann.
Ejemplos Num ´ericos: Wolfram Alpha
Hallar los valores num ´ericos de
1
( 3 + x)dx = lim
n → ∞
∑^ n
i = 1
3 i
n
))^3
n
1
( 2 + x^3 )dx = lim
n → ∞
∑^ n
i = 1
3 i
n
) 3 )^3
n
www.wolframalpha.com
Ejemplos
Ejemplo Interpretar como integral definida el siguiente l´ımite
lim n → ∞
∑^ n
i = 1
( 4 i − n)^4 n^5
Soluci ´on. Procedemos de la manera mas simple posible
∑^ n
i = 1
( 4 i − n)^4 n^5
∑^ n
i = 1
( (^4) i − n n
n
∑^ n
i = 1
i n
n
Denfinamos f : [ 0 , 1 ] → R por f (x) def = ( 4 x − 1 )^4. Normalmente [ 0 , 1 ] es el intervalo m ´as c ´omodo de trabajar pues en este intervalo es inmediato que ∆x =
n y xi = i n para todo 0 ≤ i ≤ n. Entonces
n lim→ ∞
∑^ n
i = 1
( 4 i − n)^4 n^5 = (^) n lim→ ∞
∑^ n
i = 1
i n
n
0
( 4 x − 1 )^4 dx.
Ejemplos Num ´ericos: Wolfram Alpha
Hallar los valores num ´ericos de
lim
n → ∞
∑^ n
i = 1
( 4 i − n)^4
n^5
0
( 4 x − 1 )^4 dx
0
( 4 x − 1 )^4 dx
− 4